יחס — כמה חלקים, ולא כמה יחידות · יחס · מבחן כניסה לכיתה ז׳ (לתלמידי ו׳)

יחס אינו כמות. כשכתוב שהיחס בין בנים לבנות הוא $3 : 2$ , איננו יודעים כמה ילדים יש. יודעים רק איך הם מתחלקים: אותו יחס מתאר כיתה של $5$ ילדים וכיתה של $500$ .

יחס הוא חלוקה לחלקים שווים

הכלי היחיד שצריך: להפוך את היחס למספר חלקים.

יחס $3 : 2$ מחלק את השלם ל- $5$ חלקים שווים: שלושה לצד אחד, שניים לשני. מרגע שיודעים כמה שווה חלק אחד, השאלה נפתחת.

המלכודת הראשונה: לבלבל בין יחס לבין חלק מהשלם.

3 : 2 \Rightarrow \frac{3}{2}

3 : 2 \Rightarrow \frac{3}{5}

שלושה מתוך חמישה חלקים, לא שלושה מתוך שניים

40 : 3 = 13.33

40 : 5 = 8

מחלקים בסכום החלקים, לא באחד מהם

היחס בין תפוחים לאגסים בסל הוא $4 : 3$ , ובסל $28$ פירות. כמה תפוחים יש?

להציג את התשובה והפתרון

$16$ . סכום החלקים הוא $7$ , ולכן חלק אחד שווה $28 : 7 = 4$ , והתפוחים הם $4 \times 4 = 16$ .

מה המספר הנתון מכסה?

לא תמיד נותנים את הסכום. לפעמים נותנים צד אחד, ולפעמים את ההפרש בין הצדדים.

השאלה תמיד אותה שאלה: כמה חלקים המספר הנתון מכסה? הסכום מכסה את כולם, וההפרש רק את החלקים העודפים.

בכיתה היחס בין בנים לבנות הוא $5 : 3$ , ויש $6$ בנים יותר מבנות. כמה תלמידים בכיתה?

להציג את התשובה והפתרון

$24$ . ההפרש מכסה $5 - 3 = 2$ חלקים, ולכן חלק אחד שווה $6 : 2 = 3$ . בכיתה $8$ חלקים: $8 \times 3 = 24$ .

יחס בין שלושה גדלים

השיטה אינה משתנה כשיש שלושה: $a : b : c$ מחלק את השלם ל- $a + b + c$ חלקים.

הקושי מגיע כששני יחסים נפרדים צריכים להתחבר, למשל $A : B = 2 : 3$ וגם $B : C = 4 : 5$ . אז מרחיבים כל יחס, עד ש- $B$ מופיע באותו מספר בשניהם.

ידוע ש- $A : B = 3 : 2$ ושגם $B : C = 3 : 4$ . מהו $A : B : C$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$9 : 6 : 8$ . $B$ הוא $2$ באחד ו- $3$ בשני, והכפולה המשותפת היא $6$ : מכפילים את הראשון ב- $3$ ( $9 : 6$ ) ואת השני ב- $2$ ( $6 : 8$ ).

השאלה שאינה מבקשת לחשב: איזה יחס אפשרי

צורה שחוזרת במבחן: נתון מספר שלם של פריטים, ושואלים איזה מהיחסים המוצעים יכול להתקיים.

כאן לא מחשבים — בודקים חלוקה. אם סכום החלקים אינו מחלק את המספר, היחס בלתי אפשרי: חלק אחד היה יוצא שבר של פריט.

תמיד לצמצם קודם. $6 : 4$ ו- $3 : 2$ הם אותו יחס, אבל סכום החלקים שונה: $10$ מול $5$ . מי שבודק בלי לצמצם פוסל יחסים אפשריים: $25$ אינו מתחלק ב- $10$ , אבל מתחלק ב- $5$ .

3 : 2

חמישה חלקים

4 : 5

תשעה חלקים

1 : 2 : 3

שישה חלקים

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

ומכאן ad = bc

בכיתה $30$ תלמידים. האם ייתכן שהיחס בין בנים לבנות הוא $3 : 4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. סכום החלקים הוא $7$ , ו- $30$ אינו מתחלק ב- $7$ — חלק אחד היה יוצא $30 : 7$ , שאינו מספר שלם של תלמידים.

כשהיחס נשמר וכשהוא נשבר

אם מכפילים את שני הגדלים באותו מספר, היחס נשמר. אם מוסיפים לשניהם אותו מספר, היחס משתנה — וזו מלכודת שהמבחן אוהב.

המלכודת השנייה: להתייחס להוספה כאילו היא הכפלה.

2 : 3 \Rightarrow 3 : 4

2 : 3 = 4 : 6

כפל שומר על היחס, חיבור לא

\frac{2+1}{3+1} = \frac{2}{3}

\frac{3}{4} \neq \frac{2}{3}

ההוספה קירבה את היחס ל-1

היחס בין גילה של דנה לגיל אחיה הוא היום $1 : 3$ . האם בעוד עשר שנים היחס עדיין יהיה $1 : 3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. עשר שנים מוסיפות $10$ לשני הגילים, ולא מכפילות אותם. היחס משתנה, ומתקרב ל- $1 : 1$ .

יחס הוא חלוקה לחלקים שווים

מה המספר הנתון מכסה?

יחס בין שלושה גדלים

השאלה שאינה מבקשת לחשב: איזה יחס אפשרי

כשהיחס נשמר וכשהוא נשבר

השיעור הבא מחכה ב-elev