קטעים · הנדסת המישור · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

קטע הוא החלק של ישר שנמצא בין שתי נקודות. קוראים לו בשם שתי הנקודות שבקצותיו: הקטע $AB$ . לקטע יש אורך — ובמבחן האורך הזה הוא לפעמים מספר, ולפעמים ביטוי עם $x$ .

שלוש נקודות על ישר אחד

כשהנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ נמצאות על ישר אחד בסדר הזה, הנקודה $B$ נמצאת בין $A$ ל- $C$ . אז הקטע הגדול $AC$ מורכב משני הקטעים הקטנים.

B

בין

A

ל-

C

. שני החלקים הקטנים יחד הם הקטע השלם:

7 + {?} = 19

AB + BC = AC

כש- $B$ בין $A$ ל- $C$

AB = AC - BC

חלק חסר: מחסרים מהקטע השלם

BC = AC - AB

וכך גם לחלק השני

הנקודות $A$ , $B$ , $C$ על ישר אחד, בסדר הזה. $AB = 7$ ס״מ ו- $AC = 19$ ס״מ. מהו $BC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

12 ס״מ. $BC = AC - AB = 19 - 7$ .

אמצע קטע

הקווים הקטנים על שני החצאים אומרים: שווים. לכן

2x + 3 = 5x - 9

הנקודה $M$ היא אמצע הקטע $AB$ אם היא מחלקת אותו לשני חלקים שווים. כל חצי הוא מחצית הקטע כולו.

\begin{aligned}AM &= MB \\ &= \frac{AB}{2}\end{aligned}

ובכיוון ההפוך: $AB = 2 \times AM$

פעילות אינטראקטיבית

$M$ אמצע $AB$ . $AM = 2x + 3$ ו- $MB = 5x - 9$ . מהו אורך $AB$ ?

\begin{aligned}AM &= 2x + 3 \\ \quad MB &= 5x - 9 \\ \quad AB &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». שני החצאים שווים — זו המשוואה.

משוואה

2x + 3 = 5x - 9

$AM = MB$ , כי $M$ אמצע.

פתרון

\begin{aligned}12 &= 3x \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מעבירים את $x$ לצד אחד ואת המספרים לצד השני.

הצבה

\begin{aligned}AM &= 2 \times 4 + 3 \\ &= 11\end{aligned}

מציבים $x = 4$ . בדיקה: $MB = 5 \times 4 - 9 = 11$ ✓.

תשובה

\begin{aligned}AB &= 2 \times 11 \\ &= 22\end{aligned}

הקטע כולו הוא פעמיים החצי. התשובה $22$ , ולא $4$ ולא $11$ .

שלוש תשובות אפשריות במבחן: $x$ , החצי, והקטע כולו. קראו מה שאלו.

לעשות את הפעילות ב-elev

קטעים באות

$A$ , $B$ , $C$ על ישר בסדר הזה. $AB = x + 4$ , $BC = 2x - 1$ , $AC = 21$ . מצאו את $BC$ .

החלקים מתחברים לשלם.

(x + 4) + (2x - 1) = 21

$AB + BC = AC$

\begin{aligned}3x + 3 &= 21 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

מכנסים איברים דומים

\begin{aligned}BC &= 2 \times 6 - 1 \\ &= 11\end{aligned}

עונים על מה שנשאל: $BC$ , לא $x$

\begin{aligned}AB &= 10 \\ \quad 10 + 11 &= 21\end{aligned}

בדיקה

חלוקת קטע ביחס

הנקודה $P$ מחלקת את $AB$ ביחס $2:3$ פירושו: $AP$ הוא 2 חלקים, $PB$ הוא 3 חלקים, וכל הקטע הוא $2 + 3 = 5$ חלקים שווים.

פעילות אינטראקטיבית

$P$ מחלקת את $AB$ ביחס $2 : 3$

$AB = 20$ ס״מ. הנקודה $P$ מחלקת את הקטע ביחס $AP : PB = 2 : 3$ . מהם $AP$ ו- $PB$ ?

$AB$

20 ס״מ

הקטע כולו: $20$ ס״מ.

$AB$

20 ס״מ

2 + 3 = 5

$2 : 3$ פירושו $2$ חלקים ועוד $3$ חלקים — 5 חלקים שווים.

$AB$

20 ס״מ

20 : 5 = 4

כל חלק: $4$ ס״מ.

$AP$

$PB$

\begin{aligned}AP &= 2 \times 4 \\ &= 8 \\ \quad PB &= 3 \times 4 \\ &= 12\end{aligned}

שני חלקים ל- $AP$ , שלושה ל- $PB$ . בדיקה: $8 + 12 = 20$ ✓.

מחלקים במספר כל החלקים, $5$ — לא ב- $2$ ולא ב- $3$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

קטע שאורכו $24$ ס״מ מחולק ביחס $1 : 3$ . מהו אורך החלק הקצר?

להציג את התשובה והפתרון

6 ס״מ. ארבעה חלקים, $24 : 4 = 6$ . החלק הארוך הוא $18$ .

שתי טעויות שהמבחן מחכה להן.

\begin{aligned}AC &= 7 + 5 \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}AC &= 12 \quad \\ \quad AC &= 2\end{aligned}

נתון: $AB = 7$ , $BC = 5$ , והנקודות $A$ , $B$ , $C$ על ישר אחד, בלי סדר. אם $C$ בין $A$ ל- $B$ , אז $AC = 7 - 5 = 2$ . בלי סדר — לא ניתן לדעת.

AP = 20 : 3 \times 2

\begin{aligned}AP &= 20 : 5 \times 2 \\ &= 8\end{aligned}

ביחס $2:3$ מחלקים במספר כל החלקים, $5$ , ולא ב- $3$ .

במבחן אין תמיד שרטוט. לפני שאתם מחברים קטעים, חפשו את המילים "בסדר הזה" או "בין". אם הן חסרות, ייתכן שהתשובה היא "לא ניתן לדעת". ואחרי שמצאתם את $x$ — הציבו אותו, כי השאלה שואלת כמעט תמיד על אורך ולא על $x$ .

תרגילים

תרגיל 1

הנקודות $A$ , $B$ , $C$ על ישר אחד, בסדר הזה. $AB = 8$ ס״מ ו- $AC = 15$ ס״מ. מהו אורך $BC$ (בס״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

\begin{aligned}BC &= AC - AB \\ &= 15 - 8 \\ &= 7\end{aligned}

הקטע השלם פחות החלק הידוע

התשובה היא 7 ס״מ. $B$ בין $A$ ל- $C$ , ולכן $AB + BC = AC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$M$ היא אמצע הקטע $AB$ . $AM = 3x$ ו- $AB = 42$ ס״מ. מהו $x$ ?

$3.5$
$21$
$7$
$14$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $7$

הפתרון:

\begin{aligned}AM &= 42 : 2 \\ &= 21\end{aligned}

חצי מהקטע

\begin{aligned}3x &= 21 \Rightarrow x \\ &= 7\end{aligned}

התשובה היא 7. $3x$ הוא חצי מהקטע, ולא הקטע כולו — ומי ששכח את זה קיבל $14$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הנקודות $A$ , $B$ , $C$ על ישר אחד. $AB = 5$ ו- $BC = 3$ . לכן בהכרח $AC = 8$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= 5 + 3 \\ &= 8\end{aligned}

אם $B$ בין $A$ ל- $C$

\begin{aligned}AC &= 5 - 3 \\ &= 2\end{aligned}

אם $C$ בין $A$ ל- $B$

הטענה שגויה. הסדר של הנקודות לא נתון, ולכן יש שתי אפשרויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

השלימו

קטע שאורכו $30$ ס״מ מחולק ביחס $1 : 2$ . החלק הקצר הוא ____ ס״מ, והחלק הארוך הוא ____ ס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: קטע שאורכו $30$ ס״מ מחולק ביחס $1 : 2$ . החלק הקצר הוא 10 ס״מ, והחלק הארוך הוא 20 ס״מ.

הפתרון:

30 : 3 = 10

שלושה חלקים שווים

\begin{aligned}1 \times 10 &= 10 \\ \quad 2 \times 10 &= 20\end{aligned}

החלקים הם 10 ו-20 ס״מ, וסכומם $30$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שלוש נקודות על ישר אחד

אמצע קטע

קטעים באות

חלוקת קטע ביחס

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev