מספרים מכוונים — הסימן והמקום על הציר · מספרים מכוונים · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

ברגע שהמספרים השליליים נכנסים, שני דברים שהיו מובנים מאליהם מפסיקים להיות נכונים: כפל לא תמיד מגדיל, ומספר גדול יותר אינו בהכרח רחוק יותר מאפס. המבחן בונה את רוב השאלות שלו על שתי ההפתעות האלה.

הציר קובע מי גדול

על ציר המספרים, ימינה פירושו גדול יותר — תמיד. $-2$ גדול מ- $-7$ , אף ש- $7$ גדול מ- $2$ . הדרך הבטוחה לענות על כל שאלת השוואה בין שליליים היא לצייר את הציר בשוליים, ולא לסמוך על התחושה.

-7 < -2 < 0 < 2 < 7

הסדר על הציר

|-7| > |-2|

אבל המרחק מאפס הפוך

המלכודת הראשונה: להשוות שליליים לפי הגודל המספרי.

-7 > -2

-7 < -2

שבעה מתחת לאפס נמוך משניים מתחת לאפס

|a| > |b| \Rightarrow a > b

|-7| > |-2|

המרחק אינו הסדר

ארבע פעולות, שני כללי סימן

בכפל ובחילוק הכלל היחיד שצריך הוא ספירת המינוסים: מספר זוגי של מינוסים נותן תוצאה חיובית, מספר אי-זוגי נותן שלילית. בחיבור ובחיסור הכלל אחר — מחסירים מינוס פירושו להוסיף.

(-) \times (-) = (+)

שני מינוסים

(-) \times (+) = (-)

מינוס אחד

a - (-b) = a + b

חיסור של שלילי

a + (-b) = a - b

חיבור של שלילי

האם $-a$ הוא בהכרח מספר שלילי?

להציג את התשובה והפתרון

לא. אם $a$ עצמו שלילי, למשל $a = -3$ , אז $-a = 3$ — חיובי. הסימן שכתוב לפני האות אינו אומר דבר על סימן הערך; זו אחת השאלות שהמבחן שואל כמעט תמיד.

כפל שמקטין, וחילוק שמגדיל

המספרים בין $0$ ל- $1$ מתנהגים הפוך ממה שהיד רגילה: כפל בהם מקטין, וחילוק בהם מגדיל. ומעבר לזה, כפל במספר שלילי הופך את הסדר — $2 < 3$ , אבל $-2 > -3$ .

המלכודת השנייה: להניח שכפל מגדיל.

a \times b > a

5 \times 0.5 = 2.5

כפל בשבר קטן מאחד מקטין

a \times b > a

5 \times (-2) = -10

וכפל בשלילי מקטין תמיד, לחיובי

שאלות ״מי הגדול״ בלי מספרים

הצורה השכיחה בכיתה ח׳: נתונים $a$ חיובי ו- $b$ שלילי, ושואלים איזה ביטוי גדול ביותר. אין כאן חישוב — יש בדיקת סימן. ביטוי חיובי גדול מכל ביטוי שלילי, ורק אם שניים חיוביים צריך להשוות גודל.

פעילות אינטראקטיבית

בדיקת סימן, בלי מספרים

$a$ חיובי ו- $b$ שלילי. מי גדול יותר: $a - b$ או $a + b$ ?

$a - b$

$a + b$

הם שווים

לא ניתן לדעת

מה עושה $-b$ כש- $b$ שלילי?

$-b$ חיובי

להציג את התשובה והפתרון

המינוס לפני $b$ הופך את הסימן: אם $b = -3$ אז $-b = 3$ .

$-b$ שלילי, כי יש לפניו מינוס

להציג את התשובה והפתרון

המינוס לפני האות אינו הסימן של הערך. $-(-3) = 3$ .

b < 0 \ \Rightarrow \ -b > 0

ולכן $a - b = a + (-b)$ הוא $a$ ועוד מספר חיובי.

ו- $a + b$ ?

$a$ ועוד מספר שלילי — קטן מ- $a$

להציג את התשובה והפתרון

חיבור של שלילי מחסיר.

גדול מ- $a$ , כי מחברים

להציג את התשובה והפתרון

חיבור מגדיל רק כשהמחובר חיובי. כאן $b < 0$ .

a + b < a < a - b

$a$ נמצא באמצע: $a + b$ משמאלו, $a - b$ מימינו.

איך בודקים עם מספרים?

מציבים $a = 2$ , $b = -3$

להציג את התשובה והפתרון

זוג פשוט, ששומר על התנאים: $a > 0$ , $b < 0$ .

מציבים $a = 2$ , $b = 3$

להציג את התשובה והפתרון

$b$ חייב להיות שלילי. זוג כזה בודק שאלה אחרת.

\begin{aligned}a - b &= 2 + 3 \\ &= 5 \\ \quad a + b &= 2 - 3 \\ &= -1\end{aligned}

$5 > -1$ ✓

להציג את התשובה והפתרון

$a - b$ גדול יותר, תמיד. מי שחשב ש- $-b$ שלילי בחר $a + b$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

כשנתקעים בשאלה כזו, הציבו מספרים משלכם — למשל $a = 2$ ו- $b = -3$ . אם התוצאה עדיין מותירה שתי אפשרויות, הציבו זוג שני. שני זוגות שנותנים סדר שונה מוכיחים ש״לא ניתן לדעת״.

$b$ שלילי. מי גדול יותר — $b^{2}$ או $b$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$b^{2}$ , תמיד. ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי, וכל חיובי גדול מכל שלילי. עם $b = -3$ : $b^{2} = 9$ ו- $b = -3$ .

הציר קובע מי גדול

ארבע פעולות, שני כללי סימן

כפל שמקטין, וחילוק שמגדיל

שאלות ״מי הגדול״ בלי מספרים

השיעור הבא מחכה ב-elev