סדרה 5 — מעורבת · סדרות ותבניות · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

עשר שאלות בפורמט המבחן. הפעילו שעון: שתים עשרה דקות, בלי מחשבון. תשובה שגויה אינה מורידה ניקוד — אם אינכם בטוחים, סמנו את מה שנראה לכם הגיוני והמשיכו.

תרגילים

תרגיל 1

מהו האיבר הבא בסדרה $2, 5, 11, 23, 47, \ldots$ ?

$71$
$96$
$94$
$95$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $95$

הפתרון:

3, 6, 12, 24

ההפרשים מוכפלים

47 \times 2 + 1 = 95

התשובה היא $95$ . $71$ חוזר על ההפרש $24$ , ו- $94$ מכפיל ושוכח את התוספת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו האיבר הבא בסדרה $100, 1, 95, 2, 90, 4, 85, 8, \ldots$ ?

$16$
$75$
$80$
$12$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $80$

הפתרון:

100, 95, 90, 85

המקומות האי-זוגיים: יורדת ב- $5$

1, 2, 4, 8

הזוגיים: כפל ב- $2$

85 - 5 = 80

האיבר התשיעי במקום אי-זוגי

התשובה היא $80$ . $16$ הוא הבא בסדרה הזוגית — אבל עכשיו תור האי-זוגית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בסדרה, כל איבר מהשני והלאה שווה לשלוש פעמים הקודם פחות $2$ . האיבר הרביעי הוא $55$ . מהו האיבר הראשון?

$19$
$3$
$1$
$7$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $3$

הפתרון:

\frac{55 + 2}{3} = 19

הולכים אחורה: מוסיפים $2$ ומחלקים ב- $3$

\frac{19 + 2}{3} = 7

\frac{7 + 2}{3} = 3

התשובה היא $3$ . $7$ הוא האיבר השני — עצירה צעד אחד מוקדם מדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהי ספרת האחדות של $8^{50}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $4$

הפתרון:

8, 4, 2, 6

המחזור: $8 \times 8 = 64$ , $4 \times 8 = 32$ , $2 \times 8 = 16$

50 = 4 \times 12 + 2

שארית $2$

התשובה היא $4$ . $6$ מתקבל כשמתייחסים לשארית כאילו היא $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשלב $n$ מסדרים נקודות על ההיקף של ריבוע, כך שבכל צלע יש $n + 1$ נקודות (נקודת פינה שייכת לשתי צלעות). כמה נקודות בשלב $25$ ?

$104$
$100$
$96$
$625$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $100$

הפתרון:

4(n + 1) - 4 = 4n

ארבע צלעות, וכל אחת מארבע הפינות נספרה פעמיים

4 \times 25 = 100

התשובה היא $100$ . $104$ סופר כל פינה פעמיים, ו- $625$ ממלא את כל הריבוע במקום רק את ההיקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בסדרה, האיבר הראשון $1$ , וכל איבר הבא שווה לשלוש פעמים הקודם ועוד $1$ . איזה מהמספרים הבאים מופיע בסדרה?

אף אחת מהתשובות אינה נכונה
$360$
$365$
$1092$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אף אחת מהתשובות אינה נכונה

הפתרון:

1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093

האיברים

364 + 1 = 365 \neq 1093

$365$ ו- $1092$ קרובים לאיברים, אבל אינם איברים

התשובה היא אף אחת מהתשובות אינה נכונה. $365$ ו- $1092$ נבנו להיראות כמו ״האיבר הבא״ — אבל $364 \times 3 + 1 = 1093$ . $360$ ו- $1092$ מתחלקים ב- $3$ , ואילו כל איבר הוא ״שלוש פעמים משהו ועוד $1$ ״ — שארית $1$ בחלוקה ל- $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו האיבר הבא בסדרה $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8}, \frac{8}{13}, \ldots$ ?

$\frac{13}{18}$
$\frac{8}{21}$
$\frac{13}{21}$
$\frac{11}{21}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\frac{13}{21}$

הפתרון:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21

המונים והמכנים — שניהם סדרה שבה כל איבר הוא סכום שני הקודמים

\frac{13}{21}

המונה החדש הוא המכנה הקודם

התשובה היא $\frac{13}{21}$ . $\frac{13}{18}$ מקדם את המכנה בהפרש קבוע של $5$ , ו- $\frac{11}{21}$ מקדם את המונה בהפרש $3$ — שניהם מתאימים רק לזוג האחרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בסדרה $3, 50, 7, 45, 11, 40, \ldots$ — מהו סכום האיבר ה- $29$ והאיבר ה- $30$ ?

$38$
$39$
$40$
$54$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $39$

הפתרון:

3 + 4 \times 14 = 59

ה- $29$ : האיבר ה- $15$ בסדרה האי-זוגית

50 - 5 \times 14 = -20

ה- $30$ : האיבר ה- $15$ בסדרה הזוגית

59 + (-20) = 39

התשובה היא $39$ . דרך קצרה: סכום כל זוג יורד ב- $1$ — $53, 52, 51, \ldots$ — ולכן הזוג ה- $15$ נותן $53 - 14$ . $38$ יורד $15$ פעמים במקום $14$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הסדרה $1, 2, 3, 1, 2, 3, \ldots$ — אחרי כמה איברים הסכום עובר לראשונה את $100$ ?

$50$
$17$
$51$
$49$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $51$

הפתרון:

1 + 2 + 3 = 6

סכום מחזור

16 \times 6 = 96

אחרי $48$ איברים

\begin{aligned}96 + 1 + 2 &= 99 \\ \quad 99 + 3 &= 102\end{aligned}

האיבר ה- $51$ עובר את $100$

התשובה היא $51$ . $17$ הוא מספר המחזורים ( $100 : 6 \approx 17$ ), לא מספר האיברים — ובכל מחזור שלושה איברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בשלב $1$ יש ריבוע אחד. בכל שלב מקיפים את כל הצורה בשכבה של ריבועים באותו גודל, כך שנוצר ריבוע גדול יותר: בשלב $2$ ריבוע $3 \times 3$ , בשלב $3$ ריבוע $5 \times 5$ . כמה ריבועים מוסיפים במעבר משלב $9$ לשלב $10$ ?

$80$
$72$
$19$
$36$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $72$

הפתרון:

(2n - 1) \times (2n - 1)

הצורה בשלב $n$

\begin{aligned}17^{2} &= 289 \\ \quad 19^{2} &= 361\end{aligned}

שלבים $9$ ו- $10$

361 - 289 = 72

התשובה היא $72$ . השכבה החדשה היא מסגרת של ריבוע $19 \times 19$ : ארבע צלעות של $19$ , פחות ארבע פינות שנספרו פעמיים — $4 \times 19 - 4 = 72$ . $19$ הוא רק צלע אחת, ו- $80 = 4 \times 20$ סופר צלע ארוכה מדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev