הסתברות — שקית, גלגל ושתי קוביות · הסתברות · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

במבחן של כיתה ח׳ מופיעה כמעט תמיד שאלה אחת או שתיים על הסתברות: בוחרים באקראי תלמיד מכיתה, מוציאים כדור מקופסה, מסובבים גלגל או מטילים קוביות. החישוב קצר — שבר אחד. כל הקושי הוא לספור נכון: כמה מקרים מתאימים, וכמה מקרים אפשריים יש בכלל.

שקית עם גולות

פעילות אינטראקטיבית

מוציאים גולה אחת מהשקית, בלי להסתכל

בשקית 3 גולות אדומות ו-5 גולות כחולות. מוציאים גולה אחת בלי להסתכל, ולכל גולה אותו סיכוי לצאת.

אדומות

כחולות

סופרים את כל הגולות. כל אחת מהן יכולה לצאת: אלה המקרים האפשריים, והם המכנה.

3 + 5 = 8

אדומות

כחולות

רוצים גולה אדומה. מדליקים רק את האדומות: אלה המקרים המתאימים, והם המונה.

P = \frac{3}{8}

אדומות

כחולות

והכחולות? $5$ מתוך $8$ . יחד שתי ההסתברויות נותנות $1$ — גולה כלשהי בטוח תצא.

\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = 1

אדומות

כחולות

מוסיפים לשקית 2 גולות אדומות. עכשיו $5$ אדומות מתוך $10$ — גם המונה וגם המכנה גדלו, והסיכוי עלה לחצי.

\frac{5}{10} = \frac{1}{2}

אדומות

כחולות

המונה סופר את מה שרוצים. המכנה סופר הכול.

לעשות את הפעילות ב-elev

הסתברות = מספר המקרים המתאימים ÷ מספר המקרים האפשריים (בתנאי שלכל המקרים אותו סיכוי)

בשקית $4$ גולות ירוקות ו- $6$ גולות צהובות. מוציאים גולה אחת באקראי. מה ההסתברות שהיא ירוקה?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ . המכנה הוא כל הגולות — $10$ , ולא רק הצהובות ( $6$ ).

0

בלתי אפשרי

\frac{1}{2}

סיכוי שווה

1

ודאי

1 - P

המשלים: שזה לא יקרה

גלגל מזל

בגלגל שכל הגזרות שלו שוות, סופרים גזרות. בגלגל של שמונה גזרות שוות, שלוש מהן צבועות — ההסתברות שהחץ ייעצר על גזרה צבועה היא $\frac{3}{8}$ .

שמונה גזרות שוות, שלוש צבועות:

\frac{3}{8}

אבל ביריד הגזרות אינן שוות. אז כבר לא סופרים גזרות: ההסתברות היא החלק של הגלגל שהגזרה תופסת.

גלגל המזל ביריד

פרס גדול12.5%
כדור25%
שוקולד37.5%
נסו שוב25%

ארבע גזרות — אבל ההסתברות לפרס הגדול אינה רבע. היא

12.5\% = \frac{1}{8}

מסובבים את הגלגל ביריד פעם אחת. מה ההסתברות שהחץ לא ייעצר על ״נסו שוב״?

להציג את התשובה והפתרון

$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ , כלומר $75\%$ . זה המשלים: מחשבים את מה שלא רוצים, ומחסרים מ- $1$ .

שתי קוביות — 36 תוצאות

מטילים שתי קוביות. לכל תוצאה של הקובייה הראשונה יש $6$ תוצאות של השנייה: $6 \times 6 = 36$ זוגות, ולכולם אותו סיכוי. הטבלה מראה את הסכום בכל משבצת.

סכום שתי הקוביות — 36 משבצות

קובייה א / קובייה ב	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

המשבצות המסומנות הן סכום

7

: שש משבצות מתוך

36

מה ההסתברות שסכום שתי הקוביות יהיה $12$ ? ומה ההסתברות שיהיה $7$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לסכום $12$ יש משבצת אחת בלבד ( $6$ ו- $6$ ): $\frac{1}{36}$ . לסכום $7$ יש שש משבצות: $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ . יש $11$ סכומים אפשריים (מ- $2$ עד $12$ ), אבל אין להם אותו סיכוי.

פעילות אינטראקטיבית

מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות ששתיהן יראו מספר זוגי?

P = \frac{?}{36}

לחצו «להתחיל». קודם המכנה, ואחר כך המונה.

המכנה

6 \times 6 = 36

כל זוג (ראשונה, שנייה) הוא תוצאה אחת.

המונה

3 \times 3 = 9

לקובייה הראשונה $3$ תוצאות זוגיות ( $2, 4, 6$ ), ולכל אחת מהן $3$ תוצאות זוגיות בשנייה.

השבר

\frac{9}{36} = \frac{1}{4}

מצמצמים ב- $9$ .

בדיקה

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

״וגם״ — שני הדברים יחד — הוא כפל: חצי מתוך חצי.

״וגם״ מקטין את ההסתברות: רבע, ולא חצי.

לעשות את הפעילות ב-elev

״או״ מול ״וגם״

״וגם״ — שני התנאים מתקיימים יחד: סופרים רק את המקרים שמקיימים את שניהם. ״או״ — לפחות אחד מהם מתקיים: סופרים את המקרים של שניהם, ומקרה משותף נספר פעם אחת בלבד.

מטילים קובייה אחת. מה ההסתברות לקבל מספר זוגי או מספר גדול מ- $4$ ?

רושמים את המקרים של כל תנאי, ומאחדים.

2, 4, 6

זוגי: שלוש תוצאות

5, 6

גדול מ- $4$ : שתי תוצאות

2, 4, 5, 6

ה- $6$ מופיע בשתי הרשימות — כותבים אותו פעם אחת

\frac{4}{6} = \frac{2}{3}

שלוש טעויות שנראות הגיוניות.

\frac{1}{2}

\frac{1}{6}

״יש שתי אפשרויות — יוצא $6$ או לא יוצא $6$ — ולכן הסיכוי חצי.״ לא. לשתי האפשרויות אין אותו סיכוי: ל״לא $6$ ״ יש חמש תוצאות. שתי אפשרויות אינן אומרות חצי.

\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

\frac{4}{6}

ב״או״ ה- $6$ נספר פעמיים — פעם כזוגי ופעם כגדול מ- $4$ . סופרים אותו פעם אחת.

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

שני מטבעות, ״עץ בשניהם״: ״וגם״ כופלים, לא מחברים. הסכום $1$ היה אומר שזה ודאי.

הסתברות ופרופורציה

לפעמים ההסתברות נתונה, והשאלה מבקשת כמות. ההסתברות היא חלק מהשלם: אם בכיתה של $30$ תלמידים ההסתברות לבחור בת היא $\frac{2}{5}$ , אז הבנות הן $\frac{2}{5}$ מ- $30$ .

בכיתה $30$ תלמידים. ההסתברות לבחור בת היא $\frac{2}{5}$ . כמה בנים בכיתה?

להציג את התשובה והפתרון

$18$ . בנות: $\frac{2}{5} \cdot 30 = 12$ , ובנים: $30 - 12 = 18$ . אפשר גם ישר, דרך המשלים: $\frac{3}{5} \cdot 30 = 18$ .

בדקו שהתשובה בין $0$ ל- $1$ . קיבלתם יותר מ- $1$ ? הפכתם את השבר. ובמבחן, אם אחת האפשרויות היא שבר לא מצומצם — כמו $\frac{9}{27}$ — צמצמו אותו לפני שאתם בוחרים.

שקית עם גולות

גלגל מזל

שתי קוביות — 36 תוצאות

״או״ מול ״וגם״

הסתברות ופרופורציה

השיעור הבא מחכה ב-elev