משפט חפיפה צ.ז.צ

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

המשפט השני משתמש בשתי צלעות וזווית אחת. אבל לא כל זווית — וזה כל העניין ביחידה הזאת.

משפט חפיפה צ.ז.צ (צלע, זווית, צלע). שני משולשים השווים בהתאמה בשתי צלעות ובזווית הכלואה ביניהן — חופפים.

המילה החשובה היא כלואה: הזווית חייבת להיות זו שבין שתי הצלעות — הזווית שבקודקוד שבו הן נפגשות. זה בדיוק מה שהסדר בשם המשפט אומר: צלע, ואז זווית, ואז צלע.

למה הזווית חייבת להיות כלואה?

דמיינו מחוגה: שתי רגליים באורך קבוע, והזווית שביניהן נעולה. יש רק דרך אחת לסגור משולש — הקטע שבין קצות הרגליים. לכן הצלע השלישית, ואיתה כל המשולש, נקבעת.

ואם הזווית אינה בין הצלעות? אז לפעמים יש שני משולשים שונים עם אותם נתונים. הנה דוגמה:

ABDC
△ABC\triangle ABC ו-△ABD\triangle ABD: הצלע ABAB משותפת, הזווית AA משותפת, ו-BC=BDBC = BD. ובכל זאת — △ABD\triangle ABD קטן בהרבה. שימו לב: BCBC, הצלע שמול ∠A\angle A, קטנה מ-ABAB.

צלע, צלע וזווית שאינה כלואה — זה לא צ.ז.צ.

AB=DE BC=EF ∠A=∠D  ⇒  צ.ז.צ\begin{aligned}AB &= DE \\ \ BC &= EF \\ \ \angle A &= \angle D \;\Rightarrow\; \text{צ.ז.צ}\end{aligned}
AB=DE ∠B=∠E BC=EF  ⇒  צ.ז.צ\begin{aligned}AB &= DE \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ BC &= EF \;\Rightarrow\; \text{צ.ז.צ}\end{aligned}

הזווית BB נמצאת בין ABAB ל-BCBC — כלואה. הזווית AA נמצאת מול BCBC: זה כבר לא צ.ז.צ, ולכל היותר המשפט הרביעי, צ.צ.ז — שחל רק כשהזווית מול הצלע הגדולה.

צ.ז.צ — מה בדיוק דורש המשפט?

להציג את התשובה והפתרון

שתי צלעות והזווית שביניהן. זווית שאינה ביניהן אינה נותנת צ.ז.צ. היא נותנת חפיפה רק לפי משפט חפיפה צ.צ.ז, וגם זה רק כשהיא מול הגדולה מבין שתי הצלעות — מול הקטנה יש דוגמאות נגדיות.

המשפט הרביעי: צ.צ.ז

שתי צלעות וזווית שאינה כלואה אינן צ.ז.צ — אבל לפעמים הן כן מספיקות לחפיפה. זה המשפט הרביעי, והכול תלוי בשאלה מול איזו צלע נמצאת הזווית.

משפט חפיפה צ.צ.ז — צלע, צלע, זווית. שני משולשים השווים בהתאמה בשתי צלעות ובזווית שמול הגדולה מבין שתי הצלעות — חופפים.

למה במשפט הרביעי הזווית חייבת להיות מול הצלע הגדולה

ננסה לבנות משולש מנתונים כאלה. מציירים צלע AB=5AB = 5, ובקודקוד BB זווית של 40°40°. הקודקוד השלישי יושב איפשהו על הקרן שיוצאת מ-BB, ואנחנו יודעים עליו רק דבר אחד: את מרחקו מ-AA — כלומר את הצלע שמול ∠B\angle B. השאלה היא כמה נקודות על הקרן נמצאות במרחק הזה מ-AA.

ABCD
הצלע שמול ∠B\angle B קטנה מ-ABAB: AC=AD=4AC = AD = 4. יש על הקרן שתי נקודות במרחק 4 מ-AA. לכן יש שני משולשים, ABCABC ו-ABDABD: בשניהם AB=5AB = 5, ∠B=40°\angle B = 40° והצלע שמול ∠B\angle B היא 4 — והם אינם חופפים.
ABCX
הצלע שמול ∠B\angle B גדולה מ-ABAB: AC=7AC = 7. על הקרן יש נקודה אחת בלבד במרחק 7 מ-AA. הנקודה השנייה במרחק הזה, XX, נמצאת מעבר ל-BB, והזווית שם היא 140°140° ולא 40°40°. לכן המשולש נקבע באופן יחיד.

הכלל: שתי צלעות וזווית שאינה כלואה ביניהן מספיקות לחפיפה רק כשהזווית נמצאת מול הצלע הגדולה מבין השתיים. מול הצלע הקטנה ייתכנו שני משולשים שונים. מקרה שכדאי לזכור: זווית ישרה או קהה מונחת תמיד מול הצלע הגדולה ביותר במשולש, ולכן עם זווית כזאת צ.צ.ז חל תמיד.

בשני משולשים נתון: AB=DE=6AB = DE = 6, AC=DF=9AC = DF = 9 ו-∠B=∠E\angle B = \angle E. האם המשולשים חופפים?

להציג את התשובה והפתרון

כן, לפי משפט חפיפה צ.צ.ז. הזווית BB נמצאת מול הצלע AC=9AC = 9, והיא הגדולה מבין שתי הצלעות הנתונות. אילו הזווית הייתה מול הצלע שאורכה 6, לא היה אפשר להסיק חפיפה.

דוגמה מלאה

דוגמה: במשולש שווה שוקיים ABCABC (כלומר AB=ACAB = AC), הנקודה DD נמצאת על BCBC כך ש-ADAD הוא חוצה זווית AA. הוכיחו ש-△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD.

AB=ACAB = AC — המשולש שווה שוקיים

ADAD חוצה את זווית AA

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

AB=ACAB = AC

נתון — צלע

∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD

ADAD חוצה זווית — זווית

AD=ADAD = AD

צלע משותפת לשני המשולשים — צלע

צ.ז.צ

שימו לב שהזווית באמצע היא בדיוק זו שבין שתי הצלעות שרשמנו — לכן מותר לנו צ.ז.צ. אילו הייתה זו זווית אחרת, המשפט לא היה חל.

ושימו לב לצלע המשותפת ADAD: היא מופיעה בשני המשולשים, ולכן היא שווה לעצמה. זה נראה מיותר, אבל בלי השורה הזאת ההוכחה חסרה — צריך שלושה שוויונות, לא שניים.

זוויות שמגיעות מהשרטוט

בהרבה תרגילים הזווית לא כתובה בנתונים — היא מגיעה מהשרטוט. שלושה מקורות חוזרים שוב ושוב: זוויות קודקודיות (כשקטעים נחתכים), זווית משותפת (כששני המשולשים יושבים באותה זווית), וזוויות ישרות (כשנתון שקטעים מאונכים).

ABOCD
OO אמצע ACAC וגם אמצע BDBD. הזוויות הקודקודיות ב-OO מסומנות בקשת.

בשרטוט, מה עוד שווה, מלבד AO=OCAO = OC ו-BO=ODBO = OD? ואיזה משפט מתאים?

להציג את התשובה והפתרון

הזוויות הקודקודיות: ∠AOB=∠COD\angle AOB = \angle COD. והן כלואות — כל אחת בין שתי הצלעות המסומנות. לכן △AOB≅△COD\triangle AOB \cong \triangle COD לפי צ.ז.צ.

תרגילים

תרגיל 1

מה פירוש ראשי התיבות צ.ז.צ?

  1. צלע, זווית, צלע — והזווית כלואה בין שתי הצלעות
  2. צורה, זווית, צלע
  3. צלע, זווית, צלע — בכל סדר שהוא
  4. שלוש צלעות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א צלע, זווית, צלע — והזווית כלואה בין שתי הצלעות

הפתרון:

צלע→זווית→צלע\text{צלע} \rightarrow \text{זווית} \rightarrow \text{צלע}

הסדר בשם המשפט הוא הסדר בצורה

הזווית חייבת להיות כלואה — זו שבין שתי הצלעות. עם זווית אחרת המשפט פשוט לא חל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בשני משולשים סומנו: שתי צלעות שוות בהתאמה, וגם הזווית שבין שתי הצלעות. לפי איזה משפט הם חופפים?

  1. ז.צ.ז
  2. צ.ז.צ
  3. צ.צ.צ
  4. אף משפט — חסר נתון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב צ.ז.צ

הפתרון:

AB=DE  ∠B=∠E  BC=EF\begin{aligned}AB &= DE \\ \; \angle B &= \angle E \\ \; BC &= EF\end{aligned}

שתי צלעות — והזווית המסומנת כלואה ביניהן

המילה הקובעת היא כלואה: הזווית נמצאת בין שתי הצלעות המסומנות, ולכן זה צ.ז.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בשני משולשים סומנו שתי צלעות שוות, וזווית שאינה נמצאת בין שתי הצלעות אלא מול אחת מהן. האם מותר להסיק חפיפה לפי צ.ז.צ?

  1. כן, אבל רק אם המשולשים חדי זווית
  2. לא — צ.ז.צ דורש שהזווית תהיה כלואה בין הצלעות
  3. לא — צריך את כל שלוש הזוויות
  4. כן — שתי צלעות וזווית זה תמיד מספיק
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא — צ.ז.צ דורש שהזווית תהיה כלואה בין הצלעות

הפתרון:

AB=DE  BC=EF  ∠A=∠D\begin{aligned}AB &= DE \\ \; BC &= EF \\ \; \angle A &= \angle D\end{aligned}

הזווית המסומנת נמצאת מול צלע, ולא בין שתי הצלעות המסומנות — לכן אין כאן צ.ז.צ

צ.ז.צ דורש זווית כלואה. שתי צלעות וזווית שמול אחת מהן הן נתונים של משפט אחר, משפט חפיפה צ.צ.ז — והוא חל רק כשהזווית מול הגדולה מבין שתי הצלעות. כשהזווית מול הקטנה, ייתכנו שני משולשים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשני משולשים יש צלע משותפת. מה רושמים עליה בטבלת ההוכחה?

  1. שהיא שווה לצלע הארוכה ביותר
  2. לא רושמים עליה כלום
  3. שהיא שווה לעצמה, בנימוק «צלע משותפת»
  4. שהיא חוצה את הזווית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שהיא שווה לעצמה, בנימוק «צלע משותפת»

הפתרון:

AD=ADAD = AD

הצלע מופיעה בשני המשולשים, ולכן שווה לעצמה

זה נראה מיותר, אבל בלי השורה הזאת יש רק שני שוויונות — ומשפט חפיפה דורש שלושה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCDEF
שתי צלעות וזווית מסומנות בכל משולש.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. כן, לפי ז.צ.ז
  2. כן, לפי צ.ז.צ
  3. כן, לפי צ.צ.צ
  4. לא, הזווית אינה כלואה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כן, לפי צ.ז.צ

הפתרון:

AB=DE ∠B=∠E BC=EF\begin{aligned}AB &= DE \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ BC &= EF\end{aligned}

צלע, זווית כלואה, צלע

הזווית המסומנת היא ∠B\angle B — הקודקוד שבו נפגשות ABAB ו-BCBC. היא כלואה בין שתי הצלעות המסומנות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCDEF
AB=DE=5AB = DE = 5, BC=EF=7BC = EF = 7, ו-∠C=∠F\angle C = \angle F.

בשרטוט: AB=DE=5AB = DE = 5, BC=EF=7BC = EF = 7 ו-∠C=∠F\angle C = \angle F. האם אפשר לקבוע שהמשולשים חופפים?

  1. כן, לפי צ.ז.צ
  2. כן, לפי ז.צ.ז
  3. כן, לפי צ.צ.ז
  4. לא — הזווית אינה כלואה, והיא מול הצלע הקטנה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא — הזווית אינה כלואה, והיא מול הצלע הקטנה

הפתרון:

AB, BC  →  ∠BAB ,\ BC \;\to\; \angle B

הזווית הכלואה היא ∠B\angle B

∠C מול AB=5<7\angle C \text{ מול } AB = 5 < 7

מול הצלע הקטנה — לא צ.צ.ז

הצלעות המסומנות, ABAB ו-BCBC, נפגשות ב-BB — ולכן הזווית הכלואה היא ∠B\angle B, ואין כאן צ.ז.צ. וגם צ.צ.ז אינו חל: ∠C\angle C נמצאת מול AB=5AB = 5, הצלע הקטנה מבין השתיים. עם נתונים כאלה ייתכנו שני משולשים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDEF
AB=DE=5AB = DE = 5, BC=EF=7BC = EF = 7, ו-∠A=∠D\angle A = \angle D.

בשרטוט: AB=DE=5AB = DE = 5, BC=EF=7BC = EF = 7 ו-∠A=∠D\angle A = \angle D. האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. כן, לפי צ.ז.צ
  2. לא — הזווית אינה כלואה
  3. לא — צריך את הצלע השלישית
  4. כן, לפי צ.צ.ז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כן, לפי צ.צ.ז

הפתרון:

∠A מול BC=7>5\angle A \text{ מול } BC = 7 > 5

מול הצלע הגדולה

△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF

צ.צ.ז

הזווית אינה כלואה, ולכן זה לא צ.ז.צ. אבל ∠A\angle A נמצאת מול BC=7BC = 7 — הצלע הגדולה מבין השתיים — ולכן משפט חפיפה צ.צ.ז חל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCDE
AB=ACAB = AC ו-AD=AEAD = AE. הקטעים BEBE ו-CDCD נחתכים.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC. הנקודה DD על ABAB והנקודה EE על ACAC, ו-AD=AEAD = AE. הוכיחו: BE=CDBE = CD.

  • AB=ACAB = AC
  • AD=AEAD = AE

BE=CDBE = CD

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. ∠BAE=∠CAD\angle BAE = \angle CAD — זווית משותפת
  3. AE=ADAE = AD — נתון
  4. △ABE≅△ACD\triangle ABE \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. BE=CDBE = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

AB=AC ∠A AE=AD\begin{aligned}AB &= AC \\ \ \angle A \\ \ AE &= AD\end{aligned}

צלע, זווית משותפת, צלע

△ABE≅△ACD\triangle ABE \cong \triangle ACD

צ.ז.צ

BE=CDBE = CD

צלעות מתאימות

המשולשים ABEABE ו-ACDACD חופפים זה את זה ו«יושבים» באותה זווית AA. זו הזווית הכלואה — בין ABAB ל-AEAE, ובין ACAC ל-ADAD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABMP
PMPM מאונך ל-ABAB ועובר באמצע שלו.

הנקודה MM היא אמצע הקטע ABAB, והקטע PMPM מאונך ל-ABAB. הוכיחו: PA=PBPA = PB.

  • MM אמצע ABAB
  • PM⊥ABPM \perp AB

PA=PBPA = PB

להציג את התשובה והפתרון
  1. MM אמצע ABAB — נתון
  2. AM=BMAM = BM — אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים
  3. PM⊥ABPM \perp AB — נתון
  4. ∠PMA=∠PMB=90∘\angle PMA = \angle PMB = 90^\circ — ישרים מאונכים יוצרים זוויות ישרות
  5. PM=PMPM = PM — צלע משותפת
  6. △PMA≅△PMB\triangle PMA \cong \triangle PMB — משפט חפיפה צ.ז.צ
  7. PA=PBPA = PB — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

AM=BM ∠PMA=∠PMB PM=PM\begin{aligned}AM &= BM \\ \ \angle PMA &= \angle PMB \\ \ PM &= PM\end{aligned}

צלע, זווית ישרה, צלע

△PMA≅△PMB\triangle PMA \cong \triangle PMB

צ.ז.צ

PA=PBPA = PB

צלעות מתאימות

זו תכונה חשובה של האנך האמצעי: כל נקודה עליו נמצאת באותו מרחק משני קצות הקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCD
AB∥DCAB \parallel DC ו-AB=DCAB = DC.

במרובע ABCDABCD נתון AB∥DCAB \parallel DC ו-AB=DCAB = DC. הקטע ACAC הוא אלכסון. הוכיחו: BC=DABC = DA.

  • AB∥DCAB \parallel DC
  • AB=DCAB = DC

BC=DABC = DA

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=CDAB = CD — נתון
  2. AB∥DCAB \parallel DC — נתון
  3. ∠BAC=∠DCA\angle BAC = \angle DCA — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
  4. AC=CAAC = CA — צלע משותפת
  5. △ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. BC=DABC = DA — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

∠BAC=∠DCA\angle BAC = \angle DCA

מתחלפות, AB∥DCAB \parallel DC

△ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA

צ.ז.צ

BC=DABC = DA

צלעות מתאימות

הזווית לא נתונה — היא מגיעה מהמקבילים: האלכסון ACAC חותך את ABAB ואת DCDC, ויוצר זוויות מתחלפות שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABOCD
∠OAB=40∘\angle OAB = 40^\circ, ∠OBA=30∘\angle OBA = 30^\circ.

הקטעים ACAC ו-BDBD נחתכים בנקודה OO, ו-OO היא אמצע שניהם. נתון ∠OAB=40∘\angle OAB = 40^\circ ו-∠OBA=30∘\angle OBA = 30^\circ. מה גודל ∠OCD\angle OCD (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

AO=CO ∠AOB=∠COD BO=DO\begin{aligned}AO &= CO \\ \ \angle AOB &= \angle COD \\ \ BO &= DO\end{aligned}

צ.ז.צ

△AOB≅△COD\triangle AOB \cong \triangle COD
∠OCD=∠OAB=40∘\begin{aligned}\angle OCD &= \angle OAB \\ &= 40^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות

קודם חפיפה, ואחר כך התאמה זהירה: △AOB≅△COD\triangle AOB \cong \triangle COD, ולכן A↔CA \leftrightarrow C — הזווית ב-CC שווה לזווית ב-AA, לא לזו שב-BB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ABCDEF
AB=DEAB = DE, ∠B=∠E\angle B = \angle E, BC=EFBC = EF.

בשרטוט: AB=DEAB = DE, ∠B=∠E\angle B = \angle E ו-BC=EFBC = EF. נתון ∠A=70∘\angle A = 70^\circ ו-∠B=50∘\angle B = 50^\circ. מה גודל ∠F\angle F (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF

צ.ז.צ

∠C=180∘−70∘−50∘=60∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות

∠F=∠C=60∘\begin{aligned}\angle F &= \angle C \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות

המשולשים חופפים לפי צ.ז.צ, ו-∠F\angle F מתאימה ל-∠C\angle C.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

ABCDEF
מסומנות שתי צלעות שוות בכל משולש.

בשרטוט מסומנים AB=DEAB = DE ו-BC=EFBC = EF. איזה נתון נוסף יאפשר להוכיח חפיפה לפי צ.ז.צ?

  1. ∠A=∠D\angle A = \angle D
  2. ∠B=∠E\angle B = \angle E
  3. ∠C=∠F\angle C = \angle F
  4. AC=DFAC = DF
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ∠B=∠E\angle B = \angle E

הפתרון:

AB, BC  →  ∠BAB ,\ BC \;\to\; \angle B

הזווית שבקודקוד המשותף

הזווית הכלואה בין ABAB ל-BCBC היא ∠B\angle B. (AC=DFAC = DF היה מספיק גם הוא — אבל לפי צ.צ.צ, לא לפי צ.ז.צ.)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

בשני משולשים נתון AB=DE=7AB = DE = 7, BC=EF=5BC = EF = 5 ו-∠A=∠D\angle A = \angle D. תלמיד כתב הוכחה. באיזו שורה הטעות?

AB=DE(נתון)AB = DE \quad (\text{נתון})
BC=EF(נתון)BC = EF \quad (\text{נתון})
∠A=∠D(נתון)\angle A = \angle D \quad (\text{נתון})
△ABC≅△DEF(צ.ז.צ)\triangle ABC \cong \triangle DEF \quad (\text{צ.ז.צ})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: △ABC≅△DEF(צ.ז.צ)\triangle ABC \cong \triangle DEF \quad (\text{צ.ז.צ}) → אין חפיפה: הזווית אינה כלואה, והיא מול הצלע הקטנה\text{אין חפיפה: הזווית אינה כלואה, והיא מול הצלע הקטנה}

הפתרון:

AB, BC  →  ∠BAB ,\ BC \;\to\; \angle B

הזווית הכלואה היא ∠B\angle B, לא ∠A\angle A

∠A מול BC=5<7\angle A \text{ מול } BC = 5 < 7

מול הצלע הקטנה — לא צ.צ.ז

שלוש השורות הראשונות נכונות — אלה הנתונים. הטעות במסקנה: ∠A\angle A אינה בין ABAB ל-BCBC, ולכן אין צ.ז.צ. וגם צ.צ.ז אינו חל, כי ∠A\angle A נמצאת מול BC=5BC = 5, הצלע הקטנה. עם נתונים כאלה ייתכנו שני משולשים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

ABCDEF
הריבוע ABCDABCD, ו-AE=BFAE = BF.

נתון ריבוע ABCDABCD. הנקודה EE על ABAB והנקודה FF על BCBC, ו-AE=BFAE = BF. הוכיחו: DE=AFDE = AF.

  • ABCDABCD ריבוע
  • AE=BFAE = BF

DE=AFDE = AF

להציג את התשובה והפתרון
  1. DA=ABDA = AB — בריבוע כל הצלעות שוות
  2. ∠DAE=∠ABF=90∘\angle DAE = \angle ABF = 90^\circ — בריבוע כל הזוויות ישרות
  3. AE=BFAE = BF — נתון
  4. △DAE≅△ABF\triangle DAE \cong \triangle ABF — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. DE=AFDE = AF — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

DA=AB ∠A=∠B=90∘ AE=BF\begin{aligned}DA &= AB \\ \ \angle A &= \angle B \\ &= 90^\circ \\ \ AE &= BF\end{aligned}

צלע, זווית, צלע

△DAE≅△ABF\triangle DAE \cong \triangle ABF

צ.ז.צ

DE=AFDE = AF

צלעות מתאימות

בריבוע מקבלים שני נתונים «בחינם»: הצלעות שוות והזוויות ישרות. הזווית הישרה ב-AA כלואה בין DADA ל-AEAE, וזו שב-BB — בין ABAB ל-BFBF.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ABCDO
OO היא אמצע ACAC וגם אמצע BDBD.

הקטעים ACAC ו-BDBD נחתכים בנקודה OO, ונתון ש-OO היא אמצע שניהם. הוכיחו: AB=CDAB = CD.

  • AO=OCAO = OC
  • BO=ODBO = OD

AB=CDAB = CD

להציג את התשובה והפתרון
  1. AO=OCAO = OC — נתון — OO אמצע ACAC
  2. BO=ODBO = OD — נתון — OO אמצע BDBD
  3. ∠AOB=∠COD\angle AOB = \angle COD — זוויות קודקודיות שוות
  4. △AOB≅△COD\triangle AOB \cong \triangle COD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. AB=CDAB = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת