גרף מרחק-זמן וממוצע · מושגי יסוד בסטטיסטיקה · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

בפרק הנתונים של כיתה ח׳ מופיע גרף שאינו עמודות: מרחק כפונקציה של זמן. הוא מספר סיפור — יציאה, נסיעה, הפסקה, חזרה — ומי שיודע לקרוא את השיפוע עונה על ארבע שאלות ברצף בלי לחשב כמעט דבר.

השיפוע הוא המהירות

\nearrow

עולה: מתרחקים

\rightarrow

אופקי: עצירה

\searrow

יורד: חוזרים

ככל שהקו תלול יותר, המהירות גדולה יותר. קו אופקי פירושו שהזמן רץ והמרחק קפוא — עצירה. וקו יורד אינו ״מהירות שלילית״ אלא חזרה לכיוון נקודת המוצא.

המלכודת הראשונה: לקרוא קטע אופקי כ״עומדת במקום אפס״.

\rightarrow \ \Rightarrow \ d = 0

\rightarrow \ \Rightarrow \ \Delta d = 0

המרחק אינו משתנה, ואינו מתאפס

\searrow \ \Rightarrow \ v < 0

\searrow \ \Rightarrow \ \text{חזרה}

הכיוון התהפך, לא המהירות

שני גרפים באותה מערכת

כשמופיעים שני כלי רכב, נקודת החיתוך היא הרגע שבו הם נמצאים באותו מרחק מנקודת המוצא — כלומר זה שעוקף את זה. אין צורך בחישוב: מוצאים את החיתוך וקוראים את הזמן על הציר האופקי.

משאית ואופנוע יוצאים מאותה נקודה

משאית
אופנוע

המשאית היא אותה משאית מלמעלה. האופנוע יוצא שעה אחריה, ונוסע בקו ישר ותלול. במקום שבו הקווים נחתכים — שני כלי הרכב באותו מרחק מאשדוד.

לפי הגרף: מתי האופנוע עוקף את המשאית, ובאיזה מרחק מאשדוד?

להציג את התשובה והפתרון

אחרי שעתיים וחצי, במרחק 90 ק״מ. זו נקודת החיתוך. לפניה המשאית רחוקה יותר, ואחריה האופנוע רחוק יותר. בדיקה: האופנוע נוסע $60$ קמ״ש כבר שעה וחצי, $60 \times 1.5 = 90$ .

ממוצע הוא סכום מוסתר

כל שאלת ממוצע נפתחת באותו מעבר: ממוצע כפול מספר האיברים שווה לסכום. משם הכול הופך לחיבור וחיסור, וגם השאלות ההפוכות — ״איזה מספר צריך להוסיף כדי שהממוצע לא ישתנה״ — נפתרות מיד.

\bar{x} \times n = \Sigma

המעבר שפותח כל שאלה

פעילות אינטראקטיבית

מספר שאינו מזיז את הממוצע

\begin{aligned}\bar{x} &= 12 \\ \quad n &= 5 \quad \to \quad n \\ &= 6\end{aligned}

לנועה ממוצע $12$ בחמישה משחקים. כמה נקודות צריך במשחק השישי, כדי שהממוצע יישאר $12$ ?

הסכום

5 \times 12 = 60

הממוצע כפול מספר המשחקים = הסכום. ( $8 + 15 + 10 + 14 + 13 = 60$ ✓)

משוואה

\frac{60 + x}{6} = 12

$x$ — הנקודות במשחק השישי. עכשיו יש $6$ משחקים.

כופלים

60 + x = 72

כופלים ב- $6$ : הסכום החדש צריך להיות $6 \times 12 = 72$ .

תוצאה

x = 12

המספר שצריך הוא הממוצע עצמו.

מוסיפים מספר ששווה לממוצע — והממוצע לא זז.

לעשות את הפעילות ב-elev

שישה משחקים, והממוצע

חמשת המשחקים הראשונים
המשחק השישי

הקו האופקי הוא הממוצע,

12

. מה שמעל הקו (

3 + 2 + 1 = 6

) ממלא בדיוק את מה שמתחתיו (

4 + 2 = 6

). העמודה השישית נוגעת בקו — ולכן לא משנה דבר.

מספר ששווה לממוצע אינו מזיז אותו. מכאן שכדי לשמור על ממוצע כשמוסיפים שני מספרים, די שסכומם יהיה פי שניים מהממוצע — הם עצמם יכולים להיות רחוקים ממנו לגמרי.

הממוצע של חמישה מספרים הוא $10$ . אילו שני מספרים אפשר להוסיף מבלי לשנות את הממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

כל שני מספרים שסכומם $20$ — למשל $10$ ו- $10$ , אבל גם $0$ ו- $20$ , וגם $-5$ ו- $25$ . רק הסכום קובע, ולכן שאלה כזו כמעט תמיד מציעה זוג לא צפוי.

השיפוע הוא המהירות

שני גרפים באותה מערכת

ממוצע הוא סכום מוסתר

השיעור הבא מחכה ב-elev