סדרה 3 — מי משקר, ומי יושב איפה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן, ואחריהן חמש שאלות תרגול. הפעילו שעון: שתים עשרה דקות לעשר הראשונות, בלי מחשבון. תשובה שגויה אינה מורידה ניקוד — סמנו את מה שנראה הגיוני והמשיכו.

תרגילים

תרגיל 1

שלושה אופים עומדים במאפייה. הראשון אמר: ״השני שרף את העוגה״. השני אמר: ״לא שרפתי את העוגה״. השלישי אמר: ״השני לא שרף את העוגה״. ידוע ששניים אומרים אמת ואחד משקר. מי משקר?

  1. האופה השני
  2. האופה השלישי
  3. לא ניתן לדעת
  4. האופה הראשון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד האופה הראשון

הפתרון:

1↔21 \leftrightarrow 2

סותרים זה את זה ישירות

2≡32 \equiv 3

השני והשלישי אומרים אותו דבר

⇒1\Rightarrow 1

אם 2 ו-3 מסכימים, שניהם אמת

התשובה היא הראשון. השני והשלישי אומרים בדיוק אותו דבר, ולכן או ששניהם אמת או ששניהם שקר — ומכיוון שיש רק שקרן אחד, שניהם אמת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איג, דוד ואביב נשאלו מי הכין שיעורי בית. איג: ״אני הכנתי״. דוד: ״כולנו הכנו״. אביב: ״איג לא הכין״. ידוע ששניים אומרים אמת ואחד משקר. מי משקר?

  1. לא ניתן לדעת
  2. איג
  3. אביב
  4. דוד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אביב

הפתרון:

איג↔אביב\text{איג} \leftrightarrow \text{אביב}

סתירה ישירה

⇒דוד אמת\Rightarrow \text{דוד אמת}

אז דוד אומר אמת

כולם הכינו⇒איג הכין\text{כולם הכינו} \Rightarrow \text{איג הכין}

ואז אביב משקר

התשובה היא אביב. דוד חייב להיות אמת (השקרן הוא אחד משני הסותרים), ומדבריו נובע שאיג אכן הכין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שלוש חברות: מאיה אמרה ״הייתי ברכבת ההרים״, אורטל אמרה ״לא הייתי ברכבת ההרים״, וגלית אמרה ״כולנו היינו ברכבת ההרים״. אחת מהשלוש שיקרה. מי בוודאות הייתה ברכבת ההרים?

  1. מאיה
  2. כולן
  3. גלית
  4. אורטל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מאיה

הפתרון:

אורטל↔גלית\text{אורטל} \leftrightarrow \text{גלית}

סתירה ישירה

⇒מאיה אמת\Rightarrow \text{מאיה אמת}

השקרנית היא אחת מהשתיים

התשובה היא מאיה. השקרנית היא בהכרח אורטל או גלית, ולכן דבריה של מאיה אמת. על אורטל וגלית לא ניתן לומר בוודאות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שלושה תלמידים חזרו מטיול. איג: ״נרטבתי מגשם״. בני: ״לא נרטבתי מגשם״. איציק: ״כולנו נרטבנו״. אחד מהם משקר. מי בוודאות נרטב?

  1. שלושתם
  2. איציק
  3. איג
  4. בני
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג איג

הפתרון:

בני↔איציק\text{בני} \leftrightarrow \text{איציק}

סתירה

⇒איג אמת\Rightarrow \text{איג אמת}

התשובה היא איג. אותו מבנה בדיוק כמו בשאלה הקודמת — מי שאינו מעורב בסתירה אומר אמת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשאלת ״מי משקר״, מה השלב הראשון המומלץ?

  1. לחפש שני משפטים שסותרים זה את זה ישירות
  2. לספור כמה שמות מוזכרים
  3. לבדוק את המשפט הארוך ביותר
  4. להניח שהראשון משקר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לחפש שני משפטים שסותרים זה את זה ישירות

הפתרון:

A∧¬AA \wedge \neg A

אחד מהם חייב להיות שקר

התשובה היא לחפש סתירה ישירה. אם היא קיימת, השקרן נמצא בתוכה — וכל שאר המשפטים אמת, מה שסוגר את השאלה בשורה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ארבעה ספרים על מדף: שני ספרי מתח ושני ספרי הרפתקאות. ידוע ששני ספרי המתח אינם מונחים זה ליד זה. איזו טענה נכונה בוודאות?

  1. ספר מתח הוא האחרון
  2. שני ספרי ההרפתקאות סמוכים
  3. ספר הרפתקאות מונח בין שני ספרי המתח
  4. ספר מתח הוא הראשון מימין
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ספר הרפתקאות מונח בין שני ספרי המתח

הפתרון:

M…MM \ldots M

לא סמוכים

⇒∃H\Rightarrow \exists H

משהו ביניהם

התשובה היא שספר הרפתקאות מונח ביניהם. שלוש האפשרויות האחרות נכונות בחלק מהסידורים בלבד, והשאלה מבקשת ״בוודאות״.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בבניין בן שלוש קומות גרות שלוש משפחות, כל אחת מגדלת חיה אחרת: כלב, חתול או ארנב. ידוע: הכלב חי בקומה הראשונה, והחתול אינו בקומה האמצעית. באיזו קומה גר הארנב?

  1. בקומה הראשונה
  2. בקומה האמצעית
  3. בקומה העליונה
  4. לא ניתן לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בקומה האמצעית

הפתרון:

כלב→1\text{כלב} \to 1
חתול≠2\text{חתול} \neq 2
⇒חתול→3\Rightarrow \text{חתול} \to 3
⇒ארנב→2\Rightarrow \text{ארנב} \to 2

התשובה היא האמצעית. שלושה מקומות ושלוש חיות — כל שלילה מכריחה השמה, וזה כל הפתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שלושה ילדים בתור: יוסי, קובי וגליה. ידוע שיוסי אינו אחרון ושגליה אינה ראשונה. איזו טענה נכונה בוודאות?

  1. יוסי ראשון
  2. קובי שני
  3. גליה אחרונה
  4. קובי אינו יכול להיות היחיד שנשאר לסוף בכל סידור
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד קובי אינו יכול להיות היחיד שנשאר לסוף בכל סידור

הפתרון:

(יוסי,קובי,גליה)(\text{יוסי}, \text{קובי}, \text{גליה})

סידור אפשרי

(קובי,יוסי,גליה)(\text{קובי}, \text{יוסי}, \text{גליה})

ועוד אחד

(יוסי,גליה,קובי)(\text{יוסי}, \text{גליה}, \text{קובי})

ועוד אחד

התשובה היא קובי אינו יכול להיות היחיד שנשאר לסוף בכל סידור. שלושה סידורים שונים מקיימים את התנאים, ולכן אף אחת משלוש הטענות הממוקדות אינה נכונה בוודאות — וזו בדיוק הבחנת ״בהכרח״ מול ״ייתכן״.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בגן יש חתולים וציפורים בלבד, ולפחות אחד מכל סוג. לחתול 44 רגליים ולציפור 22. אם סך הרגליים הוא 1010, כמה חתולים יש?

  1. 33
  2. לא ניתן לדעת
  3. 22
  4. 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא ניתן לדעת

הפתרון:

4c+2b=104c + 2b = 10
c=1 b=3\begin{aligned}c &= 1 \\ \ b &= 3\end{aligned}

מקיים את התנאים

c=2 b=1\begin{aligned}c &= 2 \\ \ b &= 1\end{aligned}

ומקיים אותם גם הוא

התשובה היא לא ניתן לדעת. שני פתרונות שונים מקיימים את כל התנאים, ולכן אין תשובה יחידה — למנות את כל המקרים לפני שעונים הוא בדיוק מה שהשאלה בודקת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בגן יש חתולים וציפורים בלבד, ולפחות אחד מכל סוג. לחתול 44 רגליים ולציפור 22. איזה מהמספרים הבאים אינו יכול להיות סך הרגליים?

  1. 1010
  2. 88
  3. 77
  4. 66
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 77

הפתרון:

4c+2b4c + 2b

סכום של זוגיים

⇒תמיד זוגי\Rightarrow \text{תמיד זוגי}

התשובה היא 77. כל מספר רגליים כאן זוגי, ולכן הסכום זוגי — אין צורך לבדוק אף צירוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נועם: ״אני לא שברתי את הכד״. שי: ״נועם שבר״. טל: ״אני שברתי״. ידוע שבדיוק אחד מהם משקר. הטענה: טל שבר את הכד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

נועם⇒2\text{נועם} \Rightarrow 2

אם נועם שבר — שני שקרנים

שי⇒2\text{שי} \Rightarrow 2

אם שי שבר — שני שקרנים

טל⇒1\text{טל} \Rightarrow 1

אם טל שבר — רק שי משקר

נכון. רק ההנחה ״טל שבר״ נותנת שקרן אחד בדיוק — את שי. שי וטל סותרים זה את זה, ולכן אחד מהם השקרן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בגן חתולים וציפורים בלבד, ולפחות אחד מכל סוג. לחתול 44 רגליים ולציפור 22. סך הרגליים הוא 1414. כמה אפשרויות שונות יש למספר החתולים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

4⋅1+2⋅5=144 \cdot 1 + 2 \cdot 5 = 14

חתול אחד

4⋅2+2⋅3=144 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 14

שני חתולים

4⋅3+2⋅1=144 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 14

שלושה חתולים

33 אפשרויות. ארבעה חתולים כבר נותנים 1616 רגליים — יותר מדי. מי שענה 22 שכח שאפשר גם חתול אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

רון גבוה מדן, דן גבוה מאלי, ותמר גבוהה מרון. סדרו את הארבעה מהגבוה לנמוך.

  • אלי
  • דן
  • רון
  • תמר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תמר · רון · דן · אלי

הפתרון:

רון>דן>אלי\text{רון} > \text{דן} > \text{אלי}

שרשרת אחת

תמר>רון\text{תמר} > \text{רון}

ותמר בראש

תמר, רון, דן, אלי. כל השוואה מחברת חוליה אחת לשרשרת — ויש רק סדר אחד שמקיים את שלושתן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ארבעה ספרים על מדף: שני ספרי מתח ושני ספרי הרפתקאות. ספרי המתח אינם סמוכים. מיינו כל טענה.

  • נכון בהכרח
  • לא בהכרח
  • יש ספר הרפתקאות בין שני ספרי המתח
  • יש ספר מתח באחד הקצוות
  • ספר הרפתקאות עומד אחרון
  • ספר מתח עומד ראשון
  • שני ספרי ההרפתקאות סמוכים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: יש ספר מתח באחד הקצוות — נכון בהכרח · ספר מתח עומד ראשון — לא בהכרח · יש ספר הרפתקאות בין שני ספרי המתח — נכון בהכרח · שני ספרי ההרפתקאות סמוכים — לא בהכרח · ספר הרפתקאות עומד אחרון — לא בהכרח

הפתרון:

{1,3}, {1,4}, {2,4}\{1, 3\},\ \{1, 4\},\ \{2, 4\}

המקומות האפשריים של שני ספרי המתח

בודקים כל טענה בשלושת הסידורים. ״ספר מתח ראשון״ נכון בשניים מהם בלבד — ולכן הוא ייתכן, לא בהכרח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

אבי, בתיה וגדי גרים בקומות 11, 22 ו-33 — כל אחד בקומה אחרת. אבי אינו גר בקומה 11, וגדי גר מעל אבי. התאימו כל אחד לקומה שלו.

  • אבי
  • בתיה
  • גדי
  • קומה 11
  • קומה 22
  • קומה 33
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אבי — קומה 22 · בתיה — קומה 11 · גדי — קומה 33

הפתרון:

אבי≠1\text{אבי} \ne 1
גדי>אבי⇒אבי=2 גדי=3\begin{aligned}\text{גדי} > \text{אבי} \Rightarrow \text{אבי} &= 2 \\ \ \text{גדי} &= 3\end{aligned}

אבי לא בקומה העליונה

בתיה=1\text{בתיה} = 1

הנותרת

אבי לא ב-11, ולא ב-33 (גדי מעליו) — לכן ב-22. משם הכול נסגר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת