השאלה הראשונה במבחן נשמעת כך: «קובייה שמקצועה ס״מ». מי שאינו יודע מהו מקצוע רואה רק את המספר — ומנחש. שלוש מילים פותחות את כל הפרק, ואפשר לראות את כולן על גוף אחד.
שלוש מילים, שלושה ממדים
פאה — משטח. יש לה שטח, ומודדים אותו בסמ״ר. לתיבה פאות.
מקצוע — קו המפגש של שתי פאות. יש לו אורך, ומודדים אותו בס״מ. לתיבה מקצועות.
קודקוד — נקודת המפגש של שלושה מקצועות. אין לו לא אורך ולא שטח. לתיבה קודקודים.
סדר הזיכרון יורד ממד־ממד: פאה היא שטח (דו-ממדי), מקצוע הוא קו (חד-ממדי), קודקוד הוא נקודה (אפס ממדים). .
בקובייה שמקצועה ס״מ — מהו המספר ? אורך, שטח או נפח?
להציג את התשובה והפתרון
אורך — של מקצוע אחד, בס״מ. שטח פאה אחת הוא סמ״ר, והנפח הוא סמ״ק. שלושת המספרים שונים, ורק אחד מהם כתוב בשאלה.
תיבה וקובייה — אותו גוף, מקרה מיוחד
לתיבה שש פאות שכולן מלבנים. כשכל המקצועות שווים באורכם, כל שש הפאות הופכות לריבועים, והגוף נקרא קובייה. כל קובייה היא תיבה; לא כל תיבה היא קובייה — בדיוק כמו שכל ריבוע הוא מלבן.
כמה פאות, מקצועות וקודקודים יש לקובייה?
להציג את התשובה והפתרון
פאות, מקצועות, קודקודים — בדיוק כמו לכל תיבה. הקובייה אינה גוף אחר, היא תיבה שכל מידותיה שוות.
הבלבול שעולה נקודות: להחליף מקצוע בפאה.
«מקצוע » הוא אורך. שטח פאה הוא , ורק אחר כך כופלים ב-.
נפח הוא מכפלת שלוש המידות, לא סכום הפאות.
סכום אורכי המקצועות
שאלה שחוזרת: «כמה חוט צריך כדי לבנות שלד של תיבה?» השלד הוא כל המקצועות. יש ארבעה בכל כיוון, ולכן הסכום הוא — ולקובייה, .
סכום אורכי כל המקצועות של תיבה
כמה חוט צריך לשלד של קובייה שמקצועה ס״מ?
להציג את התשובה והפתרון
ס״מ. מקצועות, כל אחד : . זה — אותה נוסחה.
תרגילים
תרגיל 1
כמה פאות יש לתיבה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 6
הפתרון:
שלושה זוגות נגדיים
— קדימה ואחורה, למעלה ולמטה, ימין ושמאל.
תרגיל 2
כמה מקצועות יש לתיבה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 12
הפתרון:
ארבעה מקצועות בכל אחד משלושת הכיוונים
— כל מקצוע הוא קו מפגש של שתי פאות.
תרגיל 3
כמה קודקודים יש לקובייה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 8
הפתרון:
ארבע פינות למטה, ארבע למעלה
— לקובייה בדיוק אותם מספרים כמו לכל תיבה.
תרגיל 4
כמה מקצועות נפגשים בכל קודקוד של תיבה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 3
הפתרון:
אורך, רוחב וגובה
— בכל פינה נפגשים שלושה קווים, אחד מכל כיוון.
תרגיל 5
מהו מקצוע?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ג הקו שבו נפגשות שתי פאות
הפתרון:
קו המפגש
מקצוע הוא קו. פאה היא משטח, קודקוד הוא נקודה.
תרגיל 6
מהו קודקוד?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ד הנקודה שבה נפגשים שלושה מקצועות
הפתרון:
נקודת המפגש
קודקוד הוא נקודה — פינה של הגוף.
תרגיל 7
בשאלה «קובייה שמקצועה ס״מ», מה מציין המספר ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ד את אורכו של מקצוע אחד
הפתרון:
יחידת אורך, לא שטח
אורך מקצוע. שטח פאה הוא סמ״ר, והנפח סמ״ק — שני מספרים אחרים לגמרי.
תרגיל 8
מהו שטחה של פאה אחת בקובייה שמקצועה ס״מ? (בסמ״ר)
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 16
הפתרון:
כל פאה היא ריבוע
סמ״ר. שטח הפנים כולו הוא סמ״ר — פי שש.
תרגיל 9
מהו סכום אורכי כל המקצועות של קובייה שמקצועה ס״מ? (בס״מ)
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 36
הפתרון:
שנים עשר מקצועות שווים
ס״מ — זה אורך החוט שדרוש כדי לבנות את השלד.
תרגיל 10
תיבה שאורכה ס״מ, רוחבה ס״מ וגובהה ס״מ. מהו סכום אורכי כל מקצועותיה? (בס״מ)
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 40
הפתרון:
ארבעה מקצועות מכל כיוון
ס״מ. מי שסוכם רק ספר פינה אחת במקום את כל השלד.
תרגיל 11
בתיבה שאורכה , רוחבה וגובהה — כמה מקצועות אורכם ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 4
הפתרון:
ארבעה מקצועות בכל כיוון
. הרוחב מופיע ארבע פעמים: פעמיים למטה ופעמיים למעלה.
תרגיל 12
איזו טענה נכונה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ב כל קובייה היא תיבה, אבל לא כל תיבה היא קובייה
הפתרון:
מקרה פרטי
כמו ריבוע ומלבן: הקובייה היא מקרה פרטי של תיבה, זו שכל מידותיה שוות. מספרי הפאות, המקצועות והקודקודים זהים בשתיהן.
תרגיל 13
כמה זוגות של פאות זהות יש לתיבה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 3
הפתרון:
כל פאה ובת זוגה הנגדית
— וזה בדיוק מקור ה- שבנוסחה .
תרגיל 14
בתיבה, כמה פאות נפגשות בכל מקצוע?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: א שתיים
הפתרון:
מקצוע הוא קו מפגש של שתי פאות
שתיים — זו ההגדרה עצמה. שלוש פאות נפגשות בקודקוד, לא במקצוע.