מהם משולשים חופפים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

בגאומטריה אומרים על שתי צורות שהן חופפות אם אפשר להניח אחת על השנייה כך שיתכסו בדיוק — בלי חלק שבולט החוצה ובלי חלק שנשאר גלוי. לפני כל הגדרה, בואו נראה את זה.

המשולש השני היה מסובב. האם זה משנה משהו לשאלה אם הוא חופף לראשון?

להציג את התשובה והפתרון

לא. מותר להזיז, לסובב ואפילו להפוך את המשולש, כמו שהופכים דף. המקום והכיוון בדף לא משנים דבר — משנים רק האורכים והזוויות.

ההגדרה

משולשים חופפים הם משולשים שאפשר להניח זה על זה כך שיתלכדו. בשני משולשים חופפים שלוש הצלעות שוות בהתאמה, ושלוש הזוויות שוות בהתאמה.

המילה בהתאמה היא העיקר. היא אומרת שלכל צלע במשולש אחד יש בת־זוג אחת במשולש השני: הצלע שנחה עליה כשהנחנו את המשולשים זה על זה. צלעות כאלה נקראות צלעות מתאימות, וזוויות כאלה נקראות זוויות מתאימות.

איך מסמנים את זה בשרטוט

במחברת לא גוזרים משולשים. במקום זה מסמנים על השרטוט מה שווה למה: צלעות שוות מקבלות אותו מספר קווים קטנים, וזוויות שוות מקבלות אותו מספר קשתות.

ABCDEF
קו אחד מול קו אחד, שני קווים מול שני קווים, שלושה מול שלושה — וכך גם הקשתות. כל הסימנים יחד אומרים: △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF.

בשרטוט שלמעלה, איזו צלע במשולש DEFDEF שווה ל-BCBC? ואיזו זווית שווה ל-∠C\angle C?

להציג את התשובה והפתרון

ל-BCBC יש שני קווים, וגם ל-EFEF — לכן BC=EFBC = EF. ב-∠C\angle C יש שלוש קשתות, וגם ב-∠F\angle F — לכן ∠C=∠F\angle C = \angle F.

חפיפה אחת — שישה שוויונות

כשיודעים ששני משולשים חופפים, מקבלים מיד שישה שוויונות: שלוש של צלעות ושלוש של זוויות. זה מה שהופך את החפיפה לכלי חזק כל כך: מוכיחים פעם אחת שהמשולשים חופפים — ומקבלים את כל השאר במתנה.

AB=DEAB = DE

צלע מול צלע

BC=EFBC = EF

צלע מול צלע

CA=FDCA = FD

צלע מול צלע

∠A=∠D\angle A = \angle D

זווית מול זווית

∠B=∠E\angle B = \angle E

זווית מול זווית

∠C=∠F\angle C = \angle F

זווית מול זווית

ומה אינו חפיפה

שני משולשים עם אותה צורה אבל גודל שונה אינם חופפים. חשבו על תמונה ועל ההגדלה שלה: כל הזוויות שוות, אבל הצלעות לא — התמונה הגדולה לא תיכנס בתוך הקטנה. (למשולשים כאלה קוראים דומים, ונלמד עליהם בהמשך השנה.)

הטעות הנפוצה ביותר בהגדרה.

רק זוויות שוות  ⇒  חופפים\text{רק זוויות שוות} \;\Rightarrow\; \text{חופפים}
זוויות וצלעות שוות  ⇒  חופפים\text{זוויות וצלעות שוות} \;\Rightarrow\; \text{חופפים}

זוויות שוות קובעות רק את הצורה. משולש קטן ומשולש גדול יכולים להיות עם אותן זוויות בדיוק.

שני משולשים שווי צלעות: לאחד צלע של 3 ס״מ, ולשני צלע של 5 ס״מ. האם הם חופפים?

להציג את התשובה והפתרון

לא. כל הזוויות של שניהם הן 60∘60^\circ, אבל הצלעות שונות. הגדול לא ייכנס בתוך הקטן.

מה יבוא בהמשך הפרק

כדי להוכיח ששני משולשים חופפים, האם צריך לבדוק את כל ששת השוויונות? מתברר שלא: שלושה נתונים נכונים מספיקים. אלה משפטי החפיפה: צ.צ.צ, צ.ז.צ ו-ז.צ.ז — לכל אחד מהם יחידה משלו — ומשפט רביעי, צ.צ.ז, שנלמד ביחידה של צ.ז.צ. אבל קודם נלמד איך כותבים חפיפה, כי סדר הכתיבה הוא חצי מהעבודה.

תרגילים

תרגיל 1

מה פירוש «שני משולשים חופפים»?

  1. אפשר להניח אחד על השני כך שיתכסו בדיוק
  2. יש להם אותה צורה, אבל הגודל יכול להיות שונה
  3. יש להם צלע משותפת
  4. יש להם אותו שטח
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אפשר להניח אחד על השני כך שיתכסו בדיוק

הפתרון:

כיסוי מדויק  ⇒  חופפים\text{כיסוי מדויק} \;\Rightarrow\; \text{חופפים}

כל הצלעות וכל הזוויות שוות בהתאמה

חפיפה היא כיסוי מדויק: כל הצלעות וכל הזוויות שוות בהתאמה. אותה צורה בגודל אחר — זה דמיון, לא חפיפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

אם שני משולשים חופפים, אז כל זווית במשולש אחד שווה לזווית המתאימה לה במשולש השני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

△ABC≅△DEF  ⇒  ∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F\begin{aligned}\triangle ABC \cong \triangle DEF \;\Rightarrow\; \angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ \angle C &= \angle F\end{aligned}

זוויות מתאימות

כשמניחים את המשולשים זה על זה, כל זווית נחה על הזווית המתאימה לה — ולכן הן שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

אם לשני משולשים יש אותן שלוש זוויות, הם בהכרח חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

60∘, 60∘, 60∘60^\circ,\ 60^\circ,\ 60^\circ

בשני המשולשים

2≠92 \neq 9

אבל הצלעות שונות

אותן זוויות קובעות רק את הצורה. משולש שווה צלעות עם צלע 2 ומשולש שווה צלעות עם צלע 9 — אותן זוויות, וגודל שונה לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCDEF
המשולש DEFDEF הוא המשולש ABCABC אחרי סיבוב.

המשולש DEFDEF בשרטוט הוא המשולש ABCABC אחרי שסובבו אותו. המשולשים חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

סיבוב  ⇒  אותם אורכים ואותן זוויות\text{סיבוב} \;\Rightarrow\; \text{אותם אורכים ואותן זוויות}

סיבוב לא משנה מידות

סיבוב לא משנה אף אורך ואף זווית. אם נסובב את DEFDEF בחזרה, הוא יכסה את ABCABC בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אם שני משולשים חופפים, יש להם אותו היקף.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

AB+BC+CA=DE+EF+FDAB+BC+CA = DE+EF+FD

מחברים שלושה שוויונות

שלוש הצלעות שוות בהתאמה, ולכן גם הסכום שלהן — ההיקף — שווה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אם לשני משולשים יש אותו שטח, הם בהכרח חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

6⋅22=64⋅32=6\begin{aligned}\frac{6 \cdot 2}{2} &= 6 \quad \\ \quad \frac{4 \cdot 3}{2} &= 6\end{aligned}

אותו שטח

6≠46 \neq 4

אבל הבסיסים שונים

משולש עם בסיס 6 וגובה 2, ומשולש עם בסיס 4 וגובה 3 — לשניהם שטח 6 סמ״ר, אבל הם שונים לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDEF
הסימנים מראים אילו צלעות מתאימות. AB=5AB = 5, BC=7BC = 7, CA=6CA = 6 ס״מ.

המשולשים בשרטוט חופפים, והסימנים מראים אילו צלעות מתאימות. AB=5AB = 5 ס״מ, BC=7BC = 7 ס״מ ו-CA=6CA = 6 ס״מ. מה אורך EFEF (בס״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

EF=BCEF = BC

לשתיהן שני קווים

EF=7EF = 7

מחפשים את הסימן, לא את המקום בדף: ל-EFEF יש שני קווים, בדיוק כמו ל-BCBC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCDEF
הקשתות מראות אילו זוויות מתאימות. ∠A=50∘\angle A = 50^\circ, ∠B=70∘\angle B = 70^\circ.

המשולשים בשרטוט חופפים. ∠A=50∘\angle A = 50^\circ ו-∠B=70∘\angle B = 70^\circ. מה גודל ∠F\angle F (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

∠C=180∘−50∘−70∘=60∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

∠F=∠C=60∘\begin{aligned}\angle F &= \angle C \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות

שני צעדים: קודם מוצאים את ∠C\angle C מסכום הזוויות, ואז רואים ש-∠F\angle F מתאימה לה — לשתיהן שלוש קשתות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCDEF
המשולשים חופפים. הקשתות מראות אילו זוויות מתאימות.

המשולשים בשרטוט חופפים. איזו זווית במשולש ABCABC שווה ל-∠E\angle E?

  1. ∠C\angle C
  2. ∠A\angle A
  3. ∠B\angle B
  4. אי אפשר לדעת בלי מדידה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ∠B\angle B

הפתרון:

∠E=∠B\angle E = \angle B

שתי קשתות מול שתי קשתות

ב-∠E\angle E יש שתי קשתות, וגם ב-∠B\angle B. המשולש DEFDEF הפוך, ולכן אי אפשר לסמוך על «איפה זה נמצא בציור» — רק על הסימנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לוקחים משולש ועושים לו פעולה אחת. אחרי איזו פעולה המשולש החדש אינו חופף למשולש המקורי?

  1. הגדלה של המשולש פי 2
  2. סיבוב של המשולש
  3. הזזה של המשולש ימינה
  4. היפוך של המשולש, כמו שהופכים דף
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א הגדלה של המשולש פי 2

הפתרון:

הגדלה פי 2  ⇒  כל צלע גדלה פי 2\text{הגדלה פי } 2 \;\Rightarrow\; \text{כל צלע גדלה פי } 2

הצלעות כבר לא שוות

הזזה, סיבוב והיפוך שומרים על כל האורכים ועל כל הזוויות. הגדלה משנה את האורכים — הצורה נשארת, אבל המשולשים כבר לא חופפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שני משולשים חופפים. היקף הראשון הוא 24 ס״מ. מה היקף השני (בס״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

2424

אותו היקף

שלוש הצלעות שוות בהתאמה, ולכן גם ההיקפים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ABCD
הריבוע ABCDABCD והאלכסון ACAC.

האלכסון ACAC מחלק את הריבוע ABCDABCD לשני משולשים. האם △ABC\triangle ABC ו-△CDA\triangle CDA חופפים?

  1. אי אפשר לדעת בלי למדוד
  2. כן — אם מסובבים אחד מהם חצי סיבוב, הוא מכסה את השני
  3. לא — המשולשים מצביעים לכיוונים שונים
  4. רק אם הריבוע גדול
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כן — אם מסובבים אחד מהם חצי סיבוב, הוא מכסה את השני

הפתרון:

AB=CD BC=DA CA=AC\begin{aligned}AB &= CD \\ \ BC &= DA \\ \ CA &= AC\end{aligned}

שלוש צלעות שוות בהתאמה

בריבוע כל הצלעות שוות וכל הזוויות ישרות. חצי סיבוב סביב מרכז הריבוע מעביר את AA ל-CC, את BB ל-DD ואת CC ל-AA — ולכן △ABC\triangle ABC נח בדיוק על △CDA\triangle CDA.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת