מרחק, אלכסון, גובה ושלשות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

פיתגורס מסתתר בכל מקום שיש בו זווית ישרה: בדף משבצות, באלכסון של מלבן, בגובה של משולש.

בכל בעיה עושים אותו דבר: מוצאים את המשולש ישר הזווית, ורק אז מחשבים.

המרחק בין שתי נקודות

על דף משבצות, הדרך הקצרה בין שתי נקודות היא קו ישר. סופרים משבצות לרוחב ולגובה: אלה הניצבים.

נקודה אחת זזה 6 משבצות לרוחב ו-8 משבצות לגובה מהנקודה השנייה. מה המרחק ביניהן?

להציג את התשובה והפתרון

10 משבצות: 62+82=36+64=1006^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, ושורש. זו השלשה 3,4,53, 4, 5 כפול 2.

אלכסון של מלבן

אלכסון חוצה את המלבן לשני משולשים ישרי זווית. האורך והרוחב הם הניצבים, והאלכסון הוא היתר.

גודל של מסך נמדד תמיד באלכסון. מסך של 50 אינץ׳ הוא רק 40 אינץ׳ לרוחב.

הגובה במשולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס חוצה את הבסיס. נוצרים שני משולשים ישרי זווית.

ABCH
בכל חצי: השוק היא היתר, חצי הבסיס והגובה הם הניצבים.

השוקיים הן 13 ס״מ, והבסיס 10 ס״מ. מהו הגובה לבסיס?

קודם חוצים את הבסיס, ואז מחסרים.

BH=10:2=5\begin{aligned}BH &= 10 : 2 \\ &= 5\end{aligned}

הגובה חוצה את הבסיס

h2=132−52=169−25=144\begin{aligned}h^2 &= 13^2 - 5^2 \\ &= 169 - 25 \\ &= 144\end{aligned}

במשולש AHCAHC: השוק היא היתר

h=144=12 ס״מ\begin{aligned}h &= \sqrt{144} \\ &= 12 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ושורש

הטעות של חצי הבסיס.

h2=132−102h^2 = 13^2 - 10^2
h2=132−52h^2 = 13^2 - 5^2

במשולש ישר הזווית יושב רק חצי מהבסיס. הבסיס כולו לא נוגע בזווית הישרה.

גם במעוין יש ארבעה משולשים ישרי זווית: האלכסונים מאונכים, וחוצים זה את זה.

ABCDO
האלכסונים 16 ס״מ ו-12 ס״מ. במשולש BOCBOC: ניצבים 8 ו-6, ולכן הצלע 10 ס״מ.

אלכסוני מעוין הם 10 ס״מ ו-24 ס״מ. מה אורך הצלע?

להציג את התשובה והפתרון

13 ס״מ: חצאי האלכסונים הם 5 ו-12, ו-25+144=16925 + 144 = 169. בלי לחצות, יוצא שגוי.

שלשות פיתגוריות

שלשה פיתגורית היא שלושה מספרים שלמים שמקיימים a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2.

3, 4, 53,\ 4,\ 5

הכי מוכרת

5, 12, 135,\ 12,\ 13
8, 15, 178,\ 15,\ 17
7, 24, 257,\ 24,\ 25

כל כפולה של שלשה היא שלשה: 30,40,5030, 40, 50 היא 3,4,53, 4, 5 כפול 10. מי שמזהה, חוסך את החישוב.

שורש שאינו שלם: בין אילו מספרים?

40\sqrt{40} אינו מספר שלם. אבל 36<40<4936 < 40 < 49, ולכן 6<40<76 < \sqrt{40} < 7.

75\sqrt{75} נמצא בין שני מספרים שלמים עוקבים. מה הם?

להציג את התשובה והפתרון

בין 8 ל-9: 64<75<8164 < 75 < 81. וקרוב יותר ל-9, כי 75 קרוב יותר ל-81.

תרגילים

תרגיל 1

בשרטוט שתי נקודות על דף משבצות. כל משבצת היא 1 ס״מ. כמה סנטימטרים יש בין AA ל-BB בקו ישר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

רוחב=3גובה=4\begin{aligned}\text{רוחב} &= 3 \\ \quad \text{גובה} &= 4\end{aligned}

סופרים משבצות לאורך הניצבים

AB=32+42=25=5 ס״מ\begin{aligned}AB &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ושורש

לא סופרים משבצות לאורך הקו הנטוי: הוא חוצה אותן באלכסון. סופרים רק לרוחב ולגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כל משבצת בשרטוט היא 1 ס״מ. כמה סנטימטרים יש בין AA ל-BB בקו ישר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

רוחב=12גובה=5\begin{aligned}\text{רוחב} &= 12 \\ \quad \text{גובה} &= 5\end{aligned}

סופרים

AB=144+25=169=13 ס״מ\begin{aligned}AB &= \sqrt{144 + 25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \text{ ס״מ}\end{aligned}

השלשה 5,12,135, 12, 13

מציירים בראש את שני הניצבים, גם כשהשרטוט לא מראה אותם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כל משבצת בשרטוט היא 1 ס״מ. מה המרחק בין AA ל-BB בקו ישר?

  1. 5≈2.24\sqrt{5} \approx 2.24 ס״מ
  2. 5 ס״מ
  3. 13≈3.61\sqrt{13} \approx 3.61 ס״מ
  4. 13 ס״מ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 13≈3.61\sqrt{13} \approx 3.61 ס״מ

הפתרון:

רוחב=2גובה=3\begin{aligned}\text{רוחב} &= 2 \\ \quad \text{גובה} &= 3\end{aligned}

סופרים

AB=4+9=13≈3.61\begin{aligned}AB &= \sqrt{4 + 9} \\ &= \sqrt{13} \approx 3.61\end{aligned}

שורש

5 ס״מ הוא הדרך לאורך הקווים (2+32 + 3), לא הקו הישר. 13 הוא AB2AB^2 בלי שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חצר מלבנית שאורכה 21 מטר ורוחבה 20 מטר. מה אורך האלכסון של החצר, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 29

הפתרון:

d2=212+202=441+400=841\begin{aligned}d^2 &= 21^2 + 20^2 \\ &= 441 + 400 \\ &= 841\end{aligned}

האורך והרוחב הם הניצבים

d=841=29 מטר\begin{aligned}d &= \sqrt{841} \\ &= 29 \text{ מטר}\end{aligned}

האלכסון הוא היתר

כל מלבן מסתיר שני משולשים ישרי זווית. האלכסון ארוך מכל צלע, וקצר מסכום שתיהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

רוחב של מסך הוא 48 אינץ׳ וגובהו 36 אינץ׳. באיזה «גודל» מוכרים אותו, כלומר מה אורך האלכסון, באינצ׳ים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

d2=482+362=2304+1296=3600\begin{aligned}d^2 &= 48^2 + 36^2 \\ &= 2304 + 1296 \\ &= 3600\end{aligned}

רוחב וגובה הם הניצבים

d=3600=60 אינץ׳\begin{aligned}d &= \sqrt{3600} \\ &= 60 \text{ אינץ׳}\end{aligned}

זה «הגודל» של המסך

36,48,6036, 48, 60 היא 3,4,53, 4, 5 כפול 12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCH
AB=AC=10AB = AC = 10 ס״מ, BC=12BC = 12 ס״מ, AHAH הגובה

משולש שווה שוקיים: השוקיים 10 ס״מ והבסיס 12 ס״מ. מה אורך הגובה לבסיס, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

HC=12:2=6\begin{aligned}HC &= 12 : 2 \\ &= 6\end{aligned}

הגובה חוצה את הבסיס

h2=102−62=64\begin{aligned}h^2 &= 10^2 - 6^2 \\ &= 64\end{aligned}

השוק היא היתר

h=8 ס״מh = 8 \text{ ס״מ}

שורש

מי שחיסר 102−12210^2 - 12^2 קיבל מספר שלילי: הבסיס כולו לא נמצא במשולש ישר הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCH
AB=AC=17AB = AC = 17 ס״מ, AH=15AH = 15 ס״מ, BC=?BC = ?

משולש שווה שוקיים: השוקיים 17 ס״מ והגובה לבסיס 15 ס״מ. מה אורך הבסיס כולו, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

HC2=172−152=289−225=64\begin{aligned}HC^2 &= 17^2 - 15^2 \\ &= 289 - 225 \\ &= 64\end{aligned}

מחסרים

HC=8HC = 8

זה רק חצי הבסיס

BC=2×8=16 ס״מ\begin{aligned}BC &= 2 \times 8 \\ &= 16 \text{ ס״מ}\end{aligned}

כופלים ב-2

הטעות הנפוצה: לעצור ב-8. פיתגורס נותן את חצי הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCDO
אלכסונים: AC=24AC = 24 ס״מ, BD=18BD = 18 ס״מ

אלכסוני מעוין הם 18 ס״מ ו-24 ס״מ. מה אורך צלע המעוין, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

OB=9OC=12\begin{aligned}OB &= 9 \\ \quad OC &= 12\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

BC2=92+122=225\begin{aligned}BC^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}

זווית ישרה ב-OO

BC=15 ס״מBC = 15 \text{ ס״מ}

שורש

בלי לחצות את האלכסונים יוצא 182+242=30\sqrt{18^2 + 24^2} = 30: כפול מהתשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCDO
צלע 1313 ס״מ, BD=10BD = 10 ס״מ, AC=?AC = ?

צלע מעוין היא 13 ס״מ, ואחד האלכסונים הוא 10 ס״מ. מה אורך האלכסון השני, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

OB=5OB = 5

חצי האלכסון הידוע

OC2=132−52=144→OC=12\begin{aligned}OC^2 &= 13^2 - 5^2 \\ &= 144 \rightarrow OC \\ &= 12\end{aligned}

הצלע היא היתר

AC=2×12=24 ס״מ\begin{aligned}AC &= 2 \times 12 \\ &= 24 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ומכפילים

חוצים בהתחלה, ומכפילים בסוף. שתי הפעולות שוכחים בקלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סולם באורך 13 מטר נשען על קיר, וראשו נוגע בקיר בגובה 12 מטר. כמה מטרים רגל הסולם רחוקה מהקיר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

d2=132−122=169−144=25\begin{aligned}d^2 &= 13^2 - 12^2 \\ &= 169 - 144 \\ &= 25\end{aligned}

הסולם הוא היתר: מחסרים

d=5 מטרd = 5 \text{ מטר}

שורש

הפעם הניצב החסר הוא על הרצפה, לא על הקיר. החישוב זהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

פארק מלבני, 80 מטר על 60 מטר. נועה הולכת מפינה לפינה הנגדית: פעם לאורך שתי הצלעות, ופעם בשביל באלכסון. בכמה מטרים השביל באלכסון קצר יותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

80+60=14080 + 60 = 140

לאורך הצלעות

802+602=10000=100\begin{aligned}\sqrt{80^2 + 60^2} &= \sqrt{10000} \\ &= 100\end{aligned}

באלכסון

140−100=40 מטר140 - 100 = 40 \text{ מטר}

ההפרש

שאלה בשני שלבים: פיתגורס נותן את האלכסון, ורק אחר כך משווים לדרך הארוכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מיינו: אילו שלשות הן שלשות פיתגוריות?

  • שלשה פיתגורית
  • לא שלשה
  • 10,24,2610, 24, 26
  • 12,16,2012, 16, 20
  • 20,21,2920, 21, 29
  • 4,6,84, 6, 8
  • 5,10,155, 10, 15
  • 7,8,97, 8, 9
  • 9,12,159, 12, 15
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9,12,159, 12, 15 — שלשה פיתגורית · 12,16,2012, 16, 20 — שלשה פיתגורית · 10,24,2610, 24, 26 — שלשה פיתגורית · 4,6,84, 6, 8 — לא שלשה · 5,10,155, 10, 15 — לא שלשה · 20,21,2920, 21, 29 — שלשה פיתגורית · 7,8,97, 8, 9 — לא שלשה

הפתרון:

92+122=225=152\begin{aligned}9^2 + 12^2 &= 225 \\ &= 15^2\end{aligned}

3,4,53,4,5 כפול 3

42+62=52≠644^2 + 6^2 = 52 \ne 64

2,3,42,3,4 כפול 2: לא שלשה

202+212=841=292\begin{aligned}20^2 + 21^2 &= 841 \\ &= 29^2\end{aligned}

שלשה בפני עצמה

כפולה של שלשה היא שלשה. אבל כפולה של שלושה מספרים שאינם שלשה (2,3,42, 3, 4) לא הופכת לשלשה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

התאימו כל שלשה לשלשה הבסיסית שהיא כפולה שלה

  • 15,20,2515, 20, 25
  • 10,24,2610, 24, 26
  • 16,30,3416, 30, 34
  • 14,48,5014, 48, 50
  • כפולה של 3,4,53, 4, 5
  • כפולה של 5,12,135, 12, 13
  • כפולה של 7,24,257, 24, 25
  • כפולה של 8,15,178, 15, 17
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15,20,2515, 20, 25 — כפולה של 3,4,53, 4, 5 · 10,24,2610, 24, 26 — כפולה של 5,12,135, 12, 13 · 16,30,3416, 30, 34 — כפולה של 8,15,178, 15, 17 · 14,48,5014, 48, 50 — כפולה של 7,24,257, 24, 25

הפתרון:

152025=5×(3,4,5)\begin{aligned}15 \\ 20 \\ 25 &= 5 \times (3, 4, 5)\end{aligned}

מחלקים במחלק המשותף

163034=2×(8,15,17)\begin{aligned}16 \\ 30 \\ 34 &= 2 \times (8, 15, 17)\end{aligned}

מחלקים את שלושת המספרים באותו מספר, עד שמזהים שלשה מוכרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

השלימו בכל שורה את שני המספרים השלמים העוקבים

____ <7<< \sqrt{7} < ____, וגם ____ <38<< \sqrt{38} < ____, וגם ____ <11<< \sqrt{11} < ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2 <7<< \sqrt{7} < 3, וגם 6 <38<< \sqrt{38} < 7, וגם 3 <11<< \sqrt{11} < 4

הפתרון:

4<7<94 < 7 < 9

ולכן 2<7<32 < \sqrt{7} < 3

36<38<4936 < 38 < 49

ולכן 6<38<76 < \sqrt{38} < 7

9<11<169 < 11 < 16

ולכן 3<11<43 < \sqrt{11} < 4

מחפשים את שני הריבועים השלמים שסביב המספר שתחת השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

סדרו מהקטן לגדול

  • 196\sqrt{196}
  • 400\sqrt{400}
  • 1515
  • 1717
  • 1919
  • 88
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 88 · 196\sqrt{196} · 1515 · 1717 · 1919 · 400\sqrt{400}

הפתרון:

196=14400=20\begin{aligned}\sqrt{196} &= 14 \\ \quad \sqrt{400} &= 20\end{aligned}

קודם מוציאים את השורשים

שורש של ריבוע שלם הוא מספר שלם רגיל: 196=14\sqrt{196} = 14, ולכן הוא בין 8 ל-15.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ABCD
ריבוע ששטחו 144 סמ״ר; האלכסון AC=?AC = ?

שטח של ריבוע הוא 144 סמ״ר. מה אורך האלכסון שלו, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16.97

הפתרון:

a=144=12 ס״מ\begin{aligned}a &= \sqrt{144} \\ &= 12 \text{ ס״מ}\end{aligned}

קודם הצלע, מתוך השטח

AC2=122+122=288\begin{aligned}AC^2 &= 12^2 + 12^2 \\ &= 288\end{aligned}

האלכסון הוא היתר

AC=288≈16.97 ס״מAC = \sqrt{288} \approx 16.97 \text{ ס״מ}

שורש

שני שורשים שונים בשאלה אחת: הראשון נותן את הצלע מהשטח, השני את האלכסון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ABCDE
AB=9AB = 9 ס״מ, DC=14DC = 14 ס״מ, AD=12AD = 12 ס״מ, AB∥DCAB \parallel DC

טרפז ישר זווית ABCDABCD: AB=9AB = 9 ס״מ, DC=14DC = 14 ס״מ, והגובה AD=12AD = 12 ס״מ. מורידים גובה BEBE. מה אורך השוק BCBC, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

BE=AD=12\begin{aligned}BE &= AD \\ &= 12\end{aligned}

הגובה BEBE שווה ל-ADAD

EC=14−9=5\begin{aligned}EC &= 14 - 9 \\ &= 5\end{aligned}

מה שנשאר מהבסיס הארוך

BC2=122+52=169→BC=13 ס״מ\begin{aligned}BC^2 &= 12^2 + 5^2 \\ &= 169 \rightarrow BC \\ &= 13 \text{ ס״מ}\end{aligned}

במשולש BECBEC

הגובה BEBE חותך מהטרפז משולש ישר זווית. בלעדיו אין משולש לעבוד בו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

ABCDE
AB=9AB = 9 ס״מ, DC=14DC = 14 ס״מ, AD=12AD = 12 ס״מ, AB∥DCAB \parallel DC

באותו טרפז (AB=9AB = 9, DC=14DC = 14, AD=12AD = 12, BC=13BC = 13, הכול בס״מ): מה ההיקף של הטרפז, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48

הפתרון:

P=9+13+14+12=48 ס״מ\begin{aligned}P &= 9 + 13 + 14 + 12 \\ &= 48 \text{ ס״מ}\end{aligned}

מחברים את ארבע הצלעות

פיתגורס השלים את הצלע החסרה. ההיקף עצמו מחבר צלעות, לא ריבועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

בכל מלבן, האלכסון ארוך מהצלע הארוכה של המלבן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

d2=a2+b2>b2d^2 = a^2 + b^2 > b^2

האלכסון הוא היתר

נכון: האלכסון הוא היתר של משולש ישר זווית, ויתר ארוך מכל ניצב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת