משפט חפיפה ז.צ.ז

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

המשפט השלישי הופך את התפקידים: שתי זוויות וצלע אחת. וגם כאן המיקום קובע: הצלע היא זו שבין שתי הזוויות.

משפט חפיפה ז.צ.ז (זווית, צלע, זווית). שני משולשים השווים בהתאמה בשתי זוויות ובצלע שביניהן — חופפים.

למה זה עובד?

קחו קטע ABAB, ובכל אחד מקצותיו «נעלו» זווית. מכל קצה יוצאת קרן — ושתי הקרניים נפגשות בנקודה אחת בלבד. הנקודה הזאת היא הקודקוד השלישי, ולכן כל המשולש נקבע.

ABC
הצלע ABAB והזוויות בשני קצותיה קבועות. שתי הקרניים נפגשות בנקודה אחת בלבד — CC.

בז.צ.ז — איפה צריכה להיות הצלע?

להציג את התשובה והפתרון

בין שתי הזוויות הנתונות: זו הצלע שמחברת את שני הקודקודים שלהן. זוויות ב-AA וב-BB דורשות את הצלע ABAB.

ומה אם הצלע אינה בין הזוויות?

כאן יש קיצור דרך. סכום הזוויות במשולש הוא תמיד 180∘180^\circ, ולכן אם שתי זוויות שוות — גם השלישית שווה. אז קודם מחשבים את הזווית השלישית, ועכשיו הצלע כבר כן נמצאת בין שתי זוויות ידועות.

∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ BC &= EF\end{aligned}

נתון: הצלע BCBC אינה בין AA ל-BB

∠C=180∘−∠A−∠B=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= \angle F\end{aligned}

הזווית השלישית שווה גם היא

∠B, BC, ∠C\angle B ,\ BC ,\ \angle C

עכשיו BCBC בין שתי זוויות — ז.צ.ז

שלוש זוויות, בלי אף צלע, אינן מספיקות.

∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F  ⇒  חופפים\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ \angle C &= \angle F \;\Rightarrow\; \text{חופפים}\end{aligned}
∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E  ⇒  חופפים\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ AB &= DE \\ \ \angle B &= \angle E \;\Rightarrow\; \text{חופפים}\end{aligned}

זוויות קובעות רק את הצורה. בלי אף צלע, משולש יכול להיות קטן או גדול. צריך לפחות צלע אחת — במקום הנכון.

דוגמה מלאה

ABODC
AB∥CDAB \parallel CD, והנקודה OO היא אמצע ADAD.

דוגמה: AB∥CDAB \parallel CD, והקטעים ADAD ו-BCBC נחתכים ב-OO. נתון ש-OO אמצע ADAD. הוכיחו ש-△ABO≅△DCO\triangle ABO \cong \triangle DCO.

AB∥CDAB \parallel CD

OO אמצע ADAD

△ABO≅△DCO\triangle ABO \cong \triangle DCO

∠BAO=∠CDO\angle BAO = \angle CDO

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים — זווית

AO=DOAO = DO

OO אמצע ADAD — צלע

∠AOB=∠DOC\angle AOB = \angle DOC

זוויות קודקודיות — זווית

ז.צ.ז

שתי הזוויות לא נתונות — אחת מגיעה מהמקבילים והשנייה מהחיתוך. והצלע AOAO נמצאת בדיוק ביניהן: היא מחברת את AA ל-OO.

נתונים ∠A\angle A, ∠B\angle B והצלע BCBC. האם אפשר להשתמש בז.צ.ז?

להציג את התשובה והפתרון

כן, בצעד אחד נוסף: מחשבים ∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B. עכשיו BCBC נמצאת בין ∠B\angle B ל-∠C\angle C.

תרגילים

תרגיל 1

ABCDEF
שתי זוויות וצלע מסומנות בכל משולש.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. כן, לפי ז.צ.ז
  2. כן, לפי צ.צ.צ
  3. כן, לפי צ.ז.צ
  4. לא, צריך עוד צלע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כן, לפי ז.צ.ז

הפתרון:

∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ AB &= DE \\ \ \angle B &= \angle E\end{aligned}

זווית, צלע, זווית

מסומנות הזוויות AA ו-BB, והצלע ABAB שמחברת ביניהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCDEF
מסומנות שתי זוויות שוות בכל משולש.

בשרטוט מסומנים ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E. איזה נתון נוסף יאפשר להוכיח חפיפה לפי ז.צ.ז?

  1. BC=EFBC = EF
  2. ∠C=∠F\angle C = \angle F
  3. AC=DFAC = DF
  4. AB=DEAB = DE
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד AB=DEAB = DE

הפתרון:

∠A, AB, ∠B\angle A ,\ AB ,\ \angle B

הצלע שבין שתי הזוויות

הצלע שבין הזוויות AA ו-BB היא ABAB. (∠C=∠F\angle C = \angle F לא יעזור: היא נובעת ממילא מסכום הזוויות, ושלוש זוויות אינן מספיקות.)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

אם שלוש הזוויות של משולש אחד שוות לשלוש הזוויות של משולש שני, המשולשים חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ \angle C &= \angle F\end{aligned}

רק צורה

AB≠DEAB \neq DE

הגודל יכול להיות שונה

זוויות קובעות רק את הצורה. משולש שווה צלעות קטן ומשולש שווה צלעות גדול — אותן זוויות, ואינם חופפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ב-△ABC\triangle ABC: ∠A=50∘\angle A = 50^\circ, ∠B=60∘\angle B = 60^\circ. ב-△DEF\triangle DEF: ∠D=50∘\angle D = 50^\circ, ∠F=70∘\angle F = 70^\circ. מה גודל ∠E\angle E (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

∠E=180∘−50∘−70∘=60∘\begin{aligned}\angle E &= 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

מחשבים לפי סכום הזוויות במשולש DEFDEF. (יוצא שגם ∠E=∠B\angle E = \angle B — שלוש הזוויות שוות. אבל בלי צלע, זו עדיין לא חפיפה.)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשני משולשים נתון: ∠A=∠D\angle A = \angle D, ∠B=∠E\angle B = \angle E ו-BC=EFBC = EF. מה נכון?

  1. הם לא חופפים, כי הצלע אינה בין הזוויות
  2. הם חופפים לפי צ.ז.צ
  3. הם חופפים: קודם ∠C=∠F\angle C = \angle F, ואז ז.צ.ז
  4. אי אפשר לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הם חופפים: קודם ∠C=∠F\angle C = \angle F, ואז ז.צ.ז

הפתרון:

∠C=180∘−∠A−∠B=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= \angle F\end{aligned}

הזווית השלישית

∠B, BC, ∠C\angle B ,\ BC ,\ \angle C

ז.צ.ז

שתי זוויות שוות גוררות שהשלישית שווה. עכשיו BCBC נמצאת בין ∠B\angle B ל-∠C\angle C, ו-EFEF בין ∠E\angle E ל-∠F\angle F.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCD
ADAD חוצה זווית וגם מאונך ל-BCBC.

במשולש ABCABC, הקטע ADAD חוצה את הזווית AA, ו-AD⊥BCAD \perp BC (הנקודה DD על BCBC). הוכיחו: AB=ACAB = AC.

  • ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC
  • AD⊥BCAD \perp BC

AB=ACAB = AC

להציג את התשובה והפתרון
  1. ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC — נתון
  2. ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  3. AD=ADAD = AD — צלע משותפת
  4. AD⊥BCAD \perp BC — נתון
  5. ∠ADB=∠ADC=90∘\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ — ישרים מאונכים יוצרים זוויות ישרות
  6. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה ז.צ.ז
  7. AB=ACAB = AC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

∠BAD=∠CAD AD=AD ∠ADB=∠ADC\begin{aligned}\angle BAD &= \angle CAD \\ \ AD &= AD \\ \ \angle ADB &= \angle ADC\end{aligned}

זווית, צלע, זווית

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

ז.צ.ז

AB=ACAB = AC

צלעות מתאימות

הצלע ADAD נמצאת בין הזווית שב-AA לזווית הישרה שב-DD — בדיוק ז.צ.ז. המסקנה: משולש שבו חוצה הזווית הוא גם גובה — הוא שווה שוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCD
שני זוגות של צלעות מקבילות. החצים מראים מי מקביל למי.

במרובע ABCDABCD נתון AB∥DCAB \parallel DC ו-AD∥BCAD \parallel BC. הקטע ACAC הוא אלכסון. הוכיחו: AB=CDAB = CD.

  • AB∥DCAB \parallel DC
  • AD∥BCAD \parallel BC

AB=CDAB = CD

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB∥DCAB \parallel DC — נתון
  2. ∠BAC=∠DCA\angle BAC = \angle DCA — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
  3. AC=CAAC = CA — צלע משותפת
  4. AD∥BCAD \parallel BC — נתון
  5. ∠BCA=∠DAC\angle BCA = \angle DAC — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
  6. △ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA — משפט חפיפה ז.צ.ז
  7. AB=CDAB = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

∠BAC=∠DCA AC=CA ∠BCA=∠DAC\begin{aligned}\angle BAC &= \angle DCA \\ \ AC &= CA \\ \ \angle BCA &= \angle DAC\end{aligned}

זווית, צלע, זווית

△ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA

ז.צ.ז

AB=CDAB = CD

צלעות מתאימות

האלכסון חותך שני זוגות של מקבילים, ולכן נותן שני זוגות של זוויות מתחלפות. הצלע ACAC נמצאת ביניהן. כך מוכיחים שבמקבילית הצלעות הנגדיות שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCD
הקשתות מראות את הזוויות השוות.

הנקודות CC ו-DD נמצאות משני צדי הקטע ABAB. נתון: ∠CAB=∠DAB\angle CAB = \angle DAB ו-∠CBA=∠DBA\angle CBA = \angle DBA. הוכיחו: AC=ADAC = AD.

  • ∠CAB=∠DAB\angle CAB = \angle DAB
  • ∠CBA=∠DBA\angle CBA = \angle DBA

AC=ADAC = AD

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠CAB=∠DAB\angle CAB = \angle DAB — נתון
  2. AB=ABAB = AB — צלע משותפת
  3. ∠CBA=∠DBA\angle CBA = \angle DBA — נתון
  4. △ABC≅△ABD\triangle ABC \cong \triangle ABD — משפט חפיפה ז.צ.ז
  5. AC=ADAC = AD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

∠A, AB, ∠B\angle A ,\ AB ,\ \angle B

זווית, צלע משותפת, זווית

△ABC≅△ABD\triangle ABC \cong \triangle ABD

ז.צ.ז

AC=ADAC = AD

צלעות מתאימות

הצלע המשותפת ABAB נמצאת בדיוק בין שתי הזוויות הנתונות — ב-AA וב-BB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCD
∠CAB=∠DAB=35∘\angle CAB = \angle DAB = 35^\circ, ∠CBA=∠DBA=50∘\angle CBA = \angle DBA = 50^\circ.

באותו שרטוט כמו בתרגיל הקודם: ∠CAB=∠DAB=35∘\angle CAB = \angle DAB = 35^\circ ו-∠CBA=∠DBA=50∘\angle CBA = \angle DBA = 50^\circ. מה גודל ∠ADB\angle ADB (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 95

הפתרון:

∠ADB=180∘−35∘−50∘=95∘\begin{aligned}\angle ADB &= 180^\circ - 35^\circ - 50^\circ \\ &= 95^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

מהחפיפה △ABC≅△ABD\triangle ABC \cong \triangle ABD: הזווית ב-DD מתאימה לזווית ב-CC. ואפשר גם ישירות — מסכום הזוויות במשולש ABDABD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בשני משולשים נתון ∠A=∠D\angle A = \angle D, ∠B=∠E\angle B = \angle E ו-AC=DFAC = DF. תלמיד כתב הוכחה. באיזו שורה הטעות?

∠A=∠D(נתון)\angle A = \angle D \quad (\text{נתון})
∠B=∠E(נתון)\angle B = \angle E \quad (\text{נתון})
AC=DF(נתון)AC = DF \quad (\text{נתון})
△ABC≅△DEF(ז.צ.ז)\triangle ABC \cong \triangle DEF \quad (\text{ז.צ.ז})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: △ABC≅△DEF(ז.צ.ז)\triangle ABC \cong \triangle DEF \quad (\text{ז.צ.ז}) → ∠C=∠F (סכום הזוויות), ואז ז.צ.ז\angle C = \angle F \ (\text{סכום הזוויות}) ,\ \text{ואז ז.צ.ז}

הפתרון:

∠C=180∘−∠A−∠B=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= \angle F\end{aligned}

השורה החסרה

∠A, AC, ∠C\angle A ,\ AC ,\ \angle C

ז.צ.ז

המסקנה נכונה, אבל הנימוק חסר: ACAC אינה בין ∠A\angle A ל-∠B\angle B. צריך שורה נוספת — ∠C=∠F\angle C = \angle F מסכום הזוויות — ורק אז ACAC נמצאת בין ∠A\angle A ל-∠C\angle C.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCDEF
∠A=∠D=40∘\angle A = \angle D = 40^\circ, ∠B=∠E=80∘\angle B = \angle E = 80^\circ, AB=DE=5AB = DE = 5 ס״מ.

ב-△ABC\triangle ABC וב-△DEF\triangle DEF: ∠A=∠D=40∘\angle A = \angle D = 40^\circ, ∠B=∠E=80∘\angle B = \angle E = 80^\circ, AB=DE=5AB = DE = 5 ס״מ. איזו כתיבה נכונה?

  1. המשולשים אינם חופפים
  2. △ABC≅△EDF\triangle ABC \cong \triangle EDF לפי ז.צ.ז
  3. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF לפי ז.צ.ז
  4. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF לפי צ.ז.צ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF לפי ז.צ.ז

הפתרון:

∠A, AB, ∠B\angle A ,\ AB ,\ \angle B

זווית, צלע, זווית

הצלע ABAB בין ∠A\angle A ל-∠B\angle B, ו-DEDE בין ∠D\angle D ל-∠E\angle E. ההתאמה: A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ב-△ABC\triangle ABC: ∠A=45∘\angle A = 45^\circ, ∠C=75∘\angle C = 75^\circ. נתון △ABC≅△KLM\triangle ABC \cong \triangle KLM. מה גודל ∠L\angle L (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

∠B=180∘−45∘−75∘=60∘\begin{aligned}\angle B &= 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות

∠L=∠B=60∘\begin{aligned}\angle L &= \angle B \\ &= 60^\circ\end{aligned}

השנייה מול השנייה

שני צעדים: ∠B\angle B מסכום הזוויות, ואחר כך ההתאמה — LL היא האות השנייה, כמו BB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת