פיתגורס במרחב

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עד עכשיו כל המשולשים שכבו על הדף. אבל בתיבה (קופסה, חדר, ארון) יש זוויות ישרות בכל פינה.

ולכן גם בתוך תיבה מסתתרים משולשים ישרי זווית, ופיתגורס עובד גם במרחב.

שני סוגי אלכסונים

אלכסון פאה מחבר שני קודקודים של אותה פאה. הוא שוכב על הקיר, על הרצפה או על התקרה.

אלכסון התיבה מחבר שני קודקודים שאינם על אותה פאה. הוא עובר דרך פנים התיבה, מפינה לפינה הנגדית.

כמה אלכסוני תיבה יש בתיבה אחת?

להציג את התשובה והפתרון

4. מכל אחד מ-8 הקודקודים יוצא אלכסון אחד, וכל אלכסון נספר פעמיים: 8:2=48 : 2 = 4.

אלכסון התיבה בשני משולשים

אין משולש אחד שמכיל את אלכסון התיבה ושתי צלעות ידועות. לכן עוברים דרך משולש עזר על הרצפה.

תיבה: אורך 4 ס״מ, רוחב 3 ס״מ, גובה 12 ס״מ. מה אורך אלכסון התיבה?

שני משולשים, זה אחר זה.

d12=42+32=25→d1=5\begin{aligned}d_1^2 &= 4^2 + 3^2 \\ &= 25 \rightarrow d_1 \\ &= 5\end{aligned}

על הרצפה: אלכסון הרצפה

d2=d12+122=25+144=169\begin{aligned}d^2 &= d_1^2 + 12^2 \\ &= 25 + 144 \\ &= 169\end{aligned}

במשולש העומד: אלכסון הרצפה והגובה הם הניצבים

d=169=13 ס״מ\begin{aligned}d &= \sqrt{169} \\ &= 13 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ושורש

d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2

שלוש המידות, כל אחת בריבוע, ביחד

לא חייבים להוציא שורש באמצע: d12=25d_1^2 = 25 נכנס ישר לחישוב השני.

שתי הטעויות של התיבה.

d2=a2+b2d^2 = a^2 + b^2
d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2

עצרו באמצע: זה רק אלכסון הרצפה, התחנה הראשונה.

d=a+b+cd = a + b + c
d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

כמו במישור: מחברים ריבועים, ובסוף שורש.

קובייה שצלעה 1 ס״מ. מה אורך אלכסון הקובייה?

להציג את התשובה והפתרון

d2=1+1+1=3d^2 = 1 + 1 + 1 = 3, ולכן d=3≈1.73d = \sqrt{3} \approx 1.73 ס״מ.

בעיות מהחיים: קופסאות וחדרים

מקל בקופסה, חוט בחדר: הקטע הארוך ביותר בתיבה הוא תמיד אלכסון התיבה, מפינה לפינה הנגדית.

חרוט ופירמידה: הגובה הנסתר

בחרוט ישר, הגובה יורד מהקודקוד אל מרכז הבסיס, מאונך לבסיס.

חרוט: רדיוס הבסיס 6 ס״מ, הגובה 8 ס״מ. מה המרחק מהקודקוד אל שפת הבסיס?

הגובה והרדיוס הם הניצבים.

s2=82+62=64+36=100\begin{aligned}s^2 &= 8^2 + 6^2 \\ &= 64 + 36 \\ &= 100\end{aligned}

מחברים

s=10 ס״מs = 10 \text{ ס״מ}

ושורש

פירמידה שבסיסה ריבוע של 10 ס״מ, וגובהה 12 ס״מ. מה הגובה של פאה צדדית (מהקודקוד אל אמצע צלע הבסיס)?

להציג את התשובה והפתרון

13 ס״מ: הניצבים הם הגובה, 12, וחצי צלע הבסיס, 5. 144+25=169144 + 25 = 169.

תרגילים

תרגיל 1

רצפה של חדר היא מלבן של 4 מטר על 3 מטר. מה אורך האלכסון של הרצפה, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

AC2=42+32=25\begin{aligned}AC^2 &= 4^2 + 3^2 \\ &= 25\end{aligned}

הרצפה היא מלבן: אורך ורוחב הם הניצבים

AC=5 מטרAC = 5 \text{ מטר}

שורש

אלכסון הרצפה הוא אלכסון פאה: הוא לא צריך את הגובה בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

תיבה: אורך 6 ס״מ, רוחב 8 ס״מ, גובה 24 ס״מ. מה אורך אלכסון התיבה, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26

הפתרון:

d12=62+82=100→d1=10\begin{aligned}d_1^2 &= 6^2 + 8^2 \\ &= 100 \rightarrow d_1 \\ &= 10\end{aligned}

קודם אלכסון הרצפה

d2=102+242=676\begin{aligned}d^2 &= 10^2 + 24^2 \\ &= 676\end{aligned}

ואז המשולש העומד

d=26 ס״מd = 26 \text{ ס״מ}

שורש

שתי שלשות ברצף: 6,8,106, 8, 10 ואז 10,24,2610, 24, 26.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

קובייה שצלעה 2 ס״מ. מה אורך אלכסון הקובייה, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.46

הפתרון:

d2=22+22+22=12\begin{aligned}d^2 &= 2^2 + 2^2 + 2^2 \\ &= 12\end{aligned}

שלוש המידות שוות

d=12≈3.46 ס״מd = \sqrt{12} \approx 3.46 \text{ ס״מ}

שורש

אלכסון הקובייה ארוך מהצלע, אבל קצר משלוש צלעות יחד (6 ס״מ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

תיבה: אורך 5 ס״מ, רוחב 3 ס״מ, גובה 12 ס״מ. מה אורך האלכסון של הפאה הקדמית (אורך וגובה), בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

AB′2=52+122=169\begin{aligned}AB'^2 &= 5^2 + 12^2 \\ &= 169\end{aligned}

הפאה הקדמית היא מלבן של 5 על 12

AB′=13 ס״מAB' = 13 \text{ ס״מ}

שורש

הרוחב, 3 ס״מ, לא משתתף: האלכסון שוכב כולו על הפאה הקדמית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בתיבה שבשרטוט, איזה קטע הוא אלכסון התיבה?

  1. A′C′A'C'
  2. AC′AC'
  3. ACAC
  4. AB′AB'
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב AC′AC'

הפתרון:

A למטה מקדימה,C′ למעלה מאחורA \text{ למטה מקדימה}, \quad C' \text{ למעלה מאחור}

אין פאה שמכילה את שניהם

ACAC ו-A′C′A'C' הם אלכסוני הרצפה והתקרה, AB′AB' אלכסון של הפאה הקדמית. רק AC′AC' עובר דרך פנים התיבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מיינו את הקטעים של התיבה שבשרטוט

  • אלכסון פאה
  • אלכסון התיבה
  • A′C′A'C'
  • AB′AB'
  • AC′AC'
  • ACAC
  • BD′BD'
  • DB′DB'
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ACAC — אלכסון פאה · AC′AC' — אלכסון התיבה · BD′BD' — אלכסון התיבה · A′C′A'C' — אלכסון פאה · AB′AB' — אלכסון פאה · DB′DB' — אלכסון התיבה

הפתרון:

AC′,  BD′,  DB′AC',\; BD',\; DB'

מחברים קודקודים שאין להם פאה משותפת

בדיקה מהירה: אלכסון התיבה משנה גם צד, גם עומק וגם גובה. אלכסון פאה משנה רק שניים מהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נפח של תיבה הוא 576 סמ״ק. האורך 6 ס״מ והרוחב 8 ס״מ. מה הגובה, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

V=6×8×c=48c\begin{aligned}V &= 6 \times 8 \times c \\ &= 48c\end{aligned}

נפח: אורך כפול רוחב כפול גובה

c=576:48=12 ס״מ\begin{aligned}c &= 576 : 48 \\ &= 12 \text{ ס״מ}\end{aligned}

מחלקים

שלב ראשון של שאלה ארוכה: בלי הגובה אי אפשר להגיע לאלכסון התיבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באותה תיבה (6 ס״מ, 8 ס״מ, 12 ס״מ): מה אורך אלכסון הרצפה, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

AC2=62+82=100\begin{aligned}AC^2 &= 6^2 + 8^2 \\ &= 100\end{aligned}

הרצפה: 6 על 8

AC=10 ס״מAC = 10 \text{ ס״מ}

שורש

שוב השלשה 6,8,106, 8, 10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ובאותה תיבה (6 ס״מ, 8 ס״מ, 12 ס״מ): מה אורך אלכסון התיבה, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15.62

הפתרון:

d2=102+122=100+144=244\begin{aligned}d^2 &= 10^2 + 12^2 \\ &= 100 + 144 \\ &= 244\end{aligned}

אלכסון הרצפה והגובה הם הניצבים

d=244≈15.62 ס״מd = \sqrt{244} \approx 15.62 \text{ ס״מ}

שורש

בדיקת היגיון: אלכסון התיבה ארוך מכל מידה ומאלכסון הרצפה, וקצר מ-6+8+126 + 8 + 12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

קופסה באורך 120 ס״מ, ברוחב 30 ס״מ ובגובה 40 ס״מ. מה אורך המקל הארוך ביותר שנכנס לקופסה, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 130

הפתרון:

d12=1202+302=14400+900=15300\begin{aligned}d_1^2 &= 120^2 + 30^2 \\ &= 14400 + 900 \\ &= 15300\end{aligned}

אלכסון הרצפה

d2=15300+402=16900\begin{aligned}d^2 &= 15300 + 40^2 \\ &= 16900\end{aligned}

ועוד הגובה בריבוע

d=16900=130 ס״מ\begin{aligned}d &= \sqrt{16900} \\ &= 130 \text{ ס״מ}\end{aligned}

שורש

המקל הארוך ביותר שוכב לאורך אלכסון התיבה, מפינה לפינה הנגדית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מקל באורך 125 ס״מ אי אפשר להכניס לקופסה של 120 ס״מ על 30 ס״מ על 40 ס״מ, כי הוא ארוך מהקופסה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

125<130125 < 130

אלכסון התיבה ארוך מהמקל

לא נכון: לאורך הקופסה המקל לא נכנס, אבל באלכסון התיבה יש 130 ס״מ, והוא נכנס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

חדר באורך 4 מטר, ברוחב 3 מטר ובגובה 2.4 מטר. עכביש הולך בקו ישר (באוויר, על חוט) מפינה ברצפה אל הפינה הנגדית בתקרה. כמה מטרים הוא עובר? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.55

הפתרון:

d12=42+32=25\begin{aligned}d_1^2 &= 4^2 + 3^2 \\ &= 25\end{aligned}

אלכסון הרצפה: 5 מטר

d2=25+2.42=25+5.76=30.76\begin{aligned}d^2 &= 25 + 2.4^2 \\ &= 25 + 5.76 \\ &= 30.76\end{aligned}

ועוד הגובה בריבוע

d=30.76≈5.55 מטרd = \sqrt{30.76} \approx 5.55 \text{ מטר}

שורש

גם עם מספרים עשרוניים: מרבעים, מחברים, ובסוף שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

סדרו את השלבים לחישוב אלכסון התיבה

  • מזהים את המשולש ישר הזווית שעל הרצפה
  • מזהים משולש שני: אלכסון הרצפה והגובה
  • מחברים את הגובה בריבוע ומוציאים שורש
  • מחשבים את ריבוע אלכסון הרצפה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מזהים את המשולש ישר הזווית שעל הרצפה · מחשבים את ריבוע אלכסון הרצפה · מזהים משולש שני: אלכסון הרצפה והגובה · מחברים את הגובה בריבוע ומוציאים שורש

הפתרון:

d12=a2+b2d_1^2 = a^2 + b^2

משולש ראשון

d2=d12+c2d^2 = d_1^2 + c^2

משולש שני

תמיד שני משולשים, זה אחר זה. אלכסון הרצפה הוא הגשר ביניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

השלימו

תיבה של 2 ס״מ, 3 ס״מ ו-6 ס״מ: d12=4+9=d_1^2 = 4 + 9 = ____, אחר כך d2=13+36=d^2 = 13 + 36 = ____, ולכן אלכסון התיבה הוא ____ ס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תיבה של 2 ס״מ, 3 ס״מ ו-6 ס״מ: d12=4+9=d_1^2 = 4 + 9 = 13, אחר כך d2=13+36=d^2 = 13 + 36 = 49, ולכן אלכסון התיבה הוא 7 ס״מ.

הפתרון:

d12=13d_1^2 = 13

לא מוציאים שורש באמצע

d2=13+36=49→d=7\begin{aligned}d^2 &= 13 + 36 \\ &= 49 \rightarrow d \\ &= 7\end{aligned}

רק בסוף

d1=13d_1 = \sqrt{13} אינו שלם, אבל לא צריך אותו: ממשיכים עם d12=13d_1^2 = 13.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

חרוט: רדיוס הבסיס 5 ס״מ והגובה 12 ס״מ. מה המרחק מהקודקוד אל שפת הבסיס (הקו היוצר), בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

s2=122+52=169\begin{aligned}s^2 &= 12^2 + 5^2 \\ &= 169\end{aligned}

הגובה מאונך לבסיס

s=13 ס״מs = 13 \text{ ס״מ}

שורש

בחתך של החרוט מסתתר משולש ישר זווית: גובה, רדיוס, וקו יוצר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

חרוט: הקו היוצר 10 ס״מ ורדיוס הבסיס 6 ס״מ. מה גובה החרוט, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

h2=102−62=64\begin{aligned}h^2 &= 10^2 - 6^2 \\ &= 64\end{aligned}

הקו היוצר הוא היתר: מחסרים

h=8 ס״מh = 8 \text{ ס״מ}

שורש

גם במרחב: מחפשים ניצב, מחסרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ABCDSOM
AB=10AB = 10 ס״מ, SO=12SO = 12 ס״מ, SM=?SM = ?

פירמידה שבסיסה ריבוע ABCDABCD שצלעו 10 ס״מ, וגובהה SO=12SO = 12 ס״מ. MM אמצע הצלע ABAB. מה אורך SMSM, גובה הפאה, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

OM=10:2=5\begin{aligned}OM &= 10 : 2 \\ &= 5\end{aligned}

מהמרכז אל אמצע הצלע: חצי צלע

SM2=122+52=169\begin{aligned}SM^2 &= 12^2 + 5^2 \\ &= 169\end{aligned}

במשולש SOMSOM, הזווית ב-OO ישרה

SM=13 ס״מSM = 13 \text{ ס״מ}

שורש

המשולש SOMSOM עומד בתוך הפירמידה. כמו בגובה של משולש שווה שוקיים: חצי צלע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

התאימו כל מושג להסבר שלו

  • אלכסון פאה
  • אלכסון התיבה
  • משולש העזר
  • המשולש העומד
  • אלכסון הרצפה והגובה הם ניצבים
  • מחבר שני קודקודים של אותה פאה
  • עובר דרך פנים התיבה, לפינה הנגדית
  • שוכב על הרצפה: האורך והרוחב הם ניצבים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אלכסון פאה — מחבר שני קודקודים של אותה פאה · אלכסון התיבה — עובר דרך פנים התיבה, לפינה הנגדית · משולש העזר — שוכב על הרצפה: האורך והרוחב הם ניצבים · המשולש העומד — אלכסון הרצפה והגובה הם ניצבים

הפתרון:

d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2

שני המשולשים יחד

שני משולשים ישרי זווית, ואלכסון הרצפה הוא הצלע המשותפת שלהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

קובייה שצלעה 5 ס״מ. מה אורך אלכסון הקובייה?

  1. 50≈7.07\sqrt{50} \approx 7.07 ס״מ
  2. 75 ס״מ
  3. 15 ס״מ
  4. 75≈8.66\sqrt{75} \approx 8.66 ס״מ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 75≈8.66\sqrt{75} \approx 8.66 ס״מ

הפתרון:

d2=25+25+25=75\begin{aligned}d^2 &= 25 + 25 + 25 \\ &= 75\end{aligned}

שלוש המידות

d=75≈8.66 ס״מd = \sqrt{75} \approx 8.66 \text{ ס״מ}

שורש

50\sqrt{50} הוא אלכסון של פאה, התחנה הראשונה. 15 הוא סכום הצלעות, ו-75 שכח את השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

בכל תיבה, אלכסון התיבה ארוך מהאלכסון של כל אחת מהפאות שלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

d2=d12+c2>d12d^2 = d_1^2 + c^2 > d_1^2

אלכסון התיבה הוא יתר

נכון: אלכסון הפאה הוא ניצב במשולש העומד, ואלכסון התיבה הוא היתר שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת