גובה במשולש ובמקבילית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

גובה אינו «הקו שנראה גבוה». יש לו הגדרה מדויקת, והיא זהה במשולש ובמקבילית: קטע שיוצא מקודקוד ומאונך לצלע שממול.

∙\bullet

יוצא מקודקוד — לא מאמצע הצלע ולא מנקודה אקראית.

⊥\perp

מאונך לצלע שממול — זווית של 90° בדיוק.

□\square

מסומן בריבוע קטן בנקודת המפגש. בלי הסימון, המורה לא רואה שזה גובה.

ארבעה צעדים, בסרגל

11

בוחרים קודקוד.

22

מזהים את הצלע שממול לו — לא אחת מהצלעות שנוגעות בו.

33

מורידים ממנו קו מאונך אל אותה צלע.

44

מסמנים ריבוע קטן בנקודת המפגש.

שלושה גבהים, לא אחד

למשולש יש שלושה גבהים — אחד מכל קודקוד. כשבשאלה כתוב «הגובה», הכוונה לגובה אל הצלע שהיא הבסיס באותו חישוב. לכן תמיד שואלים: גובה לאיזו צלע?

הגובה והבסיס הם זוג. בנוסחת שטח המשולש — (בסיס × גובה) : 2 — הבסיס והגובה חייבים להיות מותאמים זה לזה: גובה של צלע אחת עם בסיס של צלע אחרת ייתן תשובה שגויה. בכל פעם שבוחרים בסיס, הגובה הוא האנך שיורד אליו.

כשהגובה יוצא מחוץ לצורה

במשולש קהה-זווית הגובה משני קודקודים נופל מחוץ למשולש. זה תקין לגמרי: מאריכים את הצלע בקו מקווקו, ומורידים אליו את האנך.

שלוש הטעויות של הסימון.

קו מהקודקוד לאמצע הצלע\text{קו מהקודקוד לאמצע הצלע}
קו מהקודקוד, מאונך לצלע\text{קו מהקודקוד, מאונך לצלע}

קו לאמצע הצלע הוא תיכון, לא גובה. שני קטעים שונים לגמרי — הם מתלכדים רק במשולש שווה שוקיים.

הצלע הנטויה של המקבילית\text{הצלע הנטויה של המקבילית}
אנך מהקודקוד אל הצלע שממול\text{אנך מהקודקוד אל הצלע שממול}

במקבילית הצלע הנטויה אינה הגובה. הגובה קצר ממנה, והוא נמדד בזווית ישרה.

גובה בלי ריבוע קטן\text{גובה בלי ריבוע קטן}
גובה עם סימון של 90°\text{גובה עם סימון של 90°}

הסימון הוא חלק מהתשובה: הוא מה שמראה שהקו אכן מאונך, ולא סתם נראה כך.

מה שלושת הסימנים שהופכים קטע לגובה?

להציג את התשובה והפתרון

יוצא מקודקוד, מאונך לצלע שממול, ומסומן בריבוע קטן במפגש. חסר אחד — זה לא גובה.

כמה גבהים אפשר לשרטט במקבילית?

להציג את התשובה והפתרון

שני כיוונים של גובה — אחד לכל זוג צלעות מקבילות. כל בסיס והגובה שלו.

האם זה גובה? שלוש בדיקות

כשמקבלים סרטוט עם קטע מודגש ושואלים «האם זה גובה?», לא מנחשים לפי הצורה. שואלים שלוש שאלות, תמיד באותו סדר: יוצא מקודקוד? מגיע אל הצלע שממול (או אל המשכה)? מאונך לה — יש ריבוע קטן? שלושה כן — גובה. «לא» אחד — לא גובה, ולא משנה כמה הוא נראה טוב.

ABCD
הנקודה DD היא אמצע הצלע ABAB. הקטע המודגש — גובה או לא?

הקטע המודגש יוצא מקודקוד ומגיע אל הצלע שממול. שתי בדיקות עברו — אז הוא גובה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. הבדיקה השלישית נכשלת: הוא הולך אל אמצע הצלע ואינו מאונך לה — אין ריבוע קטן. קטע כזה נקרא תיכון. שתיים מתוך שלוש זה לא מספיק.

תרגילים

תרגיל 1

מהו גובה במשולש?

  1. קטע מקודקוד לאמצע הצלע שממול
  2. קטע מקודקוד, מאונך לצלע שממול
  3. הצלע הארוכה ביותר
  4. קטע שמחבר שתי נקודות אמצע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב קטע מקודקוד, מאונך לצלע שממול

הפתרון:

⊥\perp

האנכיות היא התנאי

קטע לאמצע הצלע הוא תיכון; קטע בין שתי נקודות אמצע הוא קטע אמצעים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה גבהים יש למשולש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

33

אחד מכל קודקוד

ולכן בשאלה תמיד צריך לדעת לאיזו צלע הגובה מתייחס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במקבילית, האם הצלע הנטויה היא הגובה?

  1. לא
  2. רק אם המקבילית נטויה מעט
  3. רק במעוין
  4. כן, תמיד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא

הפתרון:

h<הצלע הנטויהh < \text{הצלע הנטויה}

האנך הוא המרחק הקצר ביותר

זו הטעות שהופכת כל חישוב שטח של מקבילית לשגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הגובה יצא מחוץ למשולש. מה זה אומר?

  1. שצריך לבחור קודקוד אחר
  2. שהמשולש קהה-זווית
  3. שיש טעות בשרטוט
  4. שאין לו גובה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שהמשולש קהה-זווית

הפתרון:

מאריכים את הצלע\text{מאריכים את הצלע}

ומורידים אליה את האנך

הגובה נמדד עד הקו המקווקו — הוא עדיין גובה לכל דבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מה חייב להופיע בשרטוט כדי שהקו ייחשב גובה?

  1. חץ בקצה
  2. האות h
  3. ריבוע קטן שמסמן 90°
  4. קו מקווקו
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ריבוע קטן שמסמן 90°

הפתרון:

90°90°

הסימון הוא ההוכחה שהקו מאונך

בלי הסימון, «נראה מאונך» אינו מספיק — לא בשרטוט ולא בהוכחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש הבסיס 10 ס״מ והגובה אליו 6 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

S=a×h2=10×62\begin{aligned}S &= \frac{a \times h}{2} \\ &= \frac{10 \times 6}{2}\end{aligned}

הבסיס והגובה שמותאם לו

=30= 30

ומחשבים

הבסיס והגובה הם זוג — הגובה חייב להיות זה שיורד אל הבסיס הזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש הבסיס 8 ס״מ והגובה אליו 5 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

S=a×h2=8×52\begin{aligned}S &= \frac{a \times h}{2} \\ &= \frac{8 \times 5}{2}\end{aligned}

הבסיס והגובה שמותאם לו

=20= 20

ומחשבים

הבסיס והגובה הם זוג — הגובה חייב להיות זה שיורד אל הבסיס הזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש הבסיס 12 ס״מ והגובה אליו 7 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 42

הפתרון:

S=a×h2=12×72\begin{aligned}S &= \frac{a \times h}{2} \\ &= \frac{12 \times 7}{2}\end{aligned}

הבסיס והגובה שמותאם לו

=42= 42

ומחשבים

הבסיס והגובה הם זוג — הגובה חייב להיות זה שיורד אל הבסיס הזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש הבסיס 9 ס״מ והגובה אליו 4 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

S=a×h2=9×42\begin{aligned}S &= \frac{a \times h}{2} \\ &= \frac{9 \times 4}{2}\end{aligned}

הבסיס והגובה שמותאם לו

=18= 18

ומחשבים

הבסיס והגובה הם זוג — הגובה חייב להיות זה שיורד אל הבסיס הזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במקבילית הבסיס 9 ס״מ והגובה אליו 4 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

S=a×h=9×4=36\begin{aligned}S &= a \times h \\ &= 9 \times 4 \\ &= 36\end{aligned}

במקבילית אין חלוקה ב-2

המשולש הוא חצי מקבילית — ולכן שם מחלקים ב-2, וכאן לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

במקבילית הבסיס 12 ס״מ והגובה אליו 5 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

S=a×h=12×5=60\begin{aligned}S &= a \times h \\ &= 12 \times 5 \\ &= 60\end{aligned}

במקבילית אין חלוקה ב-2

המשולש הוא חצי מקבילית — ולכן שם מחלקים ב-2, וכאן לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ABCD

במשולש ABCABC שבסרטוט, הקטע המודגש CDCD הוא גובה במשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

✓\checkmark

קודקוד + צלע שממול + ריבוע קטן

כשבודקים אם קטע הוא גובה, עוברים תמיד על שלוש שאלות: מקודקוד? כן, מ-CC. אל הצלע שממול? כן, אל ABAB. מאונך? כן — הריבוע הקטן בנקודה DD אומר בדיוק את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

ABCD
הנקודה DD היא אמצע הצלע ABAB.

הנקודה DD היא אמצע הצלע ABAB. הקטע המודגש CDCD הוא גובה במשולש ABCABC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

תיכון≠גובה\text{תיכון} \ne \text{גובה}

לאמצע — לא בזווית ישרה

קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שממול נקרא תיכון. גובה נמדד בזווית ישרה, ולא אכפת לו בכלל איפה האמצע. שני הקטעים מתלכדים רק במשולש שווה-שוקיים — וכאן רואים בבירור שהקטע נוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ABCD

במשולש קהה-הזווית ABCABC האריכו את הצלע ABAB בקו מקווקו. הקטע המודגש CDCD הוא גובה במשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

⊥\perp

אל ההמשך — עדיין גובה

הגובה מ-CC חייב להיות מאונך לצלע ABAB. כשהמשולש קהה-זווית, נקודת המפגש נופלת מעבר לקצה הצלע — אז מאריכים אותה בקו מקווקו ומורידים את האנך אל ההמשך. הריבוע הקטן ב-DD מאשר: זו זווית ישרה, וזה גובה לכל דבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

ABCDE
הנקודה DD יושבת על הצלע ACAC — לא על קודקוד.

הנקודה DD נמצאת על הצלע ACAC. הקטע המודגש DEDE מאונך לצלע ABAB — והוא גובה במשולש ABCABC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

לא מקודקוד\text{לא מקודקוד}

מאונך — אבל יוצא מנקודה סתמית

זה הפח שהריבוע הקטן טומן: רואים 90° וממהרים להגיד «גובה». אבל גובה של משולש חייב לצאת מקודקוד. קטע מאונך שיוצא מנקודה אחרת הוא סתם אנך — שימושי לפעמים, גובה הוא לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ABC

במשולש ישר-הזווית ABCABC הזווית AA ישרה. הצלע המודגשת ACAC היא גם גובה במשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

ניצב=גובה\text{ניצב} = \text{גובה}

הצלע עצמה עומדת בהגדרה

מפתיע, אבל עומד בכל שלוש הבדיקות: הקטע ACAC יוצא מהקודקוד CC, נגמר על הצלע ABAB (בנקודה AA), והזווית ביניהם ישרה. גובה לא חייב להיות קו «חדש» בתוך הצורה — לפעמים צלע קיימת עושה את העבודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ABCD

הקטע המודגש CDCD יורד «ישר למטה» מהקודקוד CC אל הצלע ABAB. הוא גובה במשולש ABCABC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

למטה≠⊥\text{למטה} \ne \perp

גובה נמדד מהצלע, לא מהרצפה

הטעות הנפוצה ביותר: לחשוב שגובה תמיד «עומד» כמו קיר. אבל גובה מאונך לצלע — לא לרצפת הדף. כשהבסיס משופע, גם הגובה שלו משופע. סובבו את המחברת עד שהצלע ABAB «שוכבת» — ותראו שהקטע המודגש בכלל לא נופל ישר עליה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת