מבנה ההוכחה · כתיבה פורמלית של הוכחה · כיתה ח׳

בישראל כל הוכחה גאומטרית נכתבת באותו מבנה, לא משנה מה מוכיחים. כך בחפיפת משולשים, בתכונות של מרובע, ובכל שאלה גאומטרית אחרת.

מי שהגיע מחו"ל בדרך כלל יודע להוכיח — אבל כותב את זה בפסקה רצופה, כמו חיבור. בישראל בודקים גם את הצורה, ולכן אפשר לאבד נקודות על הוכחה נכונה לגמרי. את המבנה הזה צריך פשוט לאמץ.

שלושת השלבים

1

נתון — כל מה שהשאלה מסרה לנו. מעתיקים, לא ממציאים.

2

צ.ל. — ראשי תיבות של «צריך להוכיח». מה שביקשו מאיתנו להראות.

3

טבלה בת שני טורים — טענה ונימוק.

השאלה אומרת: «נתון $AB = AC$ . הוכיחו ש- $\angle B = \angle C$ ». מה הנתון, ומה הצ.ל.?

להציג את התשובה והפתרון

נתון: $AB = AC$ , מה שהשאלה מסרה. צ.ל.: $\angle B = \angle C$ , מה שבא אחרי «הוכיחו».

בטבלה, כל שורה היא טענה, ומולה נימוק. הטענה אומרת מה אנחנו קובעים. הנימוק אומר למה מותר לקבוע את זה.

הנימוק הוא תמיד נתון מהשאלה, או משפט גאומטרי שלמדנו.

מה ההבדל בין «טענה» ל«נימוק» בשורה של הוכחה?

להציג את התשובה והפתרון

הטענה אומרת מה נכון (למשל: $AB = CD$ ), והנימוק אומר מכוח מה — נתון, משפט, או שורה קודמת. שורה בלי נימוק אינה שווה נקודות: היא הבטחה, לא הוכחה.

דוגמה מלאה

נתונה מקבילית $ABCD$ . הוכיחו שהמשולשים $ABC$ ו- $CDA$ חופפים.

$ABCD$ מקבילית

האלכסון $AC$ מחבר בין $A$ ל- $C$

$\triangle ABC \cong \triangle CDA$

$AB = CD$

הצלעות הנגדיות במקבילית שוות

$BC = DA$

הצלעות הנגדיות במקבילית שוות

$AC = CA$

צלע משותפת לשני המשולשים

צ.צ.צ. — שלוש צלעות שוות בהתאמה

שימו לב שכל נימוק כאן הוא משפט, לא הסבר במילים שלנו. «רואים בציור» אינו נימוק, ולעולם לא יתקבל.

השורה האחרונה בטבלה היא תמיד מה שהיה כתוב בצ.ל. — זו הנקודה שבה ההוכחה נסגרת.

כתבתם שש שורות נכונות, אבל השורה האחרונה אינה הצ.ל. ההוכחה גמורה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. ההוכחה נסגרת רק כשהשורה האחרונה היא בדיוק הצ.ל. עד אז, השורות הן רק הדרך.

שתי הטעויות שעולות הכי הרבה נקודות, ושתיהן לא קשורות לחשיבה.

\text{«רואים בציור שהזוויות שוות»}

\text{«זוויות נגדיות במקבילית שוות»}

ציור אינו נימוק. הוא יכול להיות לא מדויק, ובמבחן הוא לפעמים מסולף בכוונה. רק משפט או נתון מתקבלים.

\text{הוכחה כתובה בפסקה רצופה}

\text{נתון} \rightarrow \text{צ.ל.} \rightarrow \text{טבלה}

זו הטעות של תלמידים שהגיעו מחו"ל. התוכן יכול להיות מושלם — הצורה היא חלק מהתשובה.

ממה בנויה כל שורה בהוכחה?

להציג את התשובה והפתרון

טענה ונימוק — מה נכון, ולמה מותר לומר את זה. שורה בלי נימוק אינה הוכחה, היא ניחוש.

פעילות אינטראקטיבית

ארבע הדרכים להוכיח שמרובע הוא מקבילית

AB \parallel DC \quad \text{וגם}\quad AB = DC

זוג אחד של צלעות נגדיות, מקביל וגם שווה.

\begin{aligned}AB &= DC \quad \text{וגם}\quad AD \\ &= BC\end{aligned}

שני זוגות של צלעות נגדיות שוות.

AB \parallel DC \quad \text{וגם}\quad AD \parallel BC

שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות — ההגדרה עצמה.

\begin{aligned}AO &= OC \quad \text{וגם}\quad BO \\ &= OD\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה.

ארבע דרכים, אותה מסקנה. לפני שכותבים שורה ראשונה — בוחרים באיזו מהן הולכים.

לעשות את הפעילות ב-elev

תרגילים

תרגיל 1

מה כותבים ראשון בכל הוכחה?

את הטבלה
את צ.ל.
את המסקנה
את הנתונים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד את הנתונים

הפתרון:

\text{נתון} \rightarrow \text{צ.ל.} \rightarrow \text{טבלה}

הסדר קבוע

קודם מעתיקים את מה שהשאלה מסרה, ורק אז כותבים מה צריך להוכיח.

שלושת השלבים

דוגמה מלאה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev