תרגול — אמת ושקר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן, מהקלה לקשה. הפעילו שעון: שתים עשרה דקות, בלי מחשבון. בכל שאלה: הניחו, בדקו עד הסוף — ואל תשכחו לבדוק גם את ההנחה ההפוכה.

תרגילים

תרגיל 1

באי האבירים והנוכלים אביר אומר תמיד אמת, ונוכל משקר תמיד. אלון אומר: ״בר נוכל.״ בר אומר: ״אלון נוכל.״ מה נכון?

  1. בדיוק אחד מהם אביר, ולא ניתן לדעת מי
  2. שניהם נוכלים
  3. אלון אביר ובר נוכל
  4. אין מצב שמתאים לשני המשפטים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א בדיוק אחד מהם אביר, ולא ניתן לדעת מי

הפתרון:

H1: ✓,H2: ✓H_{1}: \ \checkmark, \quad H_{2}: \ \checkmark

גם ״אלון אביר״ וגם ״בר אביר״ עוברות בלי סתירה

התשובה היא בדיוק אחד מהם אביר, ולא ניתן לדעת מי. כל אחד מהמשפטים אומר ששני הדוברים מסוגים שונים. אם אלון אביר, בר נוכל ומשקר עליו — מתאים; אם בר אביר, אלון נוכל ומשקר עליו — גם מתאים. מי שבוחר ״אלון אביר״ האמין לדובר הראשון רק כי דיבר ראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באי האבירים והנוכלים אביר אומר תמיד אמת, ונוכל משקר תמיד. אלון אומר: ״שנינו, בר ואני, נוכלים.״ מה נכון?

  1. לא ניתן לדעת
  2. שניהם נוכלים
  3. אלון נוכל ובר אביר
  4. אלון אביר ובר נוכל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אלון נוכל ובר אביר

הפתרון:

H1: ×H_{1}: \ \times

אלון אביר? אז המשפט נכון והוא נוכל. סתירה

⇒\Rightarrow

אלון נוכל, והמשפט שלו שקרי: לא שניהם נוכלים — ולכן בר אביר

התשובה היא אלון נוכל ובר אביר. אביר אינו יכול לומר שהוא נוכל, ולכן אלון נוכל. המשפט שלו שקרי, כלומר לא נכון ששניהם נוכלים — ומכיוון שאלון כן נוכל, בר הוא האביר. ״שניהם נוכלים״ היא התשובה של מי שהאמין למשפט של נוכל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

אגרטל נשבר. עומר: ״שי שבר.״ שי: ״אני לא שברתי.״ ליה: ״עומר לא שבר.״ ידוע שבדיוק אחד מהם אומר אמת. מי שבר את האגרטל?

  1. לא ניתן לדעת
  2. שי
  3. ליה
  4. עומר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד עומר

הפתרון:

x=0: ×✓×⇒1\begin{aligned}x &= 0: \ \times \\ \checkmark \\ \times \Rightarrow 1\end{aligned}

אם עומר שבר: רק שי צודק

x=1: ✓×✓⇒2\begin{aligned}x &= 1: \ \checkmark \\ \times \\ \checkmark \Rightarrow 2\end{aligned}

אם שי שבר: שניים צודקים

x=2: ×✓✓⇒2\begin{aligned}x &= 2: \ \times \\ \checkmark \\ \checkmark \Rightarrow 2\end{aligned}

אם ליה שברה: שניים צודקים

התשובה היא עומר. עומר ושי אומרים דברים הפוכים, ולכן בדיוק אחד מהם צודק — והוא דובר האמת היחיד. מכאן שליה משקרת: עומר כן שבר. מי שעונה ״שי״ הניח שדוברי האמת הם הרוב — אבל כאן נתון שיש רק אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באי האבירים והנוכלים: אלון אומר: ״בר אביר.״ בר אומר: ״אלון אביר.״ מה נכון?

  1. אחד מהם אביר והשני נוכל
  2. הם מאותו סוג, ולא ניתן לדעת איזה
  3. שניהם אבירים
  4. שניהם נוכלים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הם מאותו סוג, ולא ניתן לדעת איזה

הפתרון:

✓✓\checkmark\checkmark

שניהם אבירים: כל אחד אומר אמת על השני — מתאים

××\times\times

שניהם נוכלים: כל אחד משקר על השני — גם מתאים

התשובה היא הם מאותו סוג, ולא ניתן לדעת איזה. זוג אבירים שמשבחים זה את זה וזוג נוכלים שמשבחים זה את זה נשמעים בדיוק אותו דבר. ״שניהם אבירים״ נשמע טבעי, אבל שום נתון אינו פוסל את האפשרות השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באי האבירים והנוכלים: אלון אומר: ״בר אביר.״ בר אומר: ״אלון ואני מסוגים שונים.״ מה נכון?

  1. שניהם אבירים
  2. לא ניתן לדעת
  3. אלון אביר ובר נוכל
  4. שניהם נוכלים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שניהם נוכלים

הפתרון:

A=BA = B

אלון אמר ״בר אביר״ — הם מאותו סוג

⇒\Rightarrow

לכן המשפט של בר, ״מסוגים שונים״, שקרי — ובר נוכל

A=B=×\begin{aligned}A &= B \\ &= \times\end{aligned}

ואלון מאותו סוג: גם הוא נוכל

התשובה היא שניהם נוכלים. המשפט של אלון אומר שהם מאותו סוג, ולכן המשפט של בר שקרי — בר נוכל, ואלון איתו. ״אלון אביר ובר נוכל״ שוכחת שאביר לא היה קורא לנוכל ״אביר״.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מישהו אכל את העוגיות. אביב: ״בני אכל.״ בני: ״דניאל אכל.״ גאיה: ״אני לא אכלתי.״ דניאל: ״בני משקר.״ ידוע שבדיוק אחד מהם משקר. מי אכל?

  1. גאיה
  2. אביב
  3. בני
  4. דניאל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג בני

הפתרון:

B≠DB \neq D

בני ודניאל אומרים דברים הפוכים — אחד מהם הוא השקרן היחיד

⇒\Rightarrow

אביב וגאיה דוברי אמת

x=1x = 1

אביב צודק: בני אכל. ובדיקה: בני משקר, דניאל צודק

התשובה היא בני. דניאל אומר ״בני משקר״, ולכן בדיוק אחד מבני ודניאל דובר אמת — השקרן היחיד נמצא ביניהם. מכאן שאביב אומר אמת, ובני אכל. ״דניאל״ היא התשובה של מי שהאמין לבני כי הוא הצביע על מישהו אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באי האבירים והנוכלים: אלון: ״בדיוק אחד מאיתנו אביר.״ בר: ״בדיוק שניים מאיתנו אבירים.״ גיל: ״שלושתנו נוכלים.״ כמה אבירים יש ביניהם?

  1. 00
  2. לא ניתן לדעת
  3. 11
  4. 22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 11

הפתרון:

0: ×0: \ \times

אם אין אבירים, המשפט של גיל נכון — אבל הוא נוכל

1: ✓1: \ \checkmark

אלון צודק ולכן אביר; בר וגיל טועים ולכן נוכלים — אביר אחד

2: ×2: \ \times

רק בר צודק, כלומר רק אביר אחד — ולא שניים

3: ×3: \ \times

אז כל המשפטים היו נכונים, והם סותרים זה את זה

התשובה היא 11. שלושת המשפטים סותרים זה את זה, ולכן לכל היותר אחד מהם נכון — ולכן יש לכל היותר אביר אחד. אפס אבירים הופך את המשפט של גיל לנכון, סתירה. ״00״ היא התשובה של מי שהאמין לגיל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באי האבירים והנוכלים: אלון אומר: ״אני נוכל, או שבר אביר.״ מה נכון?

  1. שניהם אבירים
  2. אלון נוכל ובר אביר
  3. שניהם נוכלים
  4. אלון אביר, ולגבי בר לא ניתן לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א שניהם אבירים

הפתרון:

H2: ×H_{2}: \ \times

אלון נוכל? אז החלק ״אני נוכל״ נכון, והמשפט כולו נכון. סתירה

H1H_{1}

אלון אביר, והמשפט נכון. החלק הראשון שקרי — לכן השני נכון: בר אביר

התשובה היא שניהם אבירים. משפט ״או״ נכון אם לפחות חלק אחד שלו נכון. נוכל אינו יכול לומר אותו, כי החלק ״אני נוכל״ היה הופך אותו לנכון. לכן אלון אביר, וכיוון ש״אני נוכל״ שקרי, החלק השני חייב להיות נכון. מי שעוצר ב״אלון אביר״ לא השתמש במשפט עד הסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

באי האבירים והנוכלים: אלון: ״בר נוכל.״ בר: ״גיל נוכל.״ גיל: ״דור נוכל.״ דור: ״אלון ובר שניהם נוכלים.״ מי מהם אבירים?

  1. אלון בלבד
  2. אין מצב שמתאים לכל המשפטים
  3. אלון וגיל
  4. בר ודור
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אלון וגיל

הפתרון:

A≠B, B≠G, G≠DA \neq B, \ B \neq G, \ G \neq D

שלושת המשפטים הראשונים: כל שניים סמוכים מסוגים שונים

A=G B=D\begin{aligned}A &= G \\ \ B &= D\end{aligned}

הסוגים מתחלפים לאורך השרשרת

A≠BA \neq B

לכן אלון ובר אינם שניהם נוכלים — דור משקר

D=×⇒B=×\begin{aligned}D &= \times \Rightarrow B \\ &= \times\end{aligned}

דור ובר נוכלים; אלון וגיל אבירים

התשובה היא אלון וגיל. השרשרת מחייבת שהסוגים יתחלפו: אלון וגיל מאותו סוג, בר ודור מהסוג השני. אבל אז אלון ובר מסוגים שונים, והמשפט של דור שקרי — דור נוכל, וכך גם בר. ״בר ודור״ היא התשובה של מי שקבע את השרשרת אך לא בדק את המשפט האחרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המפתח של הכיתה נעלם. מאיה: ״נדב לקח.״ נדב: ״סהר לקח.״ סהר: ״נדב או עדי לקחו.״ עדי: ״אני לא לקחתי.״ ידוע שבדיוק שניים מהם אומרים אמת. מי לקח את המפתח?

  1. מאיה
  2. עדי
  3. סהר
  4. נדב
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג סהר

הפתרון:

x=0: ×××✓⇒1x = 0: \ \times\times\times\checkmark \Rightarrow 1

מאיה

x=1: ✓×✓✓⇒3x = 1: \ \checkmark\times\checkmark\checkmark \Rightarrow 3

נדב

x=2: ×✓×✓⇒2x = 2: \ \times\checkmark\times\checkmark \Rightarrow 2

סהר — בדיוק שניים

x=3: ××✓×⇒1x = 3: \ \times\times\checkmark\times \Rightarrow 1

עדי

התשובה היא סהר. בטבלת ההשערות רק השורה של סהר נותנת בדיוק שני משפטים נכונים — של נדב ושל עדי. ״נדב״ נראה חשוד כי שניים מאשימים אותו, אבל אם הוא לקח, שלושה משפטים נכונים ולא שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת