תרגול: חפיפת משולשים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כאן מתרגלים את כל הפרק: לזהות משפט לפי הסימנים, לכתוב את החפיפה בסדר הנכון, לחשב — ובעיקר להוכיח. התרגילים מסודרים בסדרות, מהקל אל הקשה.

ארבעת המשפטים — בכרטיס אחד

צ.צ.צ\text{צ.צ.צ}

שלוש צלעות שוות בהתאמה

צ.ז.צ\text{צ.ז.צ}

שתי צלעות, והזווית הכלואה ביניהן

ז.צ.ז\text{ז.צ.ז}

שתי זוויות, והצלע שביניהן

צ.צ.ז\text{צ.צ.ז}

שתי צלעות, והזווית שמול הגדולה מביניהן

שני צירופים שנראים כמו משפט — ואינם.

צ.צ.ז — זווית מול הצלע הקטנה\text{צ.צ.ז — זווית מול הצלע הקטנה}
צ.צ.ז — זווית מול הצלע הגדולה\text{צ.צ.ז — זווית מול הצלע הגדולה}

כשהזווית נמצאת מול הצלע הקטנה מבין השתיים, יכולים להתאים לנתונים שני משולשים שונים.

ז.ז.ז — שלוש זוויות\text{ז.ז.ז — שלוש זוויות}
ז.צ.ז — שתי זוויות וצלע\text{ז.צ.ז — שתי זוויות וצלע}

זוויות קובעות רק צורה, לא גודל. צריך לפחות צלע אחת.

איך מוצאים את הדרך להוכחה

רוב ההוכחות בפרק נבנות מאותן אבנים. לפני שכותבים שורה אחת, מחפשים בשרטוט:

11

צלע משותפת או זווית משותפת לשני המשולשים.

22

זוויות קודקודיות — איפה ששני קטעים נחתכים.

33

זוויות מתחלפות — איפה שיש ישרים מקבילים.

44

מה שהנתונים «מתרגמים» לשוויון: אמצע נותן שני קטעים שווים, חוצה זווית נותן שתי זוויות שוות, מאונך נותן זוויות ישרות.

55

ואם המטרה היא צלע או זווית — מחפשים שני משולשים שכל אחד מכיל אחד מהם. מוכיחים שהם חופפים, ואז «צלעות מתאימות» או «זוויות מתאימות».

המטרה בתרגיל היא להוכיח AB=CDAB = CD. מה הצעד הראשון?

להציג את התשובה והפתרון

לחפש שני משולשים — אחד שהצלע ABAB היא צלע שלו, ואחד שהצלע CDCD היא צלע שלו — ולבדוק אם אפשר להוכיח שהם חופפים.

תרגילים

סדרה א — איזה משפט?

תרגיל 1

ABCDEF

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.ז.צ
  2. צ.צ.צ
  3. צ.צ.ז
  4. אין מספיק נתונים לחפיפה
  5. ז.צ.ז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב צ.צ.צ

הפתרון:

AB=DE BC=EF CA=FD\begin{aligned}AB &= DE \\ \ BC &= EF \\ \ CA &= FD\end{aligned}

שלוש צלעות — צ.צ.צ

שלושה זוגות של צלעות, אף זווית: צ.צ.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCPQR

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.צ.צ
  2. ז.צ.ז
  3. אין מספיק נתונים לחפיפה
  4. צ.ז.צ
  5. צ.צ.ז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד צ.ז.צ

הפתרון:

BC, ∠C, CABC ,\ \angle C ,\ CA

צלע, זווית כלואה, צלע

הצלעות המסומנות הן BCBC ו-CACA, והן נפגשות ב-CC. הזווית המסומנת היא ∠C\angle C — כלואה ביניהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCKLM

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.צ.ז
  2. צ.ז.צ
  3. אין מספיק נתונים לחפיפה
  4. ז.צ.ז
  5. צ.צ.צ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ז.צ.ז

הפתרון:

∠B, BC, ∠C\angle B ,\ BC ,\ \angle C

זווית, צלע, זווית

הזוויות המסומנות הן ∠B\angle B ו-∠C\angle C, והצלע המסומנת היא BCBC — בדיוק ביניהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCDEF
AB=DE=5AB = DE = 5, BC=EF=7BC = EF = 7.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. אין מספיק נתונים לחפיפה
  2. צ.צ.ז
  3. צ.צ.צ
  4. ז.צ.ז
  5. צ.ז.צ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אין מספיק נתונים לחפיפה

הפתרון:

AB, BC  →  ∠BAB ,\ BC \;\to\; \angle B

הזווית הכלואה הייתה צריכה להיות ∠B\angle B

∠C מול AB=5<7\angle C \text{ מול } AB = 5 < 7

מול הצלע הקטנה — לא צ.צ.ז

הצלעות המסומנות הן ABAB ו-BCBC, והן נפגשות ב-BB. הזווית המסומנת היא ∠C\angle C — לא כלואה, ולכן אין צ.ז.צ. והיא מול AB=5AB = 5, הצלע הקטנה מבין השתיים, ולכן גם צ.צ.ז אינו חל: ייתכנו שני משולשים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCDEF

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.ז.צ
  2. אין מספיק נתונים לחפיפה
  3. צ.צ.ז
  4. צ.צ.צ
  5. ז.צ.ז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אין מספיק נתונים לחפיפה

הפתרון:

∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ \angle C &= \angle F\end{aligned}

אין אף צלע — אין חפיפה

שלוש זוויות שוות ואף צלע: הצורה זהה, אבל הגודל לא נקבע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCDEF

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.ז.צ
  2. צ.צ.צ
  3. אין מספיק נתונים לחפיפה
  4. צ.צ.ז
  5. ז.צ.ז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ה ז.צ.ז

הפתרון:

∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B

הזווית השלישית שווה

∠B, BC, ∠C\angle B ,\ BC ,\ \angle C

ז.צ.ז

הצלע המסומנת BCBC אינה בין ∠A\angle A ל-∠B\angle B. אבל שתי זוויות שוות גוררות שגם ∠C=∠F\angle C = \angle F — ועכשיו BCBC בין ∠B\angle B ל-∠C\angle C. לכן ז.צ.ז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCD
המשולשים ABCABC ו-ADCADC.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. ז.צ.ז
  2. צ.ז.צ
  3. צ.צ.ז
  4. אין מספיק נתונים לחפיפה
  5. צ.צ.צ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ה צ.צ.צ

הפתרון:

AB=AD BC=DC AC=AC\begin{aligned}AB &= AD \\ \ BC &= DC \\ \ AC &= AC\end{aligned}

שלוש צלעות

מסומנים שני זוגות של צלעות, והזוג השלישי מגיע מהשרטוט: ACAC היא צלע משותפת. שלוש צלעות — צ.צ.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABOCD
המשולשים AOBAOB ו-CODCOD.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. אין מספיק נתונים לחפיפה
  2. צ.ז.צ
  3. צ.צ.צ
  4. צ.צ.ז
  5. ז.צ.ז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב צ.ז.צ

הפתרון:

AO=CO ∠AOB=∠COD BO=DO\begin{aligned}AO &= CO \\ \ \angle AOB &= \angle COD \\ \ BO &= DO\end{aligned}

צ.ז.צ

שני זוגות של צלעות מסומנים, והזווית מגיעה מהשרטוט: ∠AOB=∠COD\angle AOB = \angle COD קודקודיות. היא כלואה בין הצלעות המסומנות — צ.ז.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABODC
המשולשים ABOABO ו-DCODCO. AB∥CDAB \parallel CD.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.ז.צ
  2. צ.צ.ז
  3. אין מספיק נתונים לחפיפה
  4. צ.צ.צ
  5. ז.צ.ז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ה ז.צ.ז

הפתרון:

∠BAO, AO, ∠AOB\angle BAO ,\ AO ,\ \angle AOB

זווית, צלע, זווית

צלע אחת מסומנת. שתי הזוויות מגיעות מהשרטוט: ∠BAO=∠CDO\angle BAO = \angle CDO מתחלפות, ו-∠AOB=∠DOC\angle AOB = \angle DOC קודקודיות. הצלע AOAO נמצאת ביניהן — ז.צ.ז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCDEF

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.צ.צ
  2. אין מספיק נתונים לחפיפה
  3. צ.צ.ז
  4. צ.ז.צ
  5. ז.צ.ז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אין מספיק נתונים לחפיפה

הפתרון:

AB=DE CA=FD\begin{aligned}AB &= DE \\ \ CA &= FD\end{aligned}

שתי צלעות בלבד — אין מספיק נתונים

רק שני זוגות של צלעות, בלי זווית ובלי צלע שלישית. אפשר לפתוח את הזווית ב-AA יותר או פחות — ולקבל משולשים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCDEF
AB=DE=5AB = DE = 5, BC=EF=7BC = EF = 7.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.צ.צ
  2. ז.צ.ז
  3. צ.צ.ז
  4. אין מספיק נתונים לחפיפה
  5. צ.ז.צ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג צ.צ.ז

הפתרון:

∠A מול BC=7>5\angle A \text{ מול } BC = 7 > 5

מול הצלע הגדולה

צ.צ.ז\text{צ.צ.ז}

הזווית המסומנת, ∠A\angle A, אינה כלואה בין ABAB ל-BCBC — אבל היא מול BC=7BC = 7, הצלע הגדולה מבין השתיים. זה משפט חפיפה צ.צ.ז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — סדר הכתיבה

תרגיל 12

ABCTRS
הקשתות מראות אילו זוויות מתאימות.

המשולשים בשרטוט חופפים. איזו כתיבה נכונה?

  1. △ABC≅△TRS\triangle ABC \cong \triangle TRS
  2. △ABC≅△STR\triangle ABC \cong \triangle STR
  3. △ABC≅△TSR\triangle ABC \cong \triangle TSR
  4. △ABC≅△RST\triangle ABC \cong \triangle RST
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א △ABC≅△TRS\triangle ABC \cong \triangle TRS

הפתרון:

A↔T, B↔R, C↔SA \leftrightarrow T ,\ B \leftrightarrow R ,\ C \leftrightarrow S

לפי הקשתות: קשת אחת ב-AA וב-TT, שתיים ב-BB וב-RR, שלוש ב-CC וב-SS.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

ABCNLM
הקווים מראים אילו צלעות מתאימות. המשולש השני הפוך.

המשולשים בשרטוט חופפים. איזו כתיבה נכונה?

  1. △BCA≅△MNL\triangle BCA \cong \triangle MNL
  2. △BCA≅△NLM\triangle BCA \cong \triangle NLM
  3. △BCA≅△LMN\triangle BCA \cong \triangle LMN
  4. △BCA≅△LNM\triangle BCA \cong \triangle LNM
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג △BCA≅△LMN\triangle BCA \cong \triangle LMN

הפתרון:

B↔L, C↔M, A↔NB \leftrightarrow L ,\ C \leftrightarrow M ,\ A \leftrightarrow N

שימו לב: השם הראשון מתחיל ב-BB. מוצאים את בן־הזוג של BB (בין קו אחד לשני קווים) — זה LL. אחר כך של CC — MM, ושל AA — NN.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

נתון △MNP≅△RST\triangle MNP \cong \triangle RST. איזו טענה נכונה?

  1. MN=STMN = ST
  2. NP=STNP = ST
  3. ∠N=∠T\angle N = \angle T
  4. MP=RSMP = RS
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב NP=STNP = ST

הפתרון:

N↔S, P↔TN \leftrightarrow S ,\ P \leftrightarrow T
NP=STNP = ST

NPNP מחברת את הקודקוד השני לשלישי, וכך גם STST.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתון △ABC≅△FED\triangle ABC \cong \triangle FED, ו-AB=9AB = 9, BC=12BC = 12, AC=10AC = 10 ס״מ. מה אורך EFEF (בס״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

F↔A, E↔B, D↔CF \leftrightarrow A ,\ E \leftrightarrow B ,\ D \leftrightarrow C
EF=BA=9\begin{aligned}EF &= BA \\ &= 9\end{aligned}

לפי המיקום: F↔AF \leftrightarrow A ו-E↔BE \leftrightarrow B. לכן EFEF מתאימה ל-BABA.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

נתון △ABC≅△XYZ\triangle ABC \cong \triangle XYZ. איזו כתיבה אומרת בדיוק אותו דבר?

  1. △BCA≅△ZXY\triangle BCA \cong \triangle ZXY
  2. △ACB≅△XYZ\triangle ACB \cong \triangle XYZ
  3. △CAB≅△ZXY\triangle CAB \cong \triangle ZXY
  4. △CAB≅△XYZ\triangle CAB \cong \triangle XYZ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג △CAB≅△ZXY\triangle CAB \cong \triangle ZXY

הפתרון:

C↔Z, A↔X, B↔YC \leftrightarrow Z ,\ A \leftrightarrow X ,\ B \leftrightarrow Y

בכתיבה △CAB≅△ZXY\triangle CAB \cong \triangle ZXY עדיין C↔ZC \leftrightarrow Z, A↔XA \leftrightarrow X, B↔YB \leftrightarrow Y — אותה התאמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ABCD

בדלתון שבשרטוט AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. השלימו: △ABC≅△ ?\triangle ABC \cong \triangle \ ?

  1. △DAC\triangle DAC
  2. △ADC\triangle ADC
  3. △CDA\triangle CDA
  4. △ACD\triangle ACD
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב △ADC\triangle ADC

הפתרון:

A↔A, B↔D, C↔CA \leftrightarrow A ,\ B \leftrightarrow D ,\ C \leftrightarrow C

AA מול AA ו-CC מול CC — הם משותפים. ו-BB מול DD, כי AB=ADAB = AD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — נכון או לא נכון

תרגיל 18

במשפט צ.ז.צ, הזווית חייבת להיות בין שתי הצלעות השוות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

צלע, ∠, צלע\text{צלע} ,\ \angle ,\ \text{צלע}

הזווית באמצע, בין שתי הצלעות

זו בדיוק המשמעות של «כלואה». זווית אחרת אינה מספיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

שני משולשים ישרי זווית עם יתר שווה — חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

32+42=253^2 + 4^2 = 25
12.5+12.5=2512.5 + 12.5 = 25

אותו יתר, ניצבים אחרים

יתר אחד וזווית ישרה אינם מספיקים: משולש עם ניצבים 3 ו-4 ומשולש עם ניצבים 12.5\sqrt{12.5} ו-12.5\sqrt{12.5} — לשניהם יתר 5, והם שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

שני משולשים שווי צלעות, שבשניהם הצלע היא 4 ס״מ, חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

4=4=4\begin{aligned}4 &= 4 \\ &= 4\end{aligned}

שלוש צלעות שוות — צ.צ.צ

שלוש הצלעות שוות — כולן 4 ס״מ. זה צ.צ.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

אם △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF וגם △DEF≅△KLM\triangle DEF \cong \triangle KLM, אז △ABC≅△KLM\triangle ABC \cong \triangle KLM.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

AB=DE=KL\begin{aligned}AB &= DE \\ &= KL\end{aligned}

וכך כל צלע וכל זווית

△ABC≅△KLM\triangle ABC \cong \triangle KLM

כל צלע של ABCABC שווה לצלע המתאימה ב-DEFDEF, וזו שווה לצלע המתאימה ב-KLMKLM. כך גם הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

אם בשני משולשים שתי צלעות שוות בהתאמה וגם זווית אחת שווה, המשולשים חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

AB=DE BC=EF ∠A=∠D\begin{aligned}AB &= DE \\ \ BC &= EF \\ \ \angle A &= \angle D\end{aligned}

זווית שאינה כלואה — מספיקה רק אם היא מול הצלע הגדולה

רק אם הזווית כלואה בין שתי הצלעות (צ.ז.צ), או אם היא מול הצלע הגדולה מביניהן (צ.צ.ז). כשהיא מול הצלע הקטנה, ייתכנו שני משולשים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

שני משולשים ישרי זווית, שבהם שני הניצבים שווים בהתאמה, חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

ניצב, 90∘, ניצב\text{ניצב} ,\ 90^\circ ,\ \text{ניצב}

צ.ז.צ

הזווית הישרה נמצאת בדיוק בין שני הניצבים — היא כלואה. זה צ.ז.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ד — חישובים

תרגיל 24

ABCD
AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD, ∠BAC=32∘\angle BAC = 32^\circ.

בדלתון ABCDABCD: AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD, ו-∠BAC=32∘\angle BAC = 32^\circ. מה גודל ∠BAD\angle BAD (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

∠DAC=∠BAC=32∘\begin{aligned}\angle DAC &= \angle BAC \\ &= 32^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות

∠BAD=32∘+32∘=64∘\begin{aligned}\angle BAD &= 32^\circ + 32^\circ \\ &= 64^\circ\end{aligned}

מהחפיפה △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC (צ.צ.צ): ∠DAC=∠BAC\angle DAC = \angle BAC. הזווית BADBAD היא הסכום של שתיהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

ABOCD

הקטעים ACAC ו-BDBD נחתכים ב-OO, ו-OO אמצע שניהם. נתון AO=4AO = 4, BO=3BO = 3, AB=5AB = 5 ס״מ. מה היקף המשולש CODCOD (בס״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

CO=AO=4 DO=BO=3 CD=AB=5\begin{aligned}CO &= AO \\ &= 4 \\ \ DO &= BO \\ &= 3 \\ \ CD &= AB \\ &= 5\end{aligned}

צלעות מתאימות

4+3+5=124 + 3 + 5 = 12

△AOB≅△COD\triangle AOB \cong \triangle COD לפי צ.ז.צ, ולכן ההיקפים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

ABCD

במשולש ABCABC: AB=ACAB = AC, והנקודה DD היא אמצע BCBC. נתון ∠BAC=50∘\angle BAC = 50^\circ. מה גודל ∠BAD\angle BAD (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD

זוויות מתאימות

∠BAD=50∘:2=25∘\begin{aligned}\angle BAD &= 50^\circ : 2 \\ &= 25^\circ\end{aligned}

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD לפי צ.צ.צ, ולכן ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

ABMP

הקטע PMPM מאונך ל-ABAB ועובר באמצע שלו, MM. נתון PA=6.5PA = 6.5 ס״מ ו-AB=5AB = 5 ס״מ. מה היקף המשולש PABPAB (בס״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

PB=PA=6.5\begin{aligned}PB &= PA \\ &= 6.5\end{aligned}

צלעות מתאימות

6.5+6.5+5=186.5 + 6.5 + 5 = 18

△PMA≅△PMB\triangle PMA \cong \triangle PMB לפי צ.ז.צ, ולכן PB=PAPB = PA.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

ABCD

במרובע ABCDABCD: AB∥DCAB \parallel DC ו-AD∥BCAD \parallel BC. נתון AB=7AB = 7 ס״מ ו-BC=4BC = 4 ס״מ. מה היקף המרובע (בס״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22

הפתרון:

CD=7 DA=4\begin{aligned}CD &= 7 \\ \ DA &= 4\end{aligned}

צלעות מתאימות

7+4+7+4=227 + 4 + 7 + 4 = 22

האלכסון ACAC יוצר △ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA לפי ז.צ.ז (שני זוגות של זוויות מתחלפות). לכן CD=ABCD = AB ו-DA=BCDA = BC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

ABCD
∠BAC=∠DAC=40∘\angle BAC = \angle DAC = 40^\circ.

בשרטוט: AB=ADAB = AD ו-∠BAC=∠DAC=40∘\angle BAC = \angle DAC = 40^\circ. נתון ∠ABC=70∘\angle ABC = 70^\circ. מה גודל ∠BCD\angle BCD (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 140

הפתרון:

∠ACB=180∘−40∘−70∘=70∘\begin{aligned}\angle ACB &= 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות

∠ACD=∠ACB=70∘\begin{aligned}\angle ACD &= \angle ACB \\ &= 70^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות

∠BCD=70∘+70∘=140∘\begin{aligned}\angle BCD &= 70^\circ + 70^\circ \\ &= 140^\circ\end{aligned}

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC לפי צ.ז.צ (ACAC משותפת). לכן ∠ACD=∠ACB\angle ACD = \angle ACB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

ABCDEF
AE=BFAE = BF, ∠ADE=25∘\angle ADE = 25^\circ.

בריבוע ABCDABCD, הנקודה EE על ABAB והנקודה FF על BCBC, ו-AE=BFAE = BF. נתון ∠ADE=25∘\angle ADE = 25^\circ. מה גודל ∠BAF\angle BAF (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

∠BAF=∠ADE=25∘\begin{aligned}\angle BAF &= \angle ADE \\ &= 25^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות

△DAE≅△ABF\triangle DAE \cong \triangle ABF לפי צ.ז.צ. ההתאמה: D↔AD \leftrightarrow A, A↔BA \leftrightarrow B, E↔FE \leftrightarrow F — ולכן ∠ADE\angle ADE מתאימה ל-∠BAF\angle BAF.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 31

ABCD

במשולש ABCABC, הקטע ADAD חוצה את ∠A\angle A ומאונך ל-BCBC. נתון ∠B=62∘\angle B = 62^\circ. מה גודל ∠C\angle C (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 62

הפתרון:

∠C=∠B=62∘\begin{aligned}\angle C &= \angle B \\ &= 62^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD לפי ז.צ.ז, ולכן ∠C\angle C מתאימה ל-∠B\angle B.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

ABCDEF

הנקודות AA, BB, CC, DD על ישר אחד, ו-AB=CD=3AB = CD = 3, BC=4BC = 4 ס״מ. נתון AE=DF=5AE = DF = 5 ו-CE=BF=6CE = BF = 6 ס״מ. מה היקף המשולש DFBDFB (בס״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

DB=3+4=7\begin{aligned}DB &= 3 + 4 \\ &= 7\end{aligned}
5+6+7=185 + 6 + 7 = 18

היקף DFBDFB

קודם DB=DC+CB=7DB = DC + CB = 7, ואז פשוט מחברים. (המשולשים AECAEC ו-DFBDFB חופפים לפי צ.צ.צ — ולכן גם AC=7AC = 7.)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

ABCD

הנקודות CC ו-DD משני צדי ABAB. נתון ∠CAB=∠DAB=30∘\angle CAB = \angle DAB = 30^\circ ו-∠CBA=∠DBA=45∘\angle CBA = \angle DBA = 45^\circ. מה גודל ∠CAD\angle CAD (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

∠CAD=30∘+30∘=60∘\begin{aligned}\angle CAD &= 30^\circ + 30^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית CADCAD מורכבת משתי הזוויות שב-AA, משני צדי ABAB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ה — הוכחות

תרגיל 34

PAQB

הנקודות PP ו-QQ משני צדי הקטע ABAB. נתון PA=PBPA = PB ו-QA=QBQA = QB. הוכיחו: ∠APQ=∠BPQ\angle APQ = \angle BPQ.

  • PA=PBPA = PB
  • QA=QBQA = QB

∠APQ=∠BPQ\angle APQ = \angle BPQ

להציג את התשובה והפתרון
  1. PA=PBPA = PB — נתון
  2. QA=QBQA = QB — נתון
  3. PQ=PQPQ = PQ — צלע משותפת
  4. △PAQ≅△PBQ\triangle PAQ \cong \triangle PBQ — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠APQ=∠BPQ\angle APQ = \angle BPQ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

△PAQ≅△PBQ\triangle PAQ \cong \triangle PBQ

צ.צ.צ

∠APQ=∠BPQ\angle APQ = \angle BPQ

זוויות מתאימות

הזוויות אינן בנתונים — מגיעים אליהן דרך חפיפה עם הצלע המשותפת PQPQ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 35

ABCD

במעוין ABCDABCD כל הצלעות שוות. הוכיחו: ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC.

  • AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. CB=CDCB = CD — נתון
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.צ.צ

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

זוויות מתאימות

המסקנה: במעוין, האלכסון חוצה את הזוויות שבקצותיו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 36

BECFAD

הנקודות BB, EE, CC, FF על ישר אחד, בסדר הזה. נתון: BE=CFBE = CF, AB=DEAB = DE ו-AC=DFAC = DF. הוכיחו: ∠A=∠D\angle A = \angle D.

  • BE=CFBE = CF
  • AB=DEAB = DE
  • AC=DFAC = DF

∠A=∠D\angle A = \angle D

להציג את התשובה והפתרון
  1. BE=CFBE = CF — נתון
  2. BC=EFBC = EF — הוספנו לשני קטעים שווים את אותו קטע
  3. AB=DEAB = DE — נתון
  4. AC=DFAC = DF — נתון
  5. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF — משפט חפיפה צ.צ.צ
  6. ∠A=∠D\angle A = \angle D — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

BC=BE+EC=CF+EC=EF\begin{aligned}BC &= BE + EC \\ &= CF + EC \\ &= EF\end{aligned}
△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF

צ.צ.צ

∠A=∠D\angle A = \angle D

זוויות מתאימות

הצלע השלישית מתקבלת בחיבור: לקטעים השווים BEBE ו-CFCF מוסיפים את ECEC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 37

ABCD

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, והקטע ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC (הנקודה DD על BCBC). הוכיחו: BD=CDBD = CD.

  • AB=ACAB = AC
  • ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC

BD=CDBD = CD

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC — נתון
  3. ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  4. AD=ADAD = AD — צלע משותפת
  5. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. BD=CDBD = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD\begin{aligned}AB &= AC \\ \ \angle BAD &= \angle CAD \\ \ AD &= AD\end{aligned}

צ.ז.צ

BD=CDBD = CD

צלעות מתאימות

המסקנה: במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש הוא גם תיכון — הוא מגיע לאמצע הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 38

ABMCD

הקטעים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה MM. נתון AM=MBAM = MB ו-CM=MDCM = MD. הוכיחו: ∠CAM=∠DBM\angle CAM = \angle DBM.

  • AM=MBAM = MB
  • CM=MDCM = MD

∠CAM=∠DBM\angle CAM = \angle DBM

להציג את התשובה והפתרון
  1. AM=BMAM = BM — נתון
  2. ∠AMC=∠BMD\angle AMC = \angle BMD — זוויות קודקודיות שוות
  3. CM=DMCM = DM — נתון
  4. △AMC≅△BMD\triangle AMC \cong \triangle BMD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. ∠CAM=∠DBM\angle CAM = \angle DBM — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

△AMC≅△BMD\triangle AMC \cong \triangle BMD

צ.ז.צ

∠CAM=∠DBM\angle CAM = \angle DBM

זוויות מתאימות

הזווית ב-MM מגיעה מהחיתוך: זוויות קודקודיות. היא כלואה בין AMAM ל-CMCM, ובין BMBM ל-DMDM.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 39

ABDCE

נתון: AB=ADAB = AD, AC=AEAC = AE ו-∠BAD=∠CAE\angle BAD = \angle CAE (ראו שרטוט). הוכיחו: BC=DEBC = DE.

  • AB=ADAB = AD
  • AC=AEAC = AE
  • ∠BAD=∠CAE\angle BAD = \angle CAE

BC=DEBC = DE

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠BAD=∠CAE\angle BAD = \angle CAE — נתון
  2. ∠BAC=∠DAE\angle BAC = \angle DAE — הוספנו לשתי זוויות שוות את אותה זווית
  3. AB=ADAB = AD — נתון
  4. AC=AEAC = AE — נתון
  5. △BAC≅△DAE\triangle BAC \cong \triangle DAE — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. BC=DEBC = DE — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=∠DAE\begin{aligned}\angle BAC &= \angle BAD + \angle DAC \\ &= \angle CAE + \angle DAC \\ &= \angle DAE\end{aligned}
△BAC≅△DAE\triangle BAC \cong \triangle DAE

צ.ז.צ

BC=DEBC = DE

צלעות מתאימות

הזווית הכלואה אינה נתונה. מקבלים אותה בחיבור: לזוויות השוות ∠BAD\angle BAD ו-∠CAE\angle CAE מוסיפים את ∠DAC\angle DAC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 40

ABCDM

נתון מלבן ABCDABCD, והנקודה MM היא אמצע ABAB. הוכיחו: MD=MCMD = MC.

  • ABCDABCD מלבן
  • MM אמצע ABAB

MD=MCMD = MC

להציג את התשובה והפתרון
  1. MM אמצע ABAB — נתון
  2. AM=BMAM = BM — אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים
  3. ∠A=∠B=90∘\angle A = \angle B = 90^\circ — במלבן כל הזוויות ישרות
  4. AD=BCAD = BC — במלבן הצלעות הנגדיות שוות
  5. △AMD≅△BMC\triangle AMD \cong \triangle BMC — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. MD=MCMD = MC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

AM=BM ∠A=∠B AD=BC\begin{aligned}AM &= BM \\ \ \angle A &= \angle B \\ \ AD &= BC\end{aligned}

צ.ז.צ

MD=MCMD = MC

צלעות מתאימות

המלבן נותן זוויות ישרות וצלעות נגדיות שוות, והאמצע נותן את הצלע השלישית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 41

ABCDO

האלכסונים של המרובע ABCDABCD נחתכים ב-OO, ו-OO אמצע של שניהם. הוכיחו: AD∥BCAD \parallel BC.

  • AO=OCAO = OC
  • BO=ODBO = OD

AD∥BCAD \parallel BC

להציג את התשובה והפתרון
  1. AO=COAO = CO — נתון
  2. ∠AOD=∠COB\angle AOD = \angle COB — זוויות קודקודיות שוות
  3. DO=BODO = BO — נתון
  4. △AOD≅△COB\triangle AOD \cong \triangle COB — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. ∠OAD=∠OCB\angle OAD = \angle OCB — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  6. AD∥BCAD \parallel BC — אם זוויות מתחלפות שוות, הישרים מקבילים

הפתרון:

△AOD≅△COB\triangle AOD \cong \triangle COB

צ.ז.צ

∠OAD=∠OCB\angle OAD = \angle OCB

זוויות מתאימות

AD∥BCAD \parallel BC

זוויות מתחלפות שוות

כאן החפיפה היא רק כלי: היא נותנת זוויות מתחלפות שוות, ומהן — מקבילות. שימו לב להבדל בין «מקבילים ⇐ זוויות מתחלפות שוות» לבין הכיוון ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 42

ABOCD

נתון AB∥CDAB \parallel CD. הקטעים ADAD ו-BCBC נחתכים ב-OO, ו-OO היא אמצע BCBC. הוכיחו: AO=DOAO = DO.

  • AB∥CDAB \parallel CD
  • OO אמצע BCBC

AO=DOAO = DO

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB∥CDAB \parallel CD — נתון
  2. ∠ABO=∠DCO\angle ABO = \angle DCO — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
  3. OO אמצע BCBC — נתון
  4. BO=COBO = CO — אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים
  5. ∠AOB=∠DOC\angle AOB = \angle DOC — זוויות קודקודיות שוות
  6. △ABO≅△DCO\triangle ABO \cong \triangle DCO — משפט חפיפה ז.צ.ז
  7. AO=DOAO = DO — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

∠ABO, BO, ∠AOB\angle ABO ,\ BO ,\ \angle AOB

ז.צ.ז

AO=DOAO = DO

צלעות מתאימות

זווית מהמקבילים, צלע מהאמצע, וזווית מהחיתוך — והצלע BOBO נמצאת בין שתי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 43

ABCD

במרובע ABCDABCD, האלכסון ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD וגם את ∠BCD\angle BCD. הוכיחו: AB=ADAB = AD.

  • ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD
  • ACAC חוצה את ∠BCD\angle BCD

AB=ADAB = AD

להציג את התשובה והפתרון
  1. ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD — נתון
  2. ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת
  4. ACAC חוצה את ∠BCD\angle BCD — נתון
  5. ∠BCA=∠DCA\angle BCA = \angle DCA — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  6. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה ז.צ.ז
  7. AB=ADAB = AD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

∠BAC, AC, ∠BCA\angle BAC ,\ AC ,\ \angle BCA

ז.צ.ז

AB=ADAB = AD

צלעות מתאימות

שני חוצי זווית נותנים שתי זוויות, והצלע המשותפת ACAC נמצאת ביניהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 44

BCMAD

נתון AB⊥BCAB \perp BC ו-DC⊥BCDC \perp BC. הנקודה MM היא אמצע BCBC, ו-∠AMB=∠DMC\angle AMB = \angle DMC. הוכיחו: AM=DMAM = DM.

  • AB⊥BCAB \perp BC
  • DC⊥BCDC \perp BC
  • MM אמצע BCBC
  • ∠AMB=∠DMC\angle AMB = \angle DMC

AM=DMAM = DM

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB⊥BCAB \perp BC — נתון
  2. DC⊥BCDC \perp BC — נתון
  3. ∠ABM=∠DCM=90∘\angle ABM = \angle DCM = 90^\circ — ישרים מאונכים יוצרים זוויות ישרות
  4. MM אמצע BCBC — נתון
  5. BM=CMBM = CM — אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים
  6. ∠AMB=∠DMC\angle AMB = \angle DMC — נתון
  7. △ABM≅△DCM\triangle ABM \cong \triangle DCM — משפט חפיפה ז.צ.ז
  8. AM=DMAM = DM — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

∠B, BM, ∠BMA\angle B ,\ BM ,\ \angle BMA

ז.צ.ז

AM=DMAM = DM

צלעות מתאימות

הצלע BMBM נמצאת בין הזווית הישרה שב-BB לזווית שב-MM — ז.צ.ז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 45

BCAD

הנקודות AA ו-DD באותו צד של BCBC. נתון ∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB ו-∠ACB=∠DBC\angle ACB = \angle DBC. הוכיחו: AB=DCAB = DC.

  • ∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB
  • ∠ACB=∠DBC\angle ACB = \angle DBC

AB=DCAB = DC

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB — נתון
  2. BC=CBBC = CB — צלע משותפת
  3. ∠ACB=∠DBC\angle ACB = \angle DBC — נתון
  4. △ABC≅△DCB\triangle ABC \cong \triangle DCB — משפט חפיפה ז.צ.ז
  5. AB=DCAB = DC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

∠ABC, BC, ∠ACB\angle ABC ,\ BC ,\ \angle ACB

ז.צ.ז

△ABC≅△DCB\triangle ABC \cong \triangle DCB
AB=DCAB = DC

צלעות מתאימות

שני המשולשים חולקים את BCBC, והזוויות הנתונות נמצאות בשני קצותיה. ההתאמה «מתהפכת»: B↔CB \leftrightarrow C.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 46

ABCDO

בדלתון ABCDABCD נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. האלכסונים נחתכים ב-OO. הוכיחו: BO=DOBO = DO. (רמז: צריך שתי חפיפות.)

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD

BO=DOBO = DO

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. CB=CDCB = CD — נתון
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠BAO=∠DAO\angle BAO = \angle DAO — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  6. AO=AOAO = AO — צלע משותפת
  7. △ABO≅△ADO\triangle ABO \cong \triangle ADO — משפט חפיפה צ.ז.צ
  8. BO=DOBO = DO — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.צ.צ

∠BAO=∠DAO\angle BAO = \angle DAO

זוויות מתאימות

△ABO≅△ADO\triangle ABO \cong \triangle ADO

צ.ז.צ

BO=DOBO = DO

צלעות מתאימות

החפיפה הראשונה (הגדולה) לא נותנת את BOBO — אבל היא נותנת זווית. עם הזווית הזאת עוברים לחפיפה שנייה, קטנה, שבה BOBO ו-DODO הן צלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 47

ABCDE

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC. הנקודה DD היא אמצע BCBC, והנקודה EE על הקטע ADAD. הוכיחו: EB=ECEB = EC. (רמז: צריך שתי חפיפות.)

  • AB=ACAB = AC
  • DD אמצע BCBC
  • EE על ADAD

EB=ECEB = EC

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. DD אמצע BCBC — נתון
  3. BD=CDBD = CD — אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים
  4. AD=ADAD = AD — צלע משותפת
  5. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.צ.צ
  6. ∠BAE=∠CAE\angle BAE = \angle CAE — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  7. AE=AEAE = AE — צלע משותפת
  8. △ABE≅△ACE\triangle ABE \cong \triangle ACE — משפט חפיפה צ.ז.צ
  9. EB=ECEB = EC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

צ.צ.צ

∠BAE=∠CAE\angle BAE = \angle CAE
△ABE≅△ACE\triangle ABE \cong \triangle ACE

צ.ז.צ

EB=ECEB = EC

מהחפיפה הראשונה «קוצרים» את הזווית ב-AA, ואיתה עוברים למשולשים הקטנים ABEABE ו-ACEACE.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 48

ABCDEF
AC=BDAC = BD (הקטעים הארוכים).

הנקודות AA, BB, CC, DD על ישר אחד, בסדר הזה. נתון AC=BDAC = BD, AE=DFAE = DF ו-∠EAB=∠FDC\angle EAB = \angle FDC. הוכיחו: BE=CFBE = CF.

  • AC=BDAC = BD
  • AE=DFAE = DF
  • ∠EAB=∠FDC\angle EAB = \angle FDC

BE=CFBE = CF

להציג את התשובה והפתרון
  1. AC=BDAC = BD — נתון
  2. AB=DCAB = DC — החסרנו משני קטעים שווים את אותו קטע
  3. ∠EAB=∠FDC\angle EAB = \angle FDC — נתון
  4. AE=DFAE = DF — נתון
  5. △ABE≅△DCF\triangle ABE \cong \triangle DCF — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. BE=CFBE = CF — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

AB=AC−BC=BD−BC=DC\begin{aligned}AB &= AC - BC \\ &= BD - BC \\ &= DC\end{aligned}
△ABE≅△DCF\triangle ABE \cong \triangle DCF

צ.ז.צ

BE=CFBE = CF

צלעות מתאימות

כאן מחסירים: מהקטעים השווים ACAC ו-BDBD מורידים את הקטע המשותף BCBC, ונשארים ABAB ו-DCDC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 49

BCAD

נתון AB=DCAB = DC ו-AC=DBAC = DB (ראו שרטוט). הוכיחו: ∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB.

  • AB=DCAB = DC
  • AC=DBAC = DB

∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=DCAB = DC — נתון
  2. AC=DBAC = DB — נתון
  3. BC=CBBC = CB — צלע משותפת
  4. △ABC≅△DCB\triangle ABC \cong \triangle DCB — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

△ABC≅△DCB\triangle ABC \cong \triangle DCB

צ.צ.צ

∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB

זוויות מתאימות

שני המשולשים חולקים את הבסיס BCBC. זו הדרך להוכיח שבטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 50

BDMAC

הקטעים ABAB ו-CDCD מאונכים ל-BDBD, ו-AB=CDAB = CD. הנקודה MM היא אמצע BDBD. הוכיחו: MA=MCMA = MC.

  • AB⊥BDAB \perp BD
  • CD⊥BDCD \perp BD
  • AB=CDAB = CD
  • MM אמצע BDBD

MA=MCMA = MC

להציג את התשובה והפתרון
  1. MM אמצע BDBD — נתון
  2. BM=DMBM = DM — אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים
  3. AB⊥BDAB \perp BD — נתון
  4. CD⊥BDCD \perp BD — נתון
  5. ∠ABM=∠CDM=90∘\angle ABM = \angle CDM = 90^\circ — ישרים מאונכים יוצרים זוויות ישרות
  6. AB=CDAB = CD — נתון
  7. △ABM≅△CDM\triangle ABM \cong \triangle CDM — משפט חפיפה צ.ז.צ
  8. MA=MCMA = MC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

AB, ∠B, BMAB ,\ \angle B ,\ BM

צ.ז.צ

MA=MCMA = MC

צלעות מתאימות

הזווית הישרה ב-BB כלואה בין ABAB ל-BMBM, וזו שב-DD — בין CDCD ל-DMDM.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 51

ABCDE

במשולש ABCABC, הקטע ADAD הוא תיכון לצלע BCBC. מאריכים את ADAD מעבר ל-DD עד הנקודה EE, כך ש-DE=ADDE = AD. הוכיחו: BE=ACBE = AC.

  • ADAD תיכון לצלע BCBC
  • DE=ADDE = AD

BE=ACBE = AC

להציג את התשובה והפתרון
  1. ADAD תיכון לצלע BCBC — נתון
  2. BD=CDBD = CD — תיכון מגיע לאמצע הצלע שמולו
  3. ∠BDE=∠CDA\angle BDE = \angle CDA — זוויות קודקודיות שוות
  4. DE=DADE = DA — נתון
  5. △BDE≅△CDA\triangle BDE \cong \triangle CDA — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. BE=ACBE = AC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

BD=CD ∠BDE=∠CDA DE=DA\begin{aligned}BD &= CD \\ \ \angle BDE &= \angle CDA \\ \ DE &= DA\end{aligned}

צ.ז.צ

BE=ACBE = AC

צלעות מתאימות

זה תרגיל מוכר מאוד — «הכפלת התיכון». הקטע AEAE והצלע BCBC חוצים זה את זה ב-DD, בדיוק כמו בפרפר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ו — מצאו את הטעות

תרגיל 52

ABCD

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, ו-ADAD חוצה את ∠A\angle A. תלמיד כתב הוכחה. באיזו שורה הטעות?

AB=AC(נתון)AB = AC \quad (\text{נתון})
∠BAD=∠CAD(חוצה זווית)\angle BAD = \angle CAD \quad (\text{חוצה זווית})
AD=AD(צלע משותפת)AD = AD \quad (\text{צלע משותפת})
△ABD≅△ADC(צ.ז.צ)\triangle ABD \cong \triangle ADC \quad (\text{צ.ז.צ})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: △ABD≅△ADC(צ.ז.צ)\triangle ABD \cong \triangle ADC \quad (\text{צ.ז.צ}) → △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

הפתרון:

A↔A, B↔C, D↔DA \leftrightarrow A ,\ B \leftrightarrow C ,\ D \leftrightarrow D

המשפט נכון, אבל ההתאמה לא: BB מתאים ל-CC, ו-DD מתאים ל-DD. בכתיבה △ADC\triangle ADC האות DD עומדת מול BB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 53

ABOCD

הקטעים ACAC ו-BDBD נחתכים ב-OO, ו-OO אמצע שניהם. תלמיד כתב הוכחה. באיזו שורה הטעות?

AO=CO(נתון)AO = CO \quad (\text{נתון})
∠AOB=∠COD(זוויות מתחלפות)\angle AOB = \angle COD \quad (\text{זוויות מתחלפות})
BO=DO(נתון)BO = DO \quad (\text{נתון})
△AOB≅△COD(צ.ז.צ)\triangle AOB \cong \triangle COD \quad (\text{צ.ז.צ})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠AOB=∠COD(זוויות מתחלפות)\angle AOB = \angle COD \quad (\text{זוויות מתחלפות}) → ∠AOB=∠COD(זוויות קודקודיות)\angle AOB = \angle COD \quad (\text{זוויות קודקודיות})

הפתרון:

∠AOB=∠COD\angle AOB = \angle COD

זוויות קודקודיות, לא מתחלפות

השוויון נכון, אבל הנימוק לא: אין כאן ישרים מקבילים. הזוויות שוות כי הן קודקודיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 54

ABCD

בדלתון ABCDABCD נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. תלמיד כתב הוכחה. באיזו שורה הטעות?

AB=AD(נתון)AB = AD \quad (\text{נתון})
CB=CD(נתון)CB = CD \quad (\text{נתון})
AC=BD(צלע משותפת)AC = BD \quad (\text{צלע משותפת})
△ABC≅△ADC(צ.צ.צ)\triangle ABC \cong \triangle ADC \quad (\text{צ.צ.צ})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AC=BD(צלע משותפת)AC = BD \quad (\text{צלע משותפת}) → AC=AC(צלע משותפת)AC = AC \quad (\text{צלע משותפת})

הפתרון:

AC=ACAC = AC

הצלע המשותפת לשני המשולשים

הצלע המשותפת היא ACAC — היא שייכת לשני המשולשים. BDBD אינה צלע של אף אחד מהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 55

בשני משולשים נתון AB=DEAB = DE, ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E. תלמיד כתב הוכחה. באיזו שורה הטעות?

AB=DE(נתון)AB = DE \quad (\text{נתון})
∠A=∠D(נתון)\angle A = \angle D \quad (\text{נתון})
∠B=∠E(נתון)\angle B = \angle E \quad (\text{נתון})
△ABC≅△DEF(צ.ז.צ)\triangle ABC \cong \triangle DEF \quad (\text{צ.ז.צ})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: △ABC≅△DEF(צ.ז.צ)\triangle ABC \cong \triangle DEF \quad (\text{צ.ז.צ}) → △ABC≅△DEF(ז.צ.ז)\triangle ABC \cong \triangle DEF \quad (\text{ז.צ.ז})

הפתרון:

∠A, AB, ∠B\angle A ,\ AB ,\ \angle B

זווית, צלע, זווית — ז.צ.ז

החפיפה נכונה, אבל המשפט לא: נתונות שתי זוויות והצלע שביניהן — זה ז.צ.ז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת