שטח המעטפת · גליל — שטח מעטפת ושטח פנים · כיתה ח׳

פחית שתייה, צינור, גליל של נייר מגבת — כולם גלילים. לכל גליל יש שני בסיסים: שני עיגולים זהים ומקבילים, אחד למטה ואחד למעלה.

הרדיוס $r$ הוא הרדיוס של עיגול הבסיס. הגובה $h$ הוא המרחק בין שני הבסיסים. בין הבסיסים יש דופן מעוגלת — היא המעטפת.

מה זה שטח המעטפת?

שטח המעטפת הוא השטח של הדופן המעוגלת בלבד, בלי שני הבסיסים. זה בדיוק השטח של התווית שעוטפת פחית.

התווית של פחית שימורים — האם היא מכסה גם את המכסה העליון?

להציג את התשובה והפתרון

לא. התווית עוטפת רק את הדופן. המכסה והתחתית הם שני הבסיסים, והם לא חלק מהמעטפת.

פורשים את התווית

חותכים את התווית בקו ישר, מלמטה למעלה, ופורשים אותה על השולחן. מה יוצא?

יוצא מלבן. הצלע האחת שלו עטפה את עיגול הבסיס פעם אחת בדיוק — לכן אורכה הוא היקף העיגול, $2\pi r$ . הצלע השנייה היא גובה הגליל, $h$ .

S_{\text{מעטפת}} = 2\pi r \cdot h

היקף הבסיס כפול הגובה

גליל שרדיוסו 5 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מהו היקף הבסיס, ומהו שטח המעטפת? ( $\pi = 3.14$ )

להציג את התשובה והפתרון

היקף הבסיס: $2 \times 3.14 \times 5 = 31.4$ ס״מ. שטח המעטפת: $31.4 \times 10 = 314$ סמ״ר.

כמה פח צריך לצינור?

צינור גלילי פתוח משני צדדיו. אורכו 50 ס״מ ורדיוסו 4 ס״מ. כמה סמ״ר פח צריך כדי לבנות אותו? ( $\pi = 3.14$ )

\begin{aligned}2\pi r &= 2 \times 3.14 \times 4 \\ &= 25.12\end{aligned}

קודם היקף הבסיס

\begin{aligned}S_{\text{מעטפת}} &= 25.12 \times 50 \\ &= 1256\end{aligned}

כפול הגובה — כאן זה אורך הצינור

כשהשאלה נותנת קוטר $d$ , אפשר לחשב את ההיקף ישר: $2\pi r = \pi d$ . קוטר 10 ס״מ נותן היקף $3.14 \times 10 = 31.4$ ס״מ.

שתי טעויות שחוזרות בשטח המעטפת.

S = \pi r^2 h

S = 2\pi r h

$\pi r^2 h$ הוא הנפח של הגליל, לא שטח. בשטח המעטפת הרדיוס לא בריבוע: הוא נכנס דרך ההיקף.

2 \pi \cdot 8 \cdot h

2 \pi \cdot 4 \cdot h

כשנתון קוטר 8, הרדיוס הוא 4. מי שמציב את הקוטר בתוך $2\pi r$ מקבל מעטפת גדולה פי 2.

בכיוון ההפוך

לפעמים יודעים את שטח המעטפת ומחפשים את הגובה או את הרדיוס. משתמשים באותה נוסחה: שטח המעטפת מחולק בהיקף נותן את הגובה.

מוצאים את הגובה

שטח המעטפת של גליל הוא 251.2 סמ״ר, ורדיוסו 4 ס״מ. מהו גובהו? ( $\pi = 3.14$ )

\begin{aligned}2\pi r &= 2 \times 3.14 \times 4 \\ &= 25.12\end{aligned}

היקף הבסיס

25.12 \cdot h = 251.2

הנוסחה, כשהנעלם הוא הגובה

\begin{aligned}h &= 251.2 : 25.12 \\ &= 10\end{aligned}

מחלקים בהיקף

שטח המעטפת של גליל הוא 188.4 סמ״ר, וגובהו 10 ס״מ. מהו הרדיוס? ( $\pi = 3.14$ )

להציג את התשובה והפתרון

היקף הבסיס: $188.4 : 10 = 18.84$ ס״מ. ואז $r = 18.84 : 6.28 = 3$ ס״מ.

תרגילים

להתאמן

תרגיל 1

גליל שרדיוסו 3 ס״מ וגובהו 7 ס״מ. מהו שטח המעטפת שלו, בסמ״ר? ( $\pi = 3.14$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 131.88

הפתרון:

\begin{aligned}2\pi r &= 2 \times 3.14 \times 3 \\ &= 18.84\end{aligned}

היקף הבסיס

18.84 \times 7 = 131.88

כפול הגובה

131.88 סמ״ר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גליל שקוטר בסיסו 10 ס״מ וגובהו 12 ס״מ. מהו שטח המעטפת, בסמ״ר? ( $\pi = 3.14$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 376.8

הפתרון:

\begin{aligned}\pi d &= 3.14 \times 10 \\ &= 31.4\end{aligned}

היקף הבסיס, ישר מהקוטר

31.4 \times 12 = 376.8

כפול הגובה

מי שהציב 10 בתוך $2\pi r$ קיבל פי 2 יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזו נוסחה נותנת את שטח המעטפת של גליל?

$\pi r^2 h$
$\pi r h$
$2\pi r^2$
$2\pi r h$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $2\pi r h$

הפתרון:

S_{\text{מעטפת}} = 2\pi r \cdot h

המעטפת נפרשת למלבן: היקף הבסיס כפול הגובה

$\pi r^2 h$ הוא הנפח, ו- $2\pi r^2$ הוא שטח שני הבסיסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שטח המעטפת של גליל כולל גם את השטח של שני הבסיסים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

S_{\text{מעטפת}} = 2\pi r h

רק הדופן המעוגלת

המעטפת היא הדופן בלבד. מעטפת יחד עם שני הבסיסים היא שטח הפנים — היחידה הבאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פחית שרדיוסה 4 ס״מ וגובהה 11 ס״מ. התווית עוטפת את כל הדופן שלה. מהו שטח התווית, בסמ״ר? ( $\pi = 3.14$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 276.32

הפתרון:

\begin{aligned}2\pi r &= 2 \times 3.14 \times 4 \\ &= 25.12\end{aligned}

היקף הפחית

25.12 \times 11 = 276.32

כפול הגובה

276.32 סמ״ר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שטח המעטפת של גליל הוא 314 סמ״ר, ורדיוס בסיסו 5 ס״מ. מהו גובה הגליל, בס״מ? ( $\pi = 3.14$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}2\pi r &= 2 \times 3.14 \times 5 \\ &= 31.4\end{aligned}

היקף הבסיס

\begin{aligned}h &= 314 : 31.4 \\ &= 10\end{aligned}

מחלקים את המעטפת בהיקף

10 ס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מגלגלים דף מלבני שמידותיו 31.4 ס״מ על 20 ס״מ לגליל, כך שהצלע של 31.4 ס״מ מקיפה את הבסיס. מהו רדיוס הבסיס, בס״מ? ( $\pi = 3.14$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2\pi r = 31.4

הצלע שמקיפה את הבסיס היא ההיקף

\begin{aligned}r &= 31.4 : 6.28 \\ &= 5\end{aligned}

מחלקים ב- $2\pi$

5 ס״מ. הגובה של הגליל הוא 20 ס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מגדילים את הגובה של גליל פי 2, והרדיוס לא משתנה. מה קורה לשטח המעטפת?

לא משתנה
קטן פי 2
גדל פי 2
גדל פי 4

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גדל פי 2

הפתרון:

2\pi r \cdot (2h) = 2 \cdot (2\pi r h)

הגובה נכנס לנוסחה פעם אחת

המלבן נעשה גבוה פי 2, ורוחבו נשאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מגדילים את הרדיוס של גליל פי 2, והגובה לא משתנה. אז גם שטח המעטפת גדל פי 2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2\pi (2r) h = 2 \cdot (2\pi r h)

ההיקף גדל פי 2, והגובה נשאר

נכון. בשטח המעטפת הרדיוס לא בריבוע — זה ההבדל מהנפח, שגדל פי 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

צובעים עמוד גלילי בכיכר, רק את הדופן. רדיוס העמוד 0.5 מ׳ וגובהו 4 מ׳. כמה מ״ר צובעים? ( $\pi = 3.14$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.56

הפתרון:

\begin{aligned}2\pi r &= 2 \times 3.14 \times 0.5 \\ &= 3.14\end{aligned}

היקף העמוד

3.14 \times 4 = 12.56

כפול הגובה

12.56 מ״ר. את הבסיסים לא צובעים: אחד על הקרקע, והשני לא נראה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מה זה שטח המעטפת?

פורשים את התווית

בכיוון ההפוך

תרגילים

להתאמן

השיעור הבא מחכה ב-elev