אחוזים — ממה, ולא כמה · אחוזים · מבחן כניסה לכיתה ז׳ (לתלמידי ו׳)

במבחן הכניסה כמעט אף שאלה לא מבקשת מכם לחשב $15\%$ מתוך $200$ . את זה אתם כבר יודעים לעשות.

כל אחוז תלוי בשלם שממנו לוקחים אותו

השאלות כאן שואלות דבר אחר: אחוז ממה? מי הגודל שממנו סופרים. מי שעונה מהר סופר בדרך כלל מהמספר הלא נכון.

אותו הפרש בין שני מספרים נותן שני אחוזים שונים — לפי מי מהם נבחר להיות השלם.

\frac{\text{ההפרש}}{\text{השלם}} \times 100\%

חולצה בחנות א׳ יקרה ב- $10\%$ מאותה חולצה בחנות ב׳. בכמה אחוזים החולצה בחנות ב׳ זולה מזו שבחנות א׳?

להציג את התשובה והפתרון

בפחות מ- $10\%$ . ההפרש נשאר אותו הפרש, אבל בחנות ב׳ סופרים אותו מתוך המחיר הגדול יותר — ואחוז מתוך שלם גדול יותר יוצא קטן יותר. מי שעונה $10\%$ החליף את השלם באמצע השאלה.

שני שינויים ברצף לא מתחברים

עלייה של $20\%$ ואחריה ירידה של $20\%$ אינן מבטלות זו את זו.

העלייה נספרת מהמספר ההתחלתי. הירידה נספרת מהמספר שכבר גדל. השלם התחלף באמצע.

המלכודת הקבועה: לחבר או לחסר את האחוזים כאילו הם מספרים.

+20\% - 20\% = 0

1.2 \times 0.8 = 0.96

לא חוזרים למקום ההתחלתי אלא יורדים ב-4 אחוז

+10\% \Rightarrow -10\%

\frac{10}{110} < 10\%

הדרך חזרה תמיד קטנה מהדרך הלוך

+50\% + 50\% = +100\%

1.5 \times 1.5 = 2.25

שתי עליות של חצי נותנות פי 2.25 ולא פי 2

כששאלה נותנת רק אחוזים, בלי אף מספר — התחילו מ- $100$ . זה מותר, זה מהיר, וזה הופך כל אחוז למספר שאפשר לספור.

אם התשובה תלויה במספר ההתחלתי, תגלו את זה מיד: שני מספרי פתיחה שונים ייתנו שתי תשובות שונות.

מכפלה במקום שני שלבים

עלייה ב- $p$ אחוזים היא כפל ב- $1 + \frac{p}{100}$ . ירידה ב- $p$ אחוזים היא כפל ב- $1 - \frac{p}{100}$ .

שינויים ברצף פשוט מוכפלים זה בזה, ובכל סדר — התוצאה זהה, כי הכפל מתחלף.

1.25

עלייה ב-25 אחוז

0.75

ירידה ב-25 אחוז

1.05^{2}

שתי עליות של 5 אחוז

0.9 \times 1.1

ירידה ואז עלייה, ולהפך

מחיר עלה ב- $25\%$ . בכמה אחוזים צריך להוריד אותו כדי לחזור בדיוק למחיר המקורי?

להציג את התשובה והפתרון

ב- $20\%$ . אחרי העלייה המחיר הוא $1.25$ מהמקורי, וצריך להכפיל ב- $0.8$ כדי לחזור ל- $1$ , כי $1.25 \times 0.8 = 1$ . שוב אותה תופעה: העלייה נספרה מהקטן, הירידה נספרת מהגדול.

מתי התשובה היא ׳לא ניתן לדעת׳

בחלק מהשאלות אחת האפשרויות היא לא ניתן לדעת בוודאות — ולפעמים היא הנכונה.

היא נכונה כאשר התשובה תלויה בנתון שהשאלה לא נתנה.

שני אחוזים מתוך שני שלמים שונים אינם ברי-השוואה: $30\%$ מכיתה אחת יכולים להיות יותר או פחות ילדים מ- $40\%$ מכיתה אחרת, כל עוד לא ידוע כמה ילדים יש בכל כיתה.

לפני שמסמנים ׳לא ניתן לדעת׳, נסו שני מספרים משלכם. אם שניהם נותנים את אותה תשובה — הנתון החסר לא באמת חסר, ואחת התשובות האחרות היא הנכונה. אם הם נותנים תשובות שונות — סימנתם נכון.