הנדסת המרחב — תיבה וקובייה · הנדסת המרחב — תיבה וקובייה · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

לגוף יש שני גדלים שאינם עולים יחד באותו קצב: הנפח, כמה הוא מכיל, ושטח הפנים, כמה נייר צריך כדי לעטוף אותו. המבחן שואל את שניהם על אותו גוף, ומוסיף גוף שנבנה משניים — כי שם ההבדל ביניהם הופך מכריע.

שתי הנוסחאות

\begin{aligned}V &= a \cdot b \cdot c \\ \qquad S &= 2(ab + bc + ac)\end{aligned}

תיבה — נפח ושטח פנים

לתיבה שש פאות, בשלושה זוגות זהים: הקדמית והאחורית, העליונה והתחתונה, הימנית והשמאלית. לכן כל מכפלה מופיעה פעמיים. בקובייה כולן שוות, ולכן $S = 6a^{2}$ ו- $V = a^{3}$ .

פעילות אינטראקטיבית

מאיפה בא ה- $2$ שבנוסחה

אותה תיבה — הפעם סופרים שטח, לא נפח. מידותיה $4$ , $2$ ו- $2$ .

הפאה שלפנים והפאה שמאחור: כל אחת $a \cdot c$ . שתיהן יחד — $2 \cdot a \cdot c$ .

הפאה העליונה והתחתונה: כל אחת $a \cdot b$ . עוד $2 \cdot a \cdot b$ .

הפאה הימנית והשמאלית: כל אחת $b \cdot c$ . עוד $2 \cdot b \cdot c$ .

שלושת הזוגות יחד הם כל העטיפה. זה, ורק זה, מקור ה- $2$ שבנוסחה.

הפאה שמאחור, המצוירת בקו מקווקו, אינה נראית — אבל היא שם, וזהה לזו שמולה. שלושה זוגות, שלוש מכפלות, ולכן $S = 2(ab + bc + ac)$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

פעילות אינטראקטיבית

תיבה $2 \times 2 \times 4$

\begin{aligned}a &= 4 \\ \quad b &= 2 \\ \quad c &= 2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». אותו גוף — שני גדלים שונים.

נפח

\begin{aligned}V &= 4 \cdot 2 \cdot 2 \\ &= 16\end{aligned}

כמה קוביות של $1$ סמ״ק נכנסות: $16$ סמ״ק.

זוג 1

\begin{aligned}ab &= 4 \cdot 2 \\ &= 8\end{aligned}

הפאה העליונה (והתחתונה).

זוג 2

\begin{aligned}ac &= 4 \cdot 2 \\ &= 8\end{aligned}

הפאה הקדמית (והאחורית).

זוג 3

\begin{aligned}bc &= 2 \cdot 2 \\ &= 4\end{aligned}

הפאה הימנית (והשמאלית) — ריבוע.

שטח פנים

\begin{aligned}S &= 2(8 + 8 + 4) \\ &= 40\end{aligned}

כל פאה פעמיים: $40$ סמ״ר.

$16$ סמ״ק ו- $40$ סמ״ר — שני מספרים שונים, ושתי יחידות שונות, לאותה תיבה.

לעשות את הפעילות ב-elev

המלכודת הראשונה: לבלבל בין היחידות, ולכן בין הגדלים.

V = 40

V = 16

נפח בסמ״ק, שטח פנים בסמ״ר — ו- $40$ הוא שטח הפנים, לא הנפח.

S = ab + bc + ac

S = 2(ab + bc + ac)

כל פאה מופיעה פעמיים

הדבקה: הנפח מתחבר, שטח הפנים לא

כשמדביקים שני גופים פאה אל פאה, הנפח הוא סכום הנפחים — החומר לא נעלם. שטח הפנים קטן מסכום השניים, כי שתי הפאות שנדבקו זו לזו נעלמות מבחוץ: אחת מכל גוף.

פעילות אינטראקטיבית

שתי קוביות נפגשות — ספרו את הפאות שנשארות בחוץ

שתי קוביות נפרדות, שמקצוע כל אחת $5$ ס״מ. לכל אחת $6$ פאות — $12$ בסך הכול.

אלה שתי הפאות שייגעו זו בזו: אחת מכל קובייה. השנייה מצוירת בקו מקווקו כי היא בצדה הנסתר של הקובייה הימנית.

מקרבים ומדביקים.

שתי הפאות האדומות כלואות עכשיו בפנים. בחוץ נשארו $10$ פאות, לא $11$ .

הנפח התחבר במלואו; שטח הפנים איבד $2$ פאות.

המסיח שהמבחן מציע הוא $275$ — התשובה של מי שהחסיר פאה אחת. הפאות שנעלמות הן תמיד שתיים: אחת מכל גוף.

לעשות את הפעילות ב-elev

שתי קוביות שמקצוען $5$

מדביקים פאה אל פאה.

\begin{aligned}V &= 125 + 125 \\ &= 250\end{aligned}

הנפח מתחבר

\begin{aligned}S &= 150 + 150 - 2 \times 25 \\ &= 250\end{aligned}

שתי פאות נעלמו

בהדבקה נעלמות שתי פאות, לא אחת. מי שמחסיר פאה אחת מקבל תשובה שנראית סבירה ואינה נכונה — וזה בדיוק המסיח שמופיע.

מדביקים שתי תיבות $2 \times 3 \times 4$ ס״מ, פאה $3 \times 4$ אל פאה $3 \times 4$ . בכמה קטן שטח הפנים לעומת סכום שטחי השתיים?

להציג את התשובה והפתרון

ב- $24$ סמ״ר. הפאה המודבקת שטחה $3 \times 4 = 12$ סמ״ר, ונעלמות שתיים כאלה: $2 \times 12 = 24$ . מי שמחסיר $12$ בלבד נותן את התשובה שהמסיח מחכה לה.

חיתוך: הנפח קטן, שטח הפנים לא בהכרח

כשחותכים קובייה קטנה מפינה של תיבה, הנפח קטן — ברור. אבל שטח הפנים אינו משתנה: שלוש הפאות שנעלמו מהפינה מוחלפות בשלוש פאות חדשות באותו גודל בדיוק, בתוך הגומה שנוצרה. זו ההפתעה שהמבחן בונה עליה שאלה שלמה.

פעילות אינטראקטיבית

מוציאים קובייה מפינה — שימו לב לשני המספרים

קובייה $3 \times 3 \times 3$ : נפחה $27$ , שטח פניה $54$ . שני המספרים כתובים למטה — עקבו אחריהם.

זו הקובייה הקטנה שנוציא, בפינה הקדמית העליונה.

שלוש הפאות האדומות הן מה שיוצא מהעטיפה — הן היו בחוץ, ולא יהיו.

מוציאים. שלוש הפאות הירוקות שנחשפו בגומה הן מה שנכנס — באותו גודל בדיוק, אחת מול כל אדומה.

הנפח ירד ב- $1$ . שטח הפנים לא זז: שלוש יצאו, שלוש נכנסו.

אותה תופעה כמו גזירת ריבוע מפינת מלבן במישור: ההיקף נשמר, כי שני הקטעים שנעלמו הוחלפו בשני קטעים באותו אורך. כאן זה שטח הפנים.

לעשות את הפעילות ב-elev

מתיבה חותכים קובייה מפינה. מה קורה לנפח ולשטח הפנים?

להציג את התשובה והפתרון

הנפח קטן, ושטח הפנים נשאר שווה. כל פאה שנעלמה מבחוץ הוחלפה בפאה חדשה זהה בתוך הגומה. אותה תופעה כמו גזירת פינה ממלבן במישור — שם ההיקף נשמר, כאן שטח הפנים.

היחס בין שטח פנים לנפח

המבחן מגדיר לפעמים מדד: שטח הפנים חלקי הנפח. לקובייה הוא $\frac{6a^{2}}{a^{3}} = \frac{6}{a}$ — כלומר ככל שהקובייה גדולה יותר, המדד קטן. הנפח גדל מהר יותר משטח הפנים, ולכן גופים גדולים ״חסכוניים״ יותר בעטיפה.

לשתי קוביות, שמקצועותיהן $2$ ו- $4$ . איזו מהן «חסכונית» יותר בעטיפה ביחס לתכולתה?

להציג את התשובה והפתרון

זו שמקצועה $4$ . המדד שלה הוא $\frac{6}{4} = 1.5$ , ואילו של הקטנה $\frac{6}{2} = 3$ — פי שניים יותר עטיפה לכל יחידת נפח. זו הסיבה שקופסאות גדולות משתלמות יותר לאריזה, ושגוף קטן מתקרר מהר יותר.

\frac{6}{a}

המדד לקובייה

a = 1 \Rightarrow 6

הגדול ביותר

a = 6 \Rightarrow 1

שטח פנים שווה לנפח

a > 6 \Rightarrow < 1

הנפח עובר את השטח

תרגילים

תרגיל 1

אורך

6

, רוחב

3

, גובה

2

מהו נפחה של תיבה שאורכה $6$ , רוחבה $3$ וגובהה $2$ ס״מ? (בסמ״ק)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

6 \cdot 3 \cdot 2 = 36

מכפלת שלוש המידות

$36$ סמ״ק. שטח הפנים של אותה תיבה הוא $72$ סמ״ר — מספר אחר, ויחידה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

אורך

6

, רוחב

3

, גובה

2

מהו שטח הפנים של אותה תיבה — $6 \times 3 \times 2$ ס״מ? (בסמ״ר)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72

הפתרון:

2(18 + 6 + 12)

שלושת הזוגות

2 \times 36 = 72

$72$ סמ״ר. מי שכותב $36$ שכח להכפיל ב- $2$ — כל פאה מופיעה פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שתי קוביות מודבקות פאה אל פאה.

מדביקים שתי קוביות שמקצוען $5$ ס״מ, פאה אל פאה. מהו שטח הפנים של הגוף שהתקבל?

$150$ סמ״ר
$250$ סמ״ר
$300$ סמ״ר
$275$ סמ״ר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $250$ סמ״ר

הפתרון:

150 + 150 - 2 \times 25

שתי פאות נעלמות

= 250

$250$ סמ״ר. $275$ היא התשובה של מי שהחסיר פאה אחת בלבד; $300$ של מי שלא החסיר כלום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שתי קוביות מודבקות פאה אל פאה.

מהו נפחו של אותו גוף — שתי קוביות שמקצוען $5$ ס״מ, מודבקות? (בסמ״ק)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 250

הפתרון:

125 + 125 = 250

החומר אינו נעלם

$250$ סמ״ק. הנפח מתחבר במלואו — רק שטח הפנים מפסיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

החלק האפור הוא הפאות של החור שנוצר.

מקובייה שמקצועה $4$ ס״מ מוציאים קובייה קטנה שמקצועה $1$ ס״מ מאחת הפינות. מהו נפח הגוף שנשאר? (בסמ״ק)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 63

הפתרון:

4^{3} = 64

הנפח לפני

64 - 1 = 63

פחות הקובייה שיצאה

$63$ סמ״ק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

החלק האפור הוא הפאות של החור שנוצר.

ובאותו גוף — מה קרה לשטח הפנים?

קטן ל- $93$ סמ״ר
גדל ל- $99$ סמ״ר
נשאר $96$ סמ״ר
קטן ל- $95$ סמ״ר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג נשאר $96$ סמ״ר

הפתרון:

\begin{aligned}S &= 6 \times 16 \\ &= 96\end{aligned}

לפני

-3 + 3 = 0

שלוש יצאו, שלוש נכנסו

נשאר $96$ סמ״ר. שלוש הפאות שנעלמו מהפינה הוחלפו בשלוש פאות באותו גודל בדיוק, בתוך הגומה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לאיזו קובייה שטח הפנים והנפח שווים במספרם?

לאף קובייה
שמקצועה $6$
שמקצועה $1$
שמקצועה $3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שמקצועה $6$

הפתרון:

6a^{2} = a^{3}

a = 6

מחלקים ב- $a^{2}$

שמקצועה $6$ : $216$ סמ״ר ו- $216$ סמ״ק. מתחת ל- $6$ שטח הפנים גדול יותר, מעליו הנפח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו היחס בין שטח הפנים לנפח, בקובייה שמקצועה $3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\frac{6a^{2}}{a^{3}} = \frac{6}{a}

המדד

\frac{6}{3} = 2

$2$ . ככל שהקובייה גדלה המדד קטן: הנפח גדל מהר יותר משטח הפנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מדביקים שתי תיבות $2 \times 3 \times 4$ ס״מ, פאה $3 \times 4$ אל פאה $3 \times 4$ . מהו שטח הפנים של הגוף?

$104$ סמ״ר
$68$ סמ״ר
$80$ סמ״ר
$92$ סמ״ר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $80$ סמ״ר

הפתרון:

52 + 52 = 104

שתי התיבות בנפרד

104 - 2 \times 12 = 80

שתי פאות $3 \times 4$ נעלמות

$80$ סמ״ר. $92$ היא התשובה של מי שהחסיר פאה אחת; $104$ של מי שלא החסיר כלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שתי התיבות מודבקות בפאות של 3 על 4 ס״מ.

ומהו נפחו של אותו גוף מודבק? (בסמ״ק)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48

הפתרון:

24 + 24 = 48

הנפחים מתחברים

$48$ סמ״ק. שימו לב להבדל: הנפח הוכפל בדיוק, שטח הפנים לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שטח הפנים של קובייה הוא $96$ סמ״ר. מהו אורך מקצועה? (בס״מ)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

6a^{2} = 96

\begin{aligned}a^{2} &= 16 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

מחלקים ב- $6$ , ואז שורש

$4$ ס״מ. הדרך אחורה: קודם מחלקים ב- $6$ כדי לקבל פאה אחת, ורק אז מוציאים שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

אורך

10

, רוחב

2

, גובה

3

נפחה של תיבה $10 \times 2 \times 3$ ס״מ הוא $60$ סמ״ק. מהו שטח פניה? (בסמ״ר)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 112

הפתרון:

2(20 + 6 + 30)

שלושת הזוגות

2 \times 56 = 112

$112$ סמ״ר. הנפח שנתון בשאלה אינו עוזר לחשב את שטח הפנים — הוא רק מפתה להשתמש בו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שתי הנוסחאות

הדבקה: הנפח מתחבר, שטח הפנים לא

חיתוך: הנפח קטן, שטח הפנים לא בהכרח

היחס בין שטח פנים לנפח

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev