סדר הכתיבה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

ראינו שבשני משולשים חופפים יש לכל צלע בת־זוג ולכל זווית בת־זוג. עכשיו השאלה היא איך כותבים מי בת־הזוג של מי. והתשובה נמצאת כולה בסדר האותיות.

הסימן, וסדר האותיות

חפיפה נכתבת בסימן ≅\cong. אבל הדבר החשוב באמת אינו הסימן — אלא סדר האותיות.

△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF

הכתיבה הזאת אומרת הרבה יותר מ«שני המשולשים זהים». היא אומרת בדיוק מי מתאים למי: האות הראשונה לאות הראשונה, השנייה לשנייה, השלישית לשלישית.

A↔DA \leftrightarrow D

הקודקוד הראשון

B↔EB \leftrightarrow E

הקודקוד השני

C↔FC \leftrightarrow F

הקודקוד השלישי

סדר הכתיבה קובע. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF ו-△ABC≅△EDF\triangle ABC \cong \triangle EDF הן שתי טענות שונות. הראשונה אומרת ש-AA מתאים ל-DD, והשנייה אומרת ש-AA מתאים ל-EE. בשרטוט מסוים, בדרך כלל רק אחת מהן נכונה.

זו מוסכמת כתיבה, לא חוק מתמטי — ומורים כמעט אף פעם לא עוצרים להסביר אותה, כי תלמיד שגדל בארץ פשוט קלט אותה. מי שלא קלט אותה יקרא כל תרגיל חפיפה לא נכון, גם אם הוא מבין גאומטריה מצוין.

איך מוצאים את הסדר הנכון

כשהמשולשים מסובבים או הפוכים בשרטוט, אל תסמכו על «איפה זה נמצא». עובדים לפי הסימנים, בשלושה צעדים:

11

בוחרים קודקוד במשולש הראשון, ומוצאים במשולש השני את הקודקוד עם אותו סימן זווית (אותו מספר קשתות).

22

עושים אותו דבר לקודקוד השני ולשלישי.

33

כותבים את שני השמות באותו סדר: הקודקוד הראשון מול בן־הזוג שלו, וכך הלאה.

ואם מסומנות רק צלעות? אז כל קודקוד מזוהה לפי שתי הצלעות שיוצאות ממנו: הקודקוד שבין הצלע עם קו אחד לצלע עם שני קווים מתאים לקודקוד שבין אותן שתי צלעות במשולש השני.

ששת השוויונות שנובעים מחפיפה אחת

מתוך שורה אחת של חפיפה אפשר לשלוף מיד שישה שוויונות — שלוש צלעות ושלוש זוויות. מרכיבים כל צלע משתי אותיות, לפי אותם מיקומים:

AB=DEAB = DE

הצלע שבין הקודקוד הראשון לשני

BC=EFBC = EF

בין השני לשלישי

AC=DFAC = DF

בין הראשון לשלישי

∠A=∠D\angle A = \angle D

זווית מול זווית

∠B=∠E\angle B = \angle E

לפי אותו סדר

∠C=∠F\angle C = \angle F

ותמיד לפי המיקום, לא לפי הצורה בשרטוט

הטעות שמפילה את כל התרגיל, ואינה קשורה לגאומטריה בכלל.

△MOS≅△BAR⇒MO=AR\triangle MOS \cong \triangle BAR \quad \Rightarrow\quad MO = AR
△MOS≅△BAR⇒MO=BA\triangle MOS \cong \triangle BAR \quad \Rightarrow\quad MO = BA

סופרים לפי המיקום באותיות: MM ראשון ו-BB ראשון, OO שני ו-AA שני. אסור להתאים לפי דמיון בין האותיות או לפי איך שהמשולש נראה בציור.

מה מותר לשנות בכתיבה

מותר לסדר את האותיות מחדש — בתנאי שעושים אותו שינוי בשני הצדדים. שלוש השורות האלה אומרות בדיוק אותו דבר, כי בכולן A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E ו-C↔FC \leftrightarrow F:

△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF
△BCA≅△EFD\triangle BCA \cong \triangle EFD
△DEF≅△ABC\triangle DEF \cong \triangle ABC

מה שאסור הוא לשנות את הסדר רק בצד אחד: △ABC≅△EFD\triangle ABC \cong \triangle EFD כבר אומרת ש-AA מתאים ל-EE — וזו טענה אחרת.

נתון △KLM≅△XYZ\triangle KLM \cong \triangle XYZ. איזו זווית שווה ל-∠L\angle L?

להציג את התשובה והפתרון

∠Y\angle Y. האות LL היא השנייה בשם הראשון, ו-YY היא השנייה בשם השני.

האם △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF ו-△CAB≅△FDE\triangle CAB \cong \triangle FDE אומרות אותו דבר?

להציג את התשובה והפתרון

כן. בשתיהן A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F — הסדר הוזז באותו אופן בשני הצדדים.

תרגילים

תרגיל 1

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע MOMO?

△MOS≅△BAR\triangle MOS \cong \triangle BAR
  1. BRBR
  2. RBRB
  3. ARAR
  4. BABA
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד BABA

הפתרון:

M↔B,O↔AM \leftrightarrow B \quad ,\quad O \leftrightarrow A

מתאימים כל אות לפי מיקומה

MO=BAMO = BA

ולכן הצלעות שוות

M הוא הקודקוד הראשון ו-O הקודקוד השני — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠O\angle O?

△MOS≅△BAR\triangle MOS \cong \triangle BAR
  1. ∠A\angle A
  2. ∠O\angle O
  3. ∠B\angle B
  4. ∠R\angle R
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ∠A\angle A

הפתרון:

O↔AO \leftrightarrow A

שניהם הקודקוד השני

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע MGMG?

△PMG≅△SKR\triangle PMG \cong \triangle SKR
  1. KSKS
  2. KRKR
  3. RSRS
  4. SKSK
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב KRKR

הפתרון:

M↔K,G↔RM \leftrightarrow K \quad ,\quad G \leftrightarrow R

מתאימים כל אות לפי מיקומה

MG=KRMG = KR

ולכן הצלעות שוות

M הוא הקודקוד השני ו-G הקודקוד השלישי — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠G\angle G?

△PMG≅△SKR\triangle PMG \cong \triangle SKR
  1. ∠K\angle K
  2. ∠R\angle R
  3. ∠G\angle G
  4. ∠S\angle S
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ∠R\angle R

הפתרון:

G↔RG \leftrightarrow R

שניהם הקודקוד השלישי

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע BABA?

△ACB≅△FDE\triangle ACB \cong \triangle FDE
  1. FDFD
  2. EDED
  3. EFEF
  4. DEDE
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג EFEF

הפתרון:

B↔E,A↔FB \leftrightarrow E \quad ,\quad A \leftrightarrow F

מתאימים כל אות לפי מיקומה

BA=EFBA = EF

ולכן הצלעות שוות

B הוא הקודקוד השלישי ו-A הקודקוד הראשון — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠A\angle A?

△ACB≅△FDE\triangle ACB \cong \triangle FDE
  1. ∠F\angle F
  2. ∠D\angle D
  3. ∠A\angle A
  4. ∠E\angle E
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ∠F\angle F

הפתרון:

A↔FA \leftrightarrow F

שניהם הקודקוד הראשון

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע CDCD?

△CDE≅△MKG\triangle CDE \cong \triangle MKG
  1. MGMG
  2. GMGM
  3. MKMK
  4. KGKG
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג MKMK

הפתרון:

C↔M,D↔KC \leftrightarrow M \quad ,\quad D \leftrightarrow K

מתאימים כל אות לפי מיקומה

CD=MKCD = MK

ולכן הצלעות שוות

C הוא הקודקוד הראשון ו-D הקודקוד השני — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠D\angle D?

△CDE≅△MKG\triangle CDE \cong \triangle MKG
  1. ∠D\angle D
  2. ∠K\angle K
  3. ∠M\angle M
  4. ∠G\angle G
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ∠K\angle K

הפתרון:

D↔KD \leftrightarrow K

שניהם הקודקוד השני

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע SASA?

△MSA≅△BRG\triangle MSA \cong \triangle BRG
  1. RBRB
  2. RGRG
  3. BRBR
  4. GBGB
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב RGRG

הפתרון:

S↔R,A↔GS \leftrightarrow R \quad ,\quad A \leftrightarrow G

מתאימים כל אות לפי מיקומה

SA=RGSA = RG

ולכן הצלעות שוות

S הוא הקודקוד השני ו-A הקודקוד השלישי — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠A\angle A?

△MSA≅△BRG\triangle MSA \cong \triangle BRG
  1. ∠B\angle B
  2. ∠G\angle G
  3. ∠R\angle R
  4. ∠A\angle A
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ∠G\angle G

הפתרון:

A↔GA \leftrightarrow G

שניהם הקודקוד השלישי

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע EDED?

△DFE≅△BCD\triangle DFE \cong \triangle BCD
  1. CDCD
  2. DCDC
  3. BCBC
  4. DBDB
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד DBDB

הפתרון:

E↔D,D↔BE \leftrightarrow D \quad ,\quad D \leftrightarrow B

מתאימים כל אות לפי מיקומה

ED=DBED = DB

ולכן הצלעות שוות

E הוא הקודקוד השלישי ו-D הקודקוד הראשון — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠D\angle D?

△DFE≅△BCD\triangle DFE \cong \triangle BCD
  1. ∠F\angle F
  2. ∠B\angle B
  3. ∠D\angle D
  4. ∠C\angle C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ∠B\angle B

הפתרון:

D↔BD \leftrightarrow B

שניהם הקודקוד הראשון

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

כמה שוויונות אפשר לרשום מתוך שורת חפיפה אחת של שני משולשים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

3 צלעות3 \text{ צלעות}

שלוש צלעות שוות בהתאמה

3 זוויות3 \text{ זוויות}

ושלוש זוויות שוות בהתאמה

שש בסך הכול. שורה אחת של חפיפה שווה שש שורות של נתונים — זה מה שהופך אותה לכל כך שימושית בהוכחות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

נתון △MOS≅△BAR\triangle MOS \cong \triangle BAR. תלמיד רשם MO=ARMO = AR. איפה הטעות?

  1. הוא הפך את סדר המשולשים
  2. הצלע MOMO לא קיימת
  3. אין טעות
  4. הוא התאים לפי דמיון בין האותיות ולא לפי מיקומן
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הוא התאים לפי דמיון בין האותיות ולא לפי מיקומן

הפתרון:

M↔B,O↔AM \leftrightarrow B \quad ,\quad O \leftrightarrow A

לפי המיקום בשורת החפיפה

MO=BAMO = BA

זו התשובה הנכונה

המיקום באותיות הוא הדבר היחיד שקובע. לא הדמיון בין האותיות, ולא איך שהמשולש מצויר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

ABCQRP
הקשתות מראות אילו זוויות מתאימות.

המשולשים בשרטוט חופפים. איזו כתיבה נכונה?

  1. △ABC≅△QRP\triangle ABC \cong \triangle QRP
  2. △ABC≅△QPR\triangle ABC \cong \triangle QPR
  3. △ABC≅△RQP\triangle ABC \cong \triangle RQP
  4. △ABC≅△PQR\triangle ABC \cong \triangle PQR
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א △ABC≅△QRP\triangle ABC \cong \triangle QRP

הפתרון:

A↔QA \leftrightarrow Q

קשת אחת

B↔RB \leftrightarrow R

שתי קשתות

C↔PC \leftrightarrow P

שלוש קשתות

עוברים קודקוד אחר קודקוד לפי הקשתות, ולא לפי הסדר האלפביתי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

נתון △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF. איזו מהכתיבות הבאות אומרת בדיוק אותו דבר?

  1. △ABC≅△EDF\triangle ABC \cong \triangle EDF
  2. △BCA≅△EFD\triangle BCA \cong \triangle EFD
  3. △CBA≅△DEF\triangle CBA \cong \triangle DEF
  4. △BAC≅△DEF\triangle BAC \cong \triangle DEF
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב △BCA≅△EFD\triangle BCA \cong \triangle EFD

הפתרון:

B↔E, C↔F, A↔DB \leftrightarrow E ,\ C \leftrightarrow F ,\ A \leftrightarrow D

אותה התאמה

מותר לסדר מחדש רק אם עושים אותו שינוי בשני הצדדים. ב-△BCA≅△EFD\triangle BCA \cong \triangle EFD עדיין B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F, A↔DA \leftrightarrow D.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

נתון △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ. איזו טענה אינה נובעת מהחפיפה?

  1. PQ=XYPQ = XY
  2. QR=YZQR = YZ
  3. PR=YZPR = YZ
  4. ∠R=∠Z\angle R = \angle Z
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג PR=YZPR = YZ

הפתרון:

P↔X, R↔ZP \leftrightarrow X ,\ R \leftrightarrow Z

הראשון והשלישי

PR=XZPR = XZ

ולא YZYZ

PRPR מחברת את הקודקוד הראשון לשלישי, ולכן היא שווה ל-XZXZ — לא ל-YZYZ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

נתון △ABC≅△KLM\triangle ABC \cong \triangle KLM, ו-∠A=40∘\angle A = 40^\circ, ∠B=75∘\angle B = 75^\circ. מה גודל ∠M\angle M (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 65

הפתרון:

∠C=180∘−40∘−75∘=65∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 40^\circ - 75^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

∠M=∠C=65∘\begin{aligned}\angle M &= \angle C \\ &= 65^\circ\end{aligned}

השלישית מול השלישית

MM היא האות השלישית, ולכן ∠M\angle M מתאימה ל-∠C\angle C — שאותה מחשבים מסכום הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

נתון △DEF≅△RST\triangle DEF \cong \triangle RST, ו-DE=8DE = 8, EF=5EF = 5, DF=10DF = 10 ס״מ. מה אורך STST (בס״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

S↔E, T↔FS \leftrightarrow E ,\ T \leftrightarrow F

השני והשלישי

ST=EF=5\begin{aligned}ST &= EF \\ &= 5\end{aligned}

STST מחברת את הקודקוד השני לשלישי, ולכן היא מתאימה ל-EFEF.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

ABCMKL
הקווים מראים אילו צלעות מתאימות. המשולש השני הפוך.

המשולשים בשרטוט חופפים. איזו כתיבה נכונה?

  1. △ABC≅△MLK\triangle ABC \cong \triangle MLK
  2. △ABC≅△LKM\triangle ABC \cong \triangle LKM
  3. △ABC≅△KLM\triangle ABC \cong \triangle KLM
  4. △ABC≅△MKL\triangle ABC \cong \triangle MKL
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד △ABC≅△MKL\triangle ABC \cong \triangle MKL

הפתרון:

A↔MA \leftrightarrow M

בין קו אחד לשלושה קווים

B↔KB \leftrightarrow K

בין קו אחד לשני קווים

C↔LC \leftrightarrow L

בין שני קווים לשלושה

כל קודקוד מזוהה לפי שתי הצלעות שיוצאות ממנו. AA נמצא בין הצלע עם קו אחד לצלע עם שלושה קווים — וכך גם MM.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

אם △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF, אז גם △ACB≅△DFE\triangle ACB \cong \triangle DFE.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

△ACB≅△DFE\triangle ACB \cong \triangle DFE

אותו שינוי בשני הצדדים

A↔D, C↔F, B↔EA \leftrightarrow D ,\ C \leftrightarrow F ,\ B \leftrightarrow E

אותה התאמה

בשני הצדדים החליפו את האות השנייה עם השלישית — אותו שינוי. ההתאמה נשארת: A↔DA \leftrightarrow D, C↔FC \leftrightarrow F, B↔EB \leftrightarrow E.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

אם △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF, אז בהכרח גם △ABC≅△DFE\triangle ABC \cong \triangle DFE.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

△ABC≅△DFE  ⇒  B↔F\triangle ABC \cong \triangle DFE \;\Rightarrow\; B \leftrightarrow F

השינוי רק בצד אחד

∠B=∠E≠∠F\angle B = \angle E \neq \angle F

בדרך כלל

כאן שינו את הסדר רק בצד אחד. השורה החדשה אומרת B↔FB \leftrightarrow F — כלומר ∠B=∠F\angle B = \angle F, וזה לא נובע מהחפיפה הנתונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • A↔DA \leftrightarrow D
  • B↔EB \leftrightarrow E
  • C↔FC \leftrightarrow F
  • הקודקוד הראשון
  • הקודקוד השלישי
  • הקודקוד השני
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: A↔DA \leftrightarrow D — הקודקוד הראשון · B↔EB \leftrightarrow E — הקודקוד השני · C↔FC \leftrightarrow F — הקודקוד השלישי

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת