הנדסת המישור — זוויות, שטחים וביטויים · הנדסת המישור · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

בכיתה ח׳ הגיאומטריה מתחברת לאלגברה. הצלעות מקבלות אות, והשאלה מבקשת ביטוי ולא מספר. הכלים עצמם נשארים אותם כלים — מה שמשתנה הוא שצריך להחזיק אותם בלי לדעת את המידות.

סוגי הזוויות, ושלושת הסכומים

< 90°

חדה

= 90°

ישרה

> 90°

קהה

= 180°

שטוחה

שלושה סכומים פותרים כמעט כל שאלת זוויות: זוויות צמודות משלימות ל- $180°$ , זוויות קודקודיות שוות, וסכום הזוויות במשולש הוא $180°$ . במרובע הסכום הוא $360°$ .

משולש

ABC

: שתי זוויות ידועות, והשלישית חסרה.

פעילות אינטראקטיבית

משולש שבו זווית אחת $40°$ ואחת $60°$

\begin{aligned}\angle A &= 40° \\ \quad \angle B &= 60° \\ \quad \angle C &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סכום הזוויות במשולש הוא $180°$ .

שתיים ידועות

40 + 60 = 100

מחברים את שתי הזוויות שבשרטוט.

השלישית

180 - 100 = 80

מה שחסר עד $180°$ הוא $\angle C = 80°$ .

סוג

40 < 90, \ 60 < 90, \ 80 < 90

כל שלוש הזוויות חדות, ולכן המשולש חד-זווית.

בודקים את סוג המשולש לפי הזווית הגדולה שבו.

לעשות את הפעילות ב-elev

שטח והיקף כשהצלע היא אות

כשצלע נתונה כ- $x$ , שטח והיקף הופכים לשני ביטויים שונים לגמרי — והמבחן שואל את שניהם על אותה צורה, כדי לראות מי מבחין. ההיקף נשאר ליניארי, השטח מגיע לריבוע.

P = 4x

היקף ריבוע

S = x^{2}

שטחו

P = 2(a+b)

היקף מלבן

S = ab

שטחו

ריבוע שצלעו

x

. מהפינה גזרו מלבן

6 \times 3

(המקווקו). האזור הצבוע הוא מה שנשאר.

המלכודת: להניח שגזירה מקטינה גם את ההיקף.

P_{2} < P_{1}

P_{2} = P_{1}

פינה שנגזרת מוסיפה שני קטעים ומורידה שניים

S \downarrow \Rightarrow P \downarrow

S \downarrow, \ P \ ?

השטח תמיד קטן, ההיקף תלוי בצורת הגזירה

מריבוע גוזרים ריבוע קטן מפינה. מה קורה להיקף?

להציג את התשובה והפתרון

הוא אינו משתנה. הגזירה מסירה שני קטעים מהמסגרת ומוסיפה שניים באורך זהה, בדיוק במקומם. השטח, לעומת זאת, קטן — וזו כל ההבחנה.

מעגל, חסום וחוסם

מעגל חסום בריבוע: הוא נוגע בכל ארבע הצלעות, ולכן הקוטר שווה לצלע. הפינות האפורות הן ריבוע פחות עיגול.

שני צירופים חוזרים. מעגל חסום בריבוע: הקוטר שווה לצלע. ריבוע חסום במעגל: האלכסון שווה לקוטר. הראשון פשוט, השני קשה יותר — ובמבחן של כיתה ח׳ מופיע כמעט תמיד הראשון.

\begin{aligned}S &= \pi r^{2} \\ \quad P &= 2\pi r\end{aligned}

המעגל, עם π = 3.14

כשמבקשים שטח אפור בין שתי צורות, הוא כמעט תמיד הפרש של שני שטחים מוכרים. אל תנסו לחשב את הצורה המשונה ישירות — חשבו את הגדולה, חסרו את הקטנה.

ריבוע ששטחו $100$ סמ״ר, ובתוכו מעגל חסום. מהו שטח הפינות?

להציג את התשובה והפתרון

$21.5$ סמ״ר. צלע הריבוע $10$ , רדיוס המעגל $5$ , שטח המעגל $3.14 \times 25 = 78.5$ , והפינות הן $100 - 78.5$ .

סוגי הזוויות, ושלושת הסכומים

שטח והיקף כשהצלע היא אות

מעגל, חסום וחוסם

השיעור הבא מחכה ב-elev