ראינו שבשני משולשים חופפים יש לכל צלע בת־זוג ולכל זווית בת־זוג. עכשיו השאלה היא איך כותבים מי בת־הזוג של מי. והתשובה נמצאת כולה בסדר האותיות.
הסימן, וסדר האותיות
חפיפה נכתבת בסימן . אבל הדבר החשוב באמת אינו הסימן — אלא סדר האותיות.
הכתיבה הזאת אומרת הרבה יותר מ«שני המשולשים זהים». היא אומרת בדיוק מי מתאים למי: האות הראשונה לאות הראשונה, השנייה לשנייה, השלישית לשלישית.
הקודקוד הראשון
הקודקוד השני
הקודקוד השלישי
סדר הכתיבה קובע. ו- הן שתי טענות שונות. הראשונה אומרת ש- מתאים ל-, והשנייה אומרת ש- מתאים ל-. בשרטוט מסוים, בדרך כלל רק אחת מהן נכונה.
זו מוסכמת כתיבה, לא חוק מתמטי — ומורים כמעט אף פעם לא עוצרים להסביר אותה, כי תלמיד שגדל בארץ פשוט קלט אותה. מי שלא קלט אותה יקרא כל תרגיל חפיפה לא נכון, גם אם הוא מבין גאומטריה מצוין.
איך מוצאים את הסדר הנכון
כשהמשולשים מסובבים או הפוכים בשרטוט, אל תסמכו על «איפה זה נמצא». עובדים לפי הסימנים, בשלושה צעדים:
בוחרים קודקוד במשולש הראשון, ומוצאים במשולש השני את הקודקוד עם אותו סימן זווית (אותו מספר קשתות).
עושים אותו דבר לקודקוד השני ולשלישי.
כותבים את שני השמות באותו סדר: הקודקוד הראשון מול בן־הזוג שלו, וכך הלאה.
ואם מסומנות רק צלעות? אז כל קודקוד מזוהה לפי שתי הצלעות שיוצאות ממנו: הקודקוד שבין הצלע עם קו אחד לצלע עם שני קווים מתאים לקודקוד שבין אותן שתי צלעות במשולש השני.
ששת השוויונות שנובעים מחפיפה אחת
מתוך שורה אחת של חפיפה אפשר לשלוף מיד שישה שוויונות — שלוש צלעות ושלוש זוויות. מרכיבים כל צלע משתי אותיות, לפי אותם מיקומים:
הצלע שבין הקודקוד הראשון לשני
בין השני לשלישי
בין הראשון לשלישי
זווית מול זווית
לפי אותו סדר
ותמיד לפי המיקום, לא לפי הצורה בשרטוט
הטעות שמפילה את כל התרגיל, ואינה קשורה לגאומטריה בכלל.
סופרים לפי המיקום באותיות: ראשון ו- ראשון, שני ו- שני. אסור להתאים לפי דמיון בין האותיות או לפי איך שהמשולש נראה בציור.
מה מותר לשנות בכתיבה
מותר לסדר את האותיות מחדש — בתנאי שעושים אותו שינוי בשני הצדדים. שלוש השורות האלה אומרות בדיוק אותו דבר, כי בכולן , ו-:
מה שאסור הוא לשנות את הסדר רק בצד אחד: כבר אומרת ש- מתאים ל- — וזו טענה אחרת.
נתון . איזו זווית שווה ל-?
להציג את התשובה והפתרון
. האות היא השנייה בשם הראשון, ו- היא השנייה בשם השני.
האם ו- אומרות אותו דבר?
להציג את התשובה והפתרון
כן. בשתיהן , , — הסדר הוזז באותו אופן בשני הצדדים.
תרגילים
תרגיל 1
נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ד
הפתרון:
מתאימים כל אות לפי מיקומה
ולכן הצלעות שוות
M הוא הקודקוד הראשון ו-O הקודקוד השני — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.
תרגיל 2
נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: א
הפתרון:
שניהם הקודקוד השני
בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.
תרגיל 3
נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ב
הפתרון:
מתאימים כל אות לפי מיקומה
ולכן הצלעות שוות
M הוא הקודקוד השני ו-G הקודקוד השלישי — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.
תרגיל 4
נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ב
הפתרון:
שניהם הקודקוד השלישי
בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.
תרגיל 5
נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ג
הפתרון:
מתאימים כל אות לפי מיקומה
ולכן הצלעות שוות
B הוא הקודקוד השלישי ו-A הקודקוד הראשון — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.
תרגיל 6
נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: א
הפתרון:
שניהם הקודקוד הראשון
בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.
תרגיל 7
נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ג
הפתרון:
מתאימים כל אות לפי מיקומה
ולכן הצלעות שוות
C הוא הקודקוד הראשון ו-D הקודקוד השני — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.
תרגיל 8
נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ב
הפתרון:
שניהם הקודקוד השני
בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.
תרגיל 9
נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ב
הפתרון:
מתאימים כל אות לפי מיקומה
ולכן הצלעות שוות
S הוא הקודקוד השני ו-A הקודקוד השלישי — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.
תרגיל 10
נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ב
הפתרון:
שניהם הקודקוד השלישי
בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.
תרגיל 11
נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ד
הפתרון:
מתאימים כל אות לפי מיקומה
ולכן הצלעות שוות
E הוא הקודקוד השלישי ו-D הקודקוד הראשון — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.
תרגיל 12
נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ב
הפתרון:
שניהם הקודקוד הראשון
בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.
תרגיל 13
כמה שוויונות אפשר לרשום מתוך שורת חפיפה אחת של שני משולשים?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 6
הפתרון:
שלוש צלעות שוות בהתאמה
ושלוש זוויות שוות בהתאמה
שש בסך הכול. שורה אחת של חפיפה שווה שש שורות של נתונים — זה מה שהופך אותה לכל כך שימושית בהוכחות.
תרגיל 14
נתון . תלמיד רשם . איפה הטעות?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ד הוא התאים לפי דמיון בין האותיות ולא לפי מיקומן
הפתרון:
לפי המיקום בשורת החפיפה
זו התשובה הנכונה
המיקום באותיות הוא הדבר היחיד שקובע. לא הדמיון בין האותיות, ולא איך שהמשולש מצויר.
תרגיל 15
המשולשים בשרטוט חופפים. איזו כתיבה נכונה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: א
הפתרון:
קשת אחת
שתי קשתות
שלוש קשתות
עוברים קודקוד אחר קודקוד לפי הקשתות, ולא לפי הסדר האלפביתי.
תרגיל 16
נתון . איזו מהכתיבות הבאות אומרת בדיוק אותו דבר?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ב
הפתרון:
אותה התאמה
מותר לסדר מחדש רק אם עושים אותו שינוי בשני הצדדים. ב- עדיין , , .
תרגיל 17
נתון . איזו טענה אינה נובעת מהחפיפה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ג
הפתרון:
הראשון והשלישי
ולא
מחברת את הקודקוד הראשון לשלישי, ולכן היא שווה ל- — לא ל-.
תרגיל 18
נתון , ו-, . מה גודל (במעלות)?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 65
הפתרון:
סכום הזוויות במשולש
השלישית מול השלישית
היא האות השלישית, ולכן מתאימה ל- — שאותה מחשבים מסכום הזוויות.
תרגיל 19
נתון , ו-, , ס״מ. מה אורך (בס״מ)?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 5
הפתרון:
השני והשלישי
מחברת את הקודקוד השני לשלישי, ולכן היא מתאימה ל-.
תרגיל 20
המשולשים בשרטוט חופפים. איזו כתיבה נכונה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ד
הפתרון:
בין קו אחד לשלושה קווים
בין קו אחד לשני קווים
בין שני קווים לשלושה
כל קודקוד מזוהה לפי שתי הצלעות שיוצאות ממנו. נמצא בין הצלע עם קו אחד לצלע עם שלושה קווים — וכך גם .
תרגיל 21
אם , אז גם .
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: נכון
הפתרון:
אותו שינוי בשני הצדדים
אותה התאמה
בשני הצדדים החליפו את האות השנייה עם השלישית — אותו שינוי. ההתאמה נשארת: , , .
תרגיל 22
אם , אז בהכרח גם .
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: לא נכון
הפתרון:
השינוי רק בצד אחד
בדרך כלל
כאן שינו את הסדר רק בצד אחד. השורה החדשה אומרת — כלומר , וזה לא נובע מהחפיפה הנתונה.
תרגיל 23
התאימו כל מקרה למה שהוא אומר
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: — הקודקוד הראשון · — הקודקוד השני · — הקודקוד השלישי
הפתרון:
כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.