סדרה 4 — זוגיות, ראשוניות ושלילה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן, ואחריהן חמש שאלות תרגול. הפעילו שעון: שתים עשרה דקות לעשר הראשונות, בלי מחשבון. תשובה שגויה אינה מורידה ניקוד — סמנו את מה שנראה הגיוני והמשיכו.

תרגילים

תרגיל 1

האותיות aa ו-bb מייצגות שני מספרים שלמים, חיוביים ואי-זוגיים. איזה מהביטויים הבאים מייצג בוודאות מספר שלם?

  1. a2\frac{a}{2}
  2. a×b2\frac{a \times b}{2}
  3. a+b2\frac{a+b}{2}
  4. a−b3\frac{a-b}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג a+b2\frac{a+b}{2}

הפתרון:

אי-זוגי+אי-זוגי=זוגי\text{אי-זוגי} + \text{אי-זוגי} = \text{זוגי}
זוגי2∈Z\frac{\text{זוגי}}{2} \in \mathbb{Z}

התשובה היא a+b2\frac{a+b}{2}. מכפלת שני אי-זוגיים היא אי-זוגית, ולכן החלוקה בשניים אינה שלמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

האותיות a,b,ca, b, c מייצגות שלושה מספרים שלמים עוקבים. איזה מהביטויים מייצג בוודאות מספר שלם?

  1. a+b+c2\frac{a+b+c}{2}
  2. a+b+c3\frac{a+b+c}{3}
  3. 3a2\frac{3a}{2}
  4. a×b3\frac{a \times b}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב a+b+c3\frac{a+b+c}{3}

הפתרון:

a+(a+1)+(a+2)=3a+3a + (a+1) + (a+2) = 3a + 3
3(a+1)3=a+1\frac{3(a+1)}{3} = a+1

התשובה היא a+b+c3\frac{a+b+c}{3}. סכום שלושה עוקבים הוא תמיד פי שלוש מהאמצעי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

האותיות aa ו-bb מייצגות שני מספרים ראשוניים, ו-aa קטן מ-bb. ידוע ש-a+b=7a + b = 7. מהו aa?

  1. 11
  2. 55
  3. 33
  4. 22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 22

הפתרון:

7 אי-זוגי7 \ \text{אי-זוגי}

סכום אי-זוגי

⇒אחד מהם זוגי\Rightarrow \text{אחד מהם זוגי}
22

הראשוני הזוגי היחיד

2+5=72 + 5 = 7

התשובה היא 22. סכום אי-זוגי של שני ראשוניים מחייב שאחד מהם יהיה 22 — כלל ששווה לזכור. 11 אינו ראשוני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

האותיות aa ו-bb מייצגות מספרים שלמים, aa כלשהו ו-bb אי-זוגי. מה נכון לגבי 2a+b2a + b?

  1. הוא תמיד אי-זוגי
  2. זה תלוי ב-aa
  3. הוא תמיד זוגי
  4. לא ניתן לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א הוא תמיד אי-זוגי

הפתרון:

2a זוגי2a \ \text{זוגי}
זוגי+אי-זוגי=אי-זוגי\text{זוגי} + \text{אי-זוגי} = \text{אי-זוגי}

התשובה היא תמיד אי-זוגי. 2a2a זוגי לכל aa, וזה מה שהופך את התוצאה לוודאית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

איזה מהמספרים הבאים הוא ראשוני?

  1. 2929
  2. 2121
  3. 11
  4. 2727
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 2929

הפתרון:

21=3×721 = 3 \times 7
27=3×927 = 3 \times 9
11

אינו ראשוני בהגדרה

התשובה היא 2929. 11 אינו ראשוני — הגדרה שהמבחן בודק ישירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

האותיות aa ו-bb מייצגות שני מספרים אי-זוגיים. מה נכון לגבי a×ba \times b?

  1. הוא תמיד זוגי
  2. לא ניתן לדעת
  3. הוא תמיד אי-זוגי
  4. זה תלוי במספרים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הוא תמיד אי-זוגי

הפתרון:

3×5=153 \times 5 = 15
7×9=637 \times 9 = 63
אי-זוגי×אי-זוגי=אי-זוגי\text{אי-זוגי} \times \text{אי-זוגי} = \text{אי-זוגי}

התשובה היא תמיד אי-זוגי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

איזה משפט סותר את הטענה ״כל מי שמשקיע אינו נכשל״?

  1. יש מישהו שאינו משקיע ואינו נכשל
  2. יש מישהו שאינו משקיע ונכשל
  3. אין אף אחד שנכשל
  4. יש מישהו שמשקיע ונכשל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יש מישהו שמשקיע ונכשל

הפתרון:

∀x:I(x)⇒¬F(x)\forall x: I(x) \Rightarrow \neg F(x)

הטענה

¬:∃x:I(x)∧F(x)\neg: \exists x: I(x) \wedge F(x)

השלילה

התשובה היא מישהו שמשקיע ונכשל. כדי לסתור טענה כללית צריך דוגמה שמקיימת את התנאי ולא את המסקנה — לא דוגמה שאינה מקיימת את התנאי כלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

איזה משפט שקול לטענה ״כל מי שלא אכל נשאר רעב״?

  1. כל מי שאכל — לא נשאר רעב
  2. כל מי שלא נשאר רעב — אכל
  3. מי שלא אכל — לא נשאר רעב
  4. כל מי שנשאר רעב — לא אכל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כל מי שלא נשאר רעב — אכל

הפתרון:

A⇒BA \Rightarrow B
≡¬B⇒¬A\equiv \neg B \Rightarrow \neg A

המהופך המנוגד

התשובה היא ״כל מי שלא נשאר רעב — אכל״. רק המהופך המנוגד שקול לטענה המקורית; ההיפוך הפשוט אינו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

איזה משפט סותר את הטענה ״כלב נובח אינו נושך״?

  1. יש כלב שנושך ואינו נובח
  2. אין כלב שנובח ונושך
  3. יש כלב שאינו נובח ואינו נושך
  4. יש כלב שנובח ונושך
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יש כלב שנובח ונושך

הפתרון:

¬(∀x:N(x)⇒¬S(x))\neg(\forall x: N(x) \Rightarrow \neg S(x))
=∃x:N(x)∧S(x)= \exists x: N(x) \wedge S(x)

התשובה היא כלב שנובח ונושך. אותה צורה כמו בשאלה על ההשקעה, ושווה לזהות אותה מיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

האותיות aa ו-bb מייצגות מספרים שלמים חיוביים, ו-aa גדול מ-bb. איזה מהביטויים הבאים גדול ביותר?

  1. a×ba \times b
  2. a+ba + b
  3. a−ba - b
  4. לא ניתן לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא ניתן לדעת

הפתרון:

a=2b=1: 231\begin{aligned}a &= 2 \\ b &= 1: \ 2 \\ 3 \\ 1\end{aligned}

הסכום גדול

a=5b=4: 2091\begin{aligned}a &= 5 \\ b &= 4: \ 20 \\ 9 \\ 1\end{aligned}

המכפלה גדולה

התשובה היא לא ניתן לדעת. שני זוגות מספרים נותנים שני סדרים שונים, ולכן אף ביטוי אינו גדול בהכרח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

aa ו-bb הם מספרים אי-זוגיים. מיינו כל ביטוי: זוגי תמיד, או אי-זוגי תמיד?

  • זוגי תמיד
  • אי-זוגי תמיד
  • 3a+b3a + b
  • a×b+1a \times b + 1
  • a×ba \times b
  • a+2ba + 2b
  • a+b+1a + b + 1
  • a+ba + b
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a+ba + b — זוגי תמיד · a×ba \times b — אי-זוגי תמיד · a+b+1a + b + 1 — אי-זוגי תמיד · a×b+1a \times b + 1 — זוגי תמיד · 3a+b3a + b — זוגי תמיד · a+2ba + 2b — אי-זוגי תמיד

הפתרון:

3+5=8 3×5=15\begin{aligned}3 + 5 &= 8 \\ \ 3 \times 5 &= 15\end{aligned}

בדיקה עם a=3a = 3, b=5b = 5

3×3+5=14 3+2×5=13\begin{aligned}3 \times 3 + 5 &= 14 \\ \ 3 + 2 \times 5 &= 13\end{aligned}

אי-זוגי ועוד אי-זוגי — זוגי; אי-זוגי כפול אי-זוגי — אי-זוגי. 3a3a אי-זוגי, ולכן 3a+b3a + b זוגי; 2b2b זוגי, ולכן a+2ba + 2b אי-זוגי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

aa ו-bb הם מספרים ראשוניים, וסכומם a+ba + b אי-זוגי. לכן אחד מהם הוא בהכרח 22.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

אי-זוגי+אי-זוגי=זוגי\text{אי-זוגי} + \text{אי-זוגי} = \text{זוגי}

שני ראשוניים אי-זוגיים נותנים סכום זוגי

22

הראשוני הזוגי היחיד

נכון. כדי שהסכום יהיה אי-זוגי, אחד המחוברים חייב להיות זוגי — והראשוני הזוגי היחיד הוא 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

כמה מספרים ראשוניים יש בין 2020 ל-4040?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

23, 29, 31, 3723,\ 29,\ 31,\ 37

הראשוניים

21=3×7 33=3×11 39=3×13\begin{aligned}21 &= 3 \times 7 \\ \ 33 &= 3 \times 11 \\ \ 39 &= 3 \times 13\end{aligned}

האי-זוגיים שנראים ראשוניים ואינם

44. המלכודת: 2121, 2727, 3333 ו-3939 אי-זוגיים, אבל מתחלקים ב-33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

התאימו לכל טענה את המשפט שסותר אותה.

  • כל הכלבים נובחים
  • אף כלב אינו נובח
  • כל כלב שנובח — נושך
  • יש כלב שנובח
  • אף כלב אינו נובח
  • יש כלב שאינו נובח
  • יש כלב שנובח
  • יש כלב שנובח ואינו נושך
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כל הכלבים נובחים — יש כלב שאינו נובח · אף כלב אינו נובח — יש כלב שנובח · כל כלב שנובח — נושך — יש כלב שנובח ואינו נושך · יש כלב שנובח — אף כלב אינו נובח

הפתרון:

¬(∀)=∃ ¬\neg(\forall) = \exists\,\neg

״כל״ נסתר בדוגמה אחת

¬(∃)=∀ ¬\neg(\exists) = \forall\,\neg

״יש״ נסתר רק ב״אף אחד״

״כל״ נסתר על ידי דוגמה אחת. ״יש״ נסתר רק על ידי ״אף אחד״ — טענה חזקה הרבה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

דנה רצתה לבדוק אם a+b4\frac{a+b}{4} שלם תמיד, כש-aa ו-bb אי-זוגיים. שורה אחת בבדיקה שגויה — מצאו אותה.

a=1 b=3\begin{aligned}a &= 1 \\ \ b &= 3\end{aligned}
1+34=1\frac{1 + 3}{4} = 1
⇒a+b4 תמיד שלם\Rightarrow \frac{a+b}{4} \text{ תמיד שלם}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ⇒a+b4 תמיד שלם\Rightarrow \frac{a+b}{4} \text{ תמיד שלם} → 1+54=32⇒לא תמיד שלם\frac{1 + 5}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow \text{לא תמיד שלם}

הפתרון:

a=1 b=5\begin{aligned}a &= 1 \\ \ b &= 5\end{aligned}

זוג אחר

64=32\frac{6}{4} = \frac{3}{2}

לא שלם

דוגמה אחת שבה יוצא שלם אינה הוכחה ל״תמיד״. דוגמה אחת שבה לא יוצא שלם — כן מספיקה כדי לסתור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת