שְׁבָרִים יְסוֹדִיִים · שברים יסודיים · כיתה ג׳

כְּשֶׁחוֹתְכִים שָׁלֵם לְחֲלָקִים שָׁווִים וְלוֹקְחִים חֵלֶק אֶחָד — זֶה שֶׁבֶר יְסוֹדִי.

הַמִסְפָּר שֶׁלְמַטָה, הַמְכַנֶה, אוֹמֵר לְכַמָה חֲלָקִים חָתַכְנוּ. הוּא לֹא אוֹמֵר כַּמָה לָקַחְנוּ — לָקַחְנוּ תָמִיד אֶחָד.

הַכְּלָל שֶׁנִשְׁמַע הָפוּךְ

שְׁמוֹנֶה גָדוֹל מִשָׁלוֹשׁ. אֲבָל שְׁמִינִית קְטַנָה מִשְׁלִישׁ. זֶה לֹא טָעוּת — זֶה בְּדִיוּק מָה שֶׁקוֹרֶה כְּשֶׁחוֹתְכִים לְיוֹתֵר חֲלָקִים.

הַכְּלָל

כָּל מָה שֶׁרָאִינוּ בַּפִּיצוֹת וּבַמָחוֹנִים מִסְתַכֵּם בְּכְּלָל אֶחָד, וּכְדַאי לִזְכּוֹר אוֹתוֹ בְּעַל פֶּה:

כְּכָל שֶׁהַמְכַנֶה גָדוֹל יוֹתֵר — הַשֶׁבֶר קָטָן יוֹתֵר

וְלָמָה זֶה הֶגְיוֹנִי? כִּי הַמְכַנֶה אוֹמֵר לְכַמָה חֲלָקִים חָתַכְנוּ אֶת הַשָׁלֵם. חוֹתְכִים לְיוֹתֵר חֲלָקִים — כָּל חֵלֶק יוֹצֵא קָטָן יוֹתֵר. הַשָׁלֵם לֹא גָדֵל, הוּא רַק מִתְחַלֵק לְיוֹתֵר אֲנָשִׁים.

הִנֵה הַכְּלָל בַּפְּעוּלָה, עַל אוֹתוֹ שָׁלֵם בְּדִיוּק. שִׂימוּ לֵב שֶׁהַמְכַנִים גְדֵלִים בְּעוֹד הַחֲלָקִים קְטַנִים:

\frac{1}{2}

חָתַכְנוּ לְ-2 — כָּל חֵלֶק הוּא חֲצִי. הַגָדוֹל מִכּוּלָם.

\frac{1}{4}

חָתַכְנוּ לְ-4 — כָּל חֵלֶק הוּא רֶבַע, קָטָן מֵחֲצִי.

\frac{1}{6}

חָתַכְנוּ לְ-6 — שִׁישִׁית, קְטַנָה עוֹד יוֹתֵר.

\frac{1}{8}

חָתַכְנוּ לְ-8 — שְׁמִינִית, הַקְטַנָה מִכּוּלָן.

\frac{1}{2} > \frac{1}{4} > \frac{1}{6} > \frac{1}{8}

הַדֶרֶךְ הַבְּטוּחָה לִזְכּוֹר: חִשְׁבוּ עַל עוּגַת יוֹם הוּלֶדֶת. כְּכָל שֶׁיוֹתֵר יְלָדִים סְבִיב הַשׁוּלְחָן — כָּל אֶחָד מְקַבֵּל פְּרוּסָה קְטַנָה יוֹתֵר. הַמְכַנֶה הוּא בְּעֶצֶם מִסְפַּר הַיְלָדִים.

מִי גָדוֹל יוֹתֵר — חֲצִי אוֹ רֶבַע?

להציג את התשובה והפתרון

חֲצִי. חָתַכְנוּ אֶת הַשָׁלֵם לְ-2 חֲלָקִים בַּמָקוֹם לְ-4, וְלָכֵן כָּל חֵלֶק יָצָא גָדוֹל יוֹתֵר. אֶפְשָׁר לִבְדוֹק בַּכְּלִי לְמַעְלָה.

תְנַאי אֶחָד: חֲלָקִים שָׁווִים

עוּגָה שֶׁנֶחְתְכָה לְאַרְבַּע חֲתִיכוֹת לֹא שָׁווֹת אֵינָה מְחוּלֶקֶת לִרְבָעִים. שֶׁבֶר קַייָם רַק כְּשֶׁכָּל הַחֲלָקִים זֵהִים בְּגוֹדְלָם.

הַטָעוּת שֶׁל הַשְׁבָרִים הַיְסוֹדִיִים.

\frac{1}{8} > \frac{1}{3}

\frac{1}{3} > \frac{1}{8}

8 גָדוֹל מֵ-3, אֲבָל הַחֵלֶק קָטָן יוֹתֵר — חָתַכְנוּ לְיוֹתֵר חֲתִיכוֹת.

\text{אַרְבַּע חֲתִיכוֹת} \Rightarrow \text{רְבָעִים}

\text{רַק אִם הֵן שָׁווֹת}

אַרְבַּע חֲתִיכוֹת בִּגְדָלִים שׁוֹנִים אֵינָן רְבָעִים. הַשִׁוְויוֹן בֵּין הַחֲלָקִים הוּא הַתְנַאי.

תרגילים

תרגיל 1

מִי גָדוֹל יוֹתֵר: $\frac{1}{3}$ אוֹ $\frac{1}{8}$ ?

שָׁווִים
$\frac{1}{8}$
אִי אֶפְשָׁר לָדַעַת
$\frac{1}{3}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{1}{3}$

הפתרון:

3 < 8

חָתַכְנוּ לְפָחוֹת חֲלָקִים

\text{כל חלק גדול יותר}

וְלָכֵן הַשֶׁבֶר גָדוֹל יוֹתֵר

מְכַנֶה גָדוֹל — שֶׁבֶר קָטָן.