משפט חפיפה צ.צ.צ · חפיפת משולשים · כיתה ח׳

ראינו שבמשולשים חופפים יש שישה שוויונות. אבל כדי להוכיח חפיפה לא צריך את כולם. המשפט הראשון אומר: מספיקות שלוש הצלעות — בלי אף זווית.

משפט חפיפה צ.צ.צ (צלע, צלע, צלע). שני משולשים השווים בהתאמה בשלוש צלעותיהם — חופפים.

למה שלוש צלעות מספיקות?

נסו לבנות משולש משלושה מקלות באורכים קבועים, למשל 5, 6 ו-7 ס״מ. איך שלא תחברו אותם, יתקבל אותו משולש: אפשר לסובב אותו או להפוך אותו, אבל אי אפשר לשנות אף זווית שלו. אומרים שהמשולש קשיח.

עם ארבעה מקלות זה לא עובד: ריבוע אפשר «למעוך» למעוין — אותן צלעות, זוויות אחרות. לכן בגשרים, במגדלי חשמל ובמנופים רואים כל כך הרבה משולשים.

ריבוע ומעוין: אותן ארבע צלעות, צורות שונות. ארבעה מקלות אפשר «למעוך». שלושה — אי אפשר.

בצ.צ.צ, כמה זוויות צריך לדעת?

להציג את התשובה והפתרון

אף אחת. שלוש צלעות מספיקות לבדן — הזוויות כבר נקבעות מהן.

איך כותבים הוכחה בצ.צ.צ

הוכחת חפיפה נכתבת בטבלה של טענה ונימוק. בצ.צ.צ צריך שלוש שורות של צלעות, כל אחת עם הנימוק שלה, ושורה רביעית של המסקנה.

בדלתון

ABCD

AB = AD

ו-

CB = CD

. האלכסון

AC

משותף לשני המשולשים.

דוגמה: בדלתון $ABCD$ נתון $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . הוכיחו ש- $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ .

$AB = AD$

$CB = CD$

$\triangle ABC \cong \triangle ADC$

נתון — צלע

$AC = AC$

צלע משותפת — צלע

צ.צ.צ

שימו לב לסדר האותיות במסקנה: $B$ עומד מול $D$ , כי $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . הקודקודים $A$ ו- $C$ משותפים, ולכן הם עומדים מול עצמם.

הצלע המשותפת. כששני משולשים חולקים צלע, היא שווה לעצמה. לעתים קרובות זו בדיוק הצלע השלישית שחסרה — ובלי השורה הזאת ההוכחה לא שלמה.

ומה מקבלים מהחפיפה?

אחרי שהוכחנו חפיפה, מותר להסיק כל שוויון בין איברים מתאימים — גם זוויות שלא הופיעו בנתונים בכלל. הנימוק הוא «זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות» (או «צלעות מתאימות», כשמסיקים שוויון של צלעות).

בדלתון שלמעלה: מהחפיפה $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ נובע $\angle B = \angle D$ , וגם $\angle BAC = \angle DAC$ — כלומר $AC$ חוצה את הזווית $A$ . זה לא היה כתוב בנתונים!

למשולש אחד צלעות של 4, 5 ו-6 ס״מ, ולמשולש שני צלעות של 6, 4 ו-5 ס״מ. האם הם חופפים?

להציג את התשובה והפתרון

כן. אלה אותם שלושה אורכים, רק ברשימה בסדר אחר. בכתיבת החפיפה צריך להתאים: הצלע של 4 מול הצלע של 4, וכך הלאה.

תרגילים

תרגיל 1

בשני משולשים סומנו: שלוש הצלעות של האחד שוות לשלוש הצלעות של השני. לפי איזה משפט הם חופפים?

צ.ז.צ
ז.צ.ז
אי אפשר לדעת
צ.צ.צ

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד צ.צ.צ

הפתרון:

3 \;=\; 3

שלוש צלעות מול שלוש צלעות — בלי אף זווית

שלוש צלעות קובעות משולש אחד ויחיד — זהו בדיוק משפט צ.צ.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הסימנים מראים אילו צלעות שוות.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

לא, חסרה זווית
כן, לפי צ.ז.צ
כן, לפי ז.צ.ז
כן, לפי צ.צ.צ

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כן, לפי צ.צ.צ

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= EF \\ \ BC &= FD \\ \ CA &= DE\end{aligned}

שלוש צלעות שוות בהתאמה

מסומנים שלושה זוגות של צלעות שוות, ואף זווית. שלוש צלעות מספיקות: צ.צ.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

למשולש אחד צלעות של 3, 4 ו-6 ס״מ, ולמשולש שני צלעות של 4, 6 ו-3 ס״מ. מה נכון?

הם חופפים רק אם שניהם ישרי זווית
אי אפשר לדעת בלי הזוויות
הם לא חופפים, כי הצלעות רשומות בסדר אחר
הם חופפים לפי צ.צ.צ

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הם חופפים לפי צ.צ.צ

הפתרון:

\{3,\ 4,\ 6\} = \{4,\ 6,\ 3\}

אותם שלושה אורכים

\text{צ.צ.צ}

אותם שלושה אורכים בדיוק — 3, 4 ו-6. הסדר ברשימה לא משנה; הוא משנה רק את סדר האותיות בכתיבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

למשולש אחד צלעות של 3, 4 ו-6 ס״מ, ולמשולש שני צלעות של 3, 4 ו-5 ס״מ. מה נכון?

הם חופפים לפי צ.ז.צ
הם חופפים לפי צ.צ.צ
הם לא חופפים
הם חופפים, כי שתי צלעות שוות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הם לא חופפים

הפתרון:

6 \neq 5

הצלע השלישית שונה

שתי צלעות שוות, אבל השלישית שונה (6 מול 5). צ.צ.צ דורש שלוש צלעות שוות. ואם הצלע השלישית שונה — המשולשים בוודאות אינם חופפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ב- $\triangle ABC$ : $AB = 5$ , $BC = 8$ , $CA = 6$ . ב- $\triangle PQR$ : $PQ = 6$ , $QR = 5$ , $RP = 8$ . איזו כתיבה נכונה?

$\triangle ABC \cong \triangle RQP$
$\triangle ABC \cong \triangle QRP$
$\triangle ABC \cong \triangle PQR$
$\triangle ABC \cong \triangle QPR$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\triangle ABC \cong \triangle QRP$

הפתרון:

A \leftrightarrow Q

בין 5 ל-6

B \leftrightarrow R

בין 5 ל-8

C \leftrightarrow P

בין 8 ל-6

מזהים כל קודקוד לפי שתי הצלעות שיוצאות ממנו. $A$ נמצא בין הצלעות 5 ו-6, וגם $Q$ (בין $QR = 5$ ל- $PQ = 6$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אם בשני משולשים שתי צלעות שוות בהתאמה, המשולשים חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= DE \\ \ AC &= DF\end{aligned}

שתי צלעות בלבד

\angle A \;?

הזווית ביניהן חופשית — והצלע השלישית איתה

שתי צלעות לבד לא נועלות את המשולש: אפשר לפתוח את הזווית שביניהן יותר או פחות, ולקבל צלע שלישית אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

האלכסון

AC

מחלק את המקבילית לשני משולשים.

נתונה מקבילית $ABCD$ והאלכסון $AC$ . הוכיחו: $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ .

$ABCD$ מקבילית
$AC$ אלכסון

$\triangle ABC \cong \triangle CDA$

להציג את התשובה והפתרון

$AB = CD$ — הצלעות הנגדיות במקבילית שוות
$BC = DA$ — הצלעות הנגדיות במקבילית שוות
$AC = CA$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ — משפט חפיפה צ.צ.צ

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

האלכסון

BD

מחלק את המרובע לשני משולשים.

במרובע $ABCD$ נתון $AB = CD$ ו- $AD = CB$ . הקטע $BD$ הוא אלכסון. הוכיחו: $\angle A = \angle C$ .

$AB = CD$
$AD = CB$

$\angle A = \angle C$

להציג את התשובה והפתרון

$AB = CD$ — נתון
$AD = CB$ — נתון
$BD = DB$ — צלע משותפת
$\triangle ABD \cong \triangle CDB$ — משפט חפיפה צ.צ.צ
$\angle A = \angle C$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= CD \\ \ AD &= CB \\ \ BD &= DB\end{aligned}

שלוש צלעות

\triangle ABD \cong \triangle CDB

צ.צ.צ

\angle A = \angle C

זוויות מתאימות

הזוויות $\angle A$ ו- $\angle C$ אינן בנתונים. מגיעים אליהן דרך חפיפה: שני משולשים שכל אחד מהם מכיל אחת מהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

AD

מחבר את הקודקוד

A

לאמצע הצלע

BC

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC$ . הנקודה $D$ היא אמצע הצלע $BC$ . הוכיחו: $\angle BAD = \angle CAD$ .

$AB = AC$
$D$ אמצע $BC$

$\angle BAD = \angle CAD$

להציג את התשובה והפתרון

$AB = AC$ — נתון
$D$ אמצע $BC$ — נתון
$BD = CD$ — אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים
$AD = AD$ — צלע משותפת
$\triangle ABD \cong \triangle ACD$ — משפט חפיפה צ.צ.צ
$\angle BAD = \angle CAD$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= AC \\ \ BD &= CD \\ \ AD &= AD\end{aligned}

שלוש צלעות

\triangle ABD \cong \triangle ACD

צ.צ.צ

\angle BAD = \angle CAD

זוויות מתאימות

זו תוצאה חשובה: במשולש שווה שוקיים, הקטע מהקודקוד לאמצע הבסיס חוצה את זווית הראש. הזווית לא הייתה בנתונים — היא הגיעה מהחפיפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הצלעות

AC

ו-

DB

אינן מסומנות — צריך להוכיח שהן שוות.

הנקודות $A$ , $B$ , $C$ , $D$ נמצאות על ישר אחד, בסדר הזה. נתון: $AB = CD$ , $AE = DF$ ו- $CE = BF$ . הוכיחו: $\triangle AEC \cong \triangle DFB$ .

$AB = CD$
$AE = DF$
$CE = BF$

$\triangle AEC \cong \triangle DFB$

להציג את התשובה והפתרון

$AB = CD$ — נתון
$AC = DB$ — הוספנו לשני קטעים שווים את אותו קטע
$AE = DF$ — נתון
$CE = BF$ — נתון
$\triangle AEC \cong \triangle DFB$ — משפט חפיפה צ.צ.צ

הפתרון:

AC = AB + BC

DB = DC + CB

\begin{aligned}AB &= CD \;\Rightarrow\; AC \\ &= DB\end{aligned}

הוספנו $BC$ לשניהם

\triangle AEC \cong \triangle DFB

צ.צ.צ

הצלע השלישית לא נתונה ישירות. מקבלים אותה בחיבור: לשני הקטעים השווים $AB$ ו- $CD$ מוסיפים את אותו קטע $BC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

\angle ABC = 110^\circ

במרובע $ABCD$ נתון $AB = AD$ ו- $CB = CD$ , ו- $\angle ABC = 110^\circ$ . מה גודל $\angle ADC$ (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 110

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= AD \\ \ CB &= CD \\ \ AC &= AC\end{aligned}

צ.צ.צ

\triangle ABC \cong \triangle ADC

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ABC \\ &= 110^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות

האלכסון $AC$ יוצר שני משולשים חופפים לפי צ.צ.צ, ו- $\angle ADC$ מתאימה ל- $\angle ABC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ב- $\triangle ABC$ : $AB = 4$ , $BC = 6$ , $CA = 5$ . ב- $\triangle PQR$ : $PQ = 5$ , $QR = 4$ , $RP = 6$ . איזו זווית שווה ל- $\angle A$ ?

$\angle Q$
$\angle R$
$\angle P$
אף אחת מהן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\angle Q$

הפתרון:

A:\ 4 ,\ 5 \quad Q:\ 4 ,\ 5

אותן שתי צלעות

\angle A = \angle Q

זוויות מתאימות

הזווית $A$ נמצאת בין הצלעות 4 ו-5. גם $\angle Q$ נמצאת בין הצלעות 4 ( $QR$ ) ו-5 ( $PQ$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בדלתון

ABCD

AB = AD

ו-

CB = CD

. האלכסון

AC

משותף לשני המשולשים.

בדלתון $ABCD$ נתון $AB = AD$ ו- $CB = CD$ (ראו את השרטוט). תלמיד כתב הוכחה. באיזו שורה הטעות?

AB = AD \quad (\text{נתון})

CB = CD \quad (\text{נתון})

AC = AC \quad (\text{צלע משותפת})

\triangle ABC \cong \triangle ACD \quad (\text{צ.צ.צ})

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\triangle ABC \cong \triangle ACD \quad (\text{צ.צ.צ})$ → $\triangle ABC \cong \triangle ADC$

הפתרון:

B \leftrightarrow D

כי $AB = AD$

\triangle ABC \cong \triangle ADC

הכתיבה הנכונה

המשפט נכון, אבל סדר האותיות לא: $B$ מתאים ל- $D$ , כי $AB = AD$ . בכתיבה $\triangle ABC \cong \triangle ACD$ האות $B$ עומדת מול $C$ — וזו טענה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

מסומנות שתי צלעות שוות בכל משולש.

בשרטוט מסומנים $AB = DE$ ו- $BC = EF$ . איזה נתון נוסף יאפשר להוכיח חפיפה לפי צ.צ.צ?

$\angle B = \angle E$
$AC = DF$
$\angle A = \angle D$
$AB = EF$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $AC = DF$

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= DE \\ \ BC &= EF \\ \ AC &= DF\end{aligned}

שלוש צלעות

צ.צ.צ צריך את הצלע השלישית. גם $\angle B = \angle E$ היה מספיק — אבל זו זווית, וזה כבר משפט אחר (צ.ז.צ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

למה שלוש צלעות מספיקות?

איך כותבים הוכחה בצ.צ.צ

ומה מקבלים מהחפיפה?

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev