מהי פונקציה · תכונות כלליות של פונקציה · כיתה ח׳

תארו לעצמכם מכונת שתייה: מכניסים מטבע — יוצא בקבוק. ואותו מטבע? תמיד אותו בקבוק. זה כל הרעיון של פונקציה: מכונה שמקבלת מספר אחד ומחזירה מספר אחד — ותמיד את אותו אחד.

למספר שנכנס קוראים קלט, ומסמנים אותו $x$ . למספר שיוצא קוראים פלט, ומסמנים אותו $y$ . ואת המכונה עצמה — את הכלל — מסמנים $f$ .

y = f(x)

קוראים $f(x)$ «אף של איקס», ופירושו: מה שהמכונה מוציאה כשמכניסים לה $x$ . במכונת המונית, למשל, $f(3) = 15$ : שלושה קילומטרים — 15 שקלים.

$f(3)$ אינו $f$ כפול 3. הסוגריים כאן אומרים «הכניסו 3 למכונה», לא «הכפילו». זו טעות הקריאה הראשונה של כמעט כל מי שפוגש את הסימון.

במכונת המונית $f(x) = 5x$ . מהו $f(7)$ — ומה הוא אומר על הנסיעה?

להציג את התשובה והפתרון

$f(7) = 5 \cdot 7 = 35$ : נסיעה של 7 קילומטרים עולה 35 שקלים.

ארבע דרכים לתאר את אותה פונקציה

במכונה ראיתם ארבעה חלונות שמספרים אותו סיפור. אלה ארבעת הייצוגים של פונקציה — ארבעה לבושים לאותה מכונה בדיוק:

\text{1}

במילים — «מחיר הנסיעה הוא 5 שקלים לכל קילומטר».

\text{2}

בנוסחה — $y = 5x$ .

\text{3}

בטבלה — עמודה של $x$ ולידה עמודה של $y$ .

\text{4}

בגרף — כל זוג $(x,\,y)$ מהטבלה הופך לנקודה במערכת צירים.

מטבלה לגרף: קודם x, אחר כך y

כל שורה בטבלה הופכת לנקודה בגרף, והסדר בזוג קבוע: קודם $x$ , אחר כך $y$ . הנקודה $(1,\,5)$ אינה הנקודה $(5,\,1)$ — אלה שני מקומות שונים לגמרי במערכת הצירים.

במכונת המונית נכנס 2 ויצא 10. איזו נקודה מסמנים בגרף: $(2,\,10)$ או $(10,\,2)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$(2,\,10)$ — קודם הקלט $x$ , אחר כך הפלט $y$ . הנקודה $(10,\,2)$ הייתה אומרת «10 קילומטרים ב-2 שקלים» — מונית חלומית.

מתי זו בכלל לא פונקציה

אם למספר אחד שנכנס יוצאים שני מספרים שונים — זו כבר לא פונקציה. מכונה שעל אותו מטבע נותנת פעם מים ופעם מיץ היא מכונה מקולקלת. בגרף רואים את זה בעין: נסו בעצמכם.

זה מבחן הקו האנכי: קו אנכי הוא $x$ אחד. אם יש מקום שבו הוא חותך את הגרף פעמיים — ל- $x$ הזה יש שני פלטים, והגרף אינו פונקציה. הישר והפרבולה עוברים את המבחן; המעגל והפרבולה ה«שוכבת» נכשלים.

שתי הטעויות הנפוצות של היחידה.

f(3) = f \cdot 3

\begin{aligned}f(3) &= \text{הערך שמתקבל כאשר מציבים } x \\ &= 3\end{aligned}

הסוגריים ב- $f(x)$ הן סימן של הצבה, לא של כפל.

(5,\,1)

(1,\,5)

כשמציבים $x=1$ ומקבלים $y=5$ , הנקודה היא $(1,\,5)$ . הסדר קבוע: איקס ואז וואי.

מה מקבלת פונקציה ומה היא מחזירה?

להציג את התשובה והפתרון

מקבלת קלט ( $x$ ) ומחזירה פלט ( $y$ ) — אחד ויחיד לכל קלט. זו כל ההגדרה.

האם גרף שבו ל- $x=2$ שני ערכי $y$ הוא פונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. קלט אחד — פלט אחד. אנך שחותך את הגרף פעמיים פוסל אותו.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x) = 5x$ . מהו $f(4)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}f(4) &= 5 \cdot 4 \\ &= 20\end{aligned}

מציבים 4 במקום $x$

הסוגריים אומרות «הצב», לא «הכפל ב- $f$ ».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $f(x) = 3x - 7$ . מהו $f(5)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f(5) = 3 \cdot 5 - 7

מציבים

= 15 - 7 = 8

מחשבים

קודם הכפל, אחר כך החיסור — סדר פעולות רגיל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x) = 2x + 1$ . מהו $f(-3)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

f(-3) = 2 \cdot (-3) + 1

שימו לב לסוגריים סביב המספר השלילי

= -6 + 1 = -5

מחשבים

בלי הסוגריים היינו כותבים $2 \cdot -3$ — כתיב שגוי שגורר טעויות סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

עבור הפונקציה $y = 4x$ , מציבים $x = 2$ . מהי הנקודה המתקבלת?

$(8,\,2)$
$(2,\,8)$
$(2,\,4)$
$(4,\,2)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $(2,\,8)$

הפתרון:

\begin{aligned}y &= 4 \cdot 2 \\ &= 8\end{aligned}

מחשבים את $y$

(2,\,8)

וכותבים קודם $x$ ואחר כך $y$

סדר הזוג קבוע: איקס, ואז וואי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מחיר נסיעה במונית: 8 שקלים לכל קילומטר. איזו נוסחה מתאימה?

$y = \frac{x}{8}$
$y = x + 8$
$y = 8$
$y = 8x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $y = 8x$

הפתרון:

y = 8x

כל קילומטר מוסיף 8 שקלים

«לכל קילומטר» היא מילת מפתח לכפל — כל יחידה נוספת מוסיפה את אותו הסכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בנוסחה $y = 8x$ (מחיר נסיעה), כמה ישלמו על 6 קילומטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48

הפתרון:

\begin{aligned}y &= 8 \cdot 6 \\ &= 48\end{aligned}

מציבים 6

התשובה בשקלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בטבלה: הקלט 4 מופיע פעמיים עם פלטים 7 ו-9. האם זו פונקציה?

תלוי בגרף
רק אם ממשיכים
לא
כן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא

הפתרון:

4 \rightarrow 7, \qquad 4 \rightarrow 9

אותו קלט, שני פלטים שונים

פונקציה מחזירה לכל קלט פלט אחד. כאן 4 נכנס פעמיים ויוצא פעם 7 ופעם 9 — מכונה מקולקלת, לא פונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הפונקציה $f(x) = 3x - 1$ . מהו $f(4)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

f(4) = 3 \cdot 4 - 1

מציבים 4 במקום $x$

= 12 - 1 = 11

קודם כפל, אחר כך חיסור

$f(4)$ פירושו «הכניסו 4 למכונה». הסוגריים כאן אינם כפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

באותה פונקציה — לאיזה $x$ מתקיים $f(x) = 20$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

3x - 1 = 20

הפעם ידוע הפלט, ומחפשים את הקלט

3x = 21

מוסיפים 1 לשני האגפים

x = 7

מחלקים ב-3

בודקים: $f(7) = 3 \cdot 7 - 1 = 20$ ✓. מהפלט אל הקלט — זו משוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מה עושה «מבחן הקו האנכי» על גרף?

מסמן אפסים
מוצא חיתוך
מודד שיפוע
בודק אם לכל x יש y יחיד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד בודק אם לכל x יש y יחיד

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 2 \;\Rightarrow\; y \\ &= 3 \\ \; y &= -3\end{aligned}

קו אנכי ב- $x = 2$ שחותך את הגרף פעמיים: שני פלטים לאותו קלט

כל הנקודות על קו אנכי חולקות את אותו $x$ . המבחן בודק אם לכל $x$ יש $y$ יחיד — כלומר אם הגרף הוא פונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

$\text{1}$
$\text{2}$
$\text{3}$
$\text{4}$

בגרף — כל זוג $(x,\,y)$ מהטבלה הופך לנקודה במערכת צירים.
בטבלה — עמודה של $x$ ולידה עמודה של $y$ .
במילים — «מחיר הנסיעה הוא 5 שקלים לכל קילומטר».
בנוסחה — $y = 5x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\text{1}$ — במילים — «מחיר הנסיעה הוא 5 שקלים לכל קילומטר». · $\text{2}$ — בנוסחה — $y = 5x$ . · $\text{3}$ — בטבלה — עמודה של $x$ ולידה עמודה של $y$ . · $\text{4}$ — בגרף — כל זוג $(x,\,y)$ מהטבלה הופך לנקודה במערכת צירים.

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ארבע דרכים לתאר את אותה פונקציה

מטבלה לגרף: קודם x, אחר כך y

מתי זו בכלל לא פונקציה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev