מציאת ניצב

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

לפעמים דווקא היתר ידוע — כמו סולם, שאורכו לא משתנה — ומחפשים ניצב.

אותו משפט, רק שהנעלם יושב בצד הניצבים. לכן מחסרים: ריבוע היתר פחות ריבוע הניצב הידוע.

היתר הוא 13 ס״מ, וניצב אחד הוא 5 ס״מ. מהו אורך הניצב השני?

מציבים כרגיל, ואז מעבירים אגף.

52+b2=1325^2 + b^2 = 13^2

היתר תמיד לבד בצד ימין

25+b2=16925 + b^2 = 169

מחשבים את שני הריבועים

b2=169−25=144\begin{aligned}b^2 &= 169 - 25 \\ &= 144\end{aligned}

מעבירים אגף — כאן מחסרים, לא מחברים

b=144=12 ס״מ\begin{aligned}b &= \sqrt{144} \\ &= 12 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ומוציאים שורש

מחפשים יתר — מחברים. מחפשים ניצב — מחסרים. הניצב קצר מהיתר, אז התוצאה חייבת לרדת.

הטעות היחידה שבאמת נופלים בה כאן.

132+52=b2→b=194\begin{aligned}13^2 + 5^2 &= b^2 \rightarrow b \\ &= \sqrt{194}\end{aligned}
52+b2=132→b=144=12\begin{aligned}5^2 + b^2 &= 13^2 \rightarrow b \\ &= \sqrt{144} \\ &= 12\end{aligned}

מי שמחבר במקום לחסר מקבל ניצב גדול מהיתר — וזה בלתי אפשרי. אם התוצאה גדולה מהיתר, יש טעות.

יתר 13 וניצב 5 — מהו הניצב השני?

להציג את התשובה והפתרון

12: 169−25=144169 - 25 = 144. כשמחפשים ניצב — מחסרים, לא מחברים.

בדיקה מהירה: האם התשובה הגיונית?

ניצב תמיד קצר מהיתר. יצא ארוך יותר? חיברתם במקום לחסר.

יתר תמיד קצר מסכום הניצבים. ניצבים של 3 ס״מ ו-4 ס״מ לא נותנים יתר של 7 ס״מ.

מישהו חישב שהניצב השני הוא 15 ס״מ, כשהיתר הוא 13 ס״מ. מה אפשר להגיד בלי לבדוק את החישוב?

להציג את התשובה והפתרון

שהתשובה בטוח שגויה: ניצב לא יכול להיות ארוך מהיתר. כנראה שהוא חיבר את הריבועים במקום לחסר.

אתגר: שני משולשים עם צלע משותפת

לפעמים שני משולשים ישרי זווית חולקים צלע. פותרים קודם את הראשון — ומקבלים את הצלע המשותפת, שהיא הכניסה לשני.

ניצבים של 3 ס״מ ו-4 ס״מ, ועל היתר בנוי משולש שני עם ניצב של 12 ס״מ. מהו היתר של המשולש השני?

קודם הראשון, ורק אחר כך השני.

32+42=25→c=5\begin{aligned}3^2 + 4^2 &= 25 \rightarrow c \\ &= 5\end{aligned}

במשולש הראשון: היתר הוא 5 ס״מ

52+122=25+144=169\begin{aligned}5^2 + 12^2 &= 25 + 144 \\ &= 169\end{aligned}

במשולש השני ה-5 ס״מ הוא ניצב, ו-12 ס״מ הניצב השני

e=169=13 ס״מ\begin{aligned}e &= \sqrt{169} \\ &= 13 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ושורש

פעם מחברים ופעם מחסרים — ותמיד מתחילים מהצלע המשותפת.

יתר או ניצב: מחברים או מחסרים?

לפני כל חישוב שואלים: הצלע שמחפשים נמצאת מול הזווית הישרה? מחברים. לא? מחסרים.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש ישר זווית היתר הוא 13 ס״מ ואחד הניצבים הוא 5 ס״מ. מהו אורך הניצב השני, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

52+b2=1325^2 + b^2 = 13^2

היתר תמיד לבד בצד אחד

b2=169−25=144\begin{aligned}b^2 &= 169 - 25 \\ &= 144\end{aligned}

מעבירים אגף — כאן מחסרים

b=144=12\begin{aligned}b &= \sqrt{144} \\ &= 12\end{aligned}

ומוציאים שורש: הניצב השני הוא 12 ס״מ

הניצב חייב לצאת קטן מהיתר. תוצאה גדולה מהיתר פירושה שחיברתם במקום לחסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש ישר זווית היתר הוא 10 ס״מ ואחד הניצבים הוא 6 ס״מ. מהו אורך הניצב השני, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

62+b2=1026^2 + b^2 = 10^2

היתר תמיד לבד בצד אחד

b2=100−36=64\begin{aligned}b^2 &= 100 - 36 \\ &= 64\end{aligned}

מעבירים אגף — כאן מחסרים

b=64=8\begin{aligned}b &= \sqrt{64} \\ &= 8\end{aligned}

ומוציאים שורש: הניצב השני הוא 8 ס״מ

הניצב חייב לצאת קטן מהיתר. תוצאה גדולה מהיתר פירושה שחיברתם במקום לחסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש ישר זווית היתר הוא 25 ס״מ ואחד הניצבים הוא 7 ס״מ. מהו אורך הניצב השני, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

72+b2=2527^2 + b^2 = 25^2

היתר תמיד לבד בצד אחד

b2=625−49=576\begin{aligned}b^2 &= 625 - 49 \\ &= 576\end{aligned}

מעבירים אגף — כאן מחסרים

b=576=24\begin{aligned}b &= \sqrt{576} \\ &= 24\end{aligned}

ומוציאים שורש: הניצב השני הוא 24 ס״מ

הניצב חייב לצאת קטן מהיתר. תוצאה גדולה מהיתר פירושה שחיברתם במקום לחסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש ישר זווית היתר הוא 17 ס״מ ואחד הניצבים הוא 8 ס״מ. מהו אורך הניצב השני, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

82+b2=1728^2 + b^2 = 17^2

היתר תמיד לבד בצד אחד

b2=289−64=225\begin{aligned}b^2 &= 289 - 64 \\ &= 225\end{aligned}

מעבירים אגף — כאן מחסרים

b=225=15\begin{aligned}b &= \sqrt{225} \\ &= 15\end{aligned}

ומוציאים שורש: הניצב השני הוא 15 ס״מ

הניצב חייב לצאת קטן מהיתר. תוצאה גדולה מהיתר פירושה שחיברתם במקום לחסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש ישר זווית היתר הוא 15 ס״מ ואחד הניצבים הוא 9 ס״מ. מהו אורך הניצב השני, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

92+b2=1529^2 + b^2 = 15^2

היתר תמיד לבד בצד אחד

b2=225−81=144\begin{aligned}b^2 &= 225 - 81 \\ &= 144\end{aligned}

מעבירים אגף — כאן מחסרים

b=144=12\begin{aligned}b &= \sqrt{144} \\ &= 12\end{aligned}

ומוציאים שורש: הניצב השני הוא 12 ס״מ

הניצב חייב לצאת קטן מהיתר. תוצאה גדולה מהיתר פירושה שחיברתם במקום לחסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש ישר זווית היתר הוא 5 ס״מ ואחד הניצבים הוא 3 ס״מ. מהו אורך הניצב השני, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

32+b2=523^2 + b^2 = 5^2

היתר תמיד לבד בצד אחד

b2=25−9=16\begin{aligned}b^2 &= 25 - 9 \\ &= 16\end{aligned}

מעבירים אגף — כאן מחסרים

b=16=4\begin{aligned}b &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

ומוציאים שורש: הניצב השני הוא 4 ס״מ

הניצב חייב לצאת קטן מהיתר. תוצאה גדולה מהיתר פירושה שחיברתם במקום לחסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש ישר זווית היתר הוא 26 ס״מ ואחד הניצבים הוא 24 ס״מ. מהו אורך הניצב השני, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

242+b2=26224^2 + b^2 = 26^2

היתר תמיד לבד בצד אחד

b2=676−576=100\begin{aligned}b^2 &= 676 - 576 \\ &= 100\end{aligned}

מעבירים אגף — כאן מחסרים

b=100=10\begin{aligned}b &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

ומוציאים שורש: הניצב השני הוא 10 ס״מ

הניצב חייב לצאת קטן מהיתר. תוצאה גדולה מהיתר פירושה שחיברתם במקום לחסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש ישר זווית היתר הוא 41 ס״מ ואחד הניצבים הוא 9 ס״מ. מהו אורך הניצב השני, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

92+b2=4129^2 + b^2 = 41^2

היתר תמיד לבד בצד אחד

b2=1681−81=1600\begin{aligned}b^2 &= 1681 - 81 \\ &= 1600\end{aligned}

מעבירים אגף — כאן מחסרים

b=1600=40\begin{aligned}b &= \sqrt{1600} \\ &= 40\end{aligned}

ומוציאים שורש: הניצב השני הוא 40 ס״מ

הניצב חייב לצאת קטן מהיתר. תוצאה גדולה מהיתר פירושה שחיברתם במקום לחסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מסך טלוויזיה שאלכסונו 50 אינץ׳ ורוחבו 40 אינץ׳. מה גובהו, באינצ׳ים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

האלכסון=היתר=50\begin{aligned}\text{האלכסון} &= \text{היתר} \\ &= 50\end{aligned}

האלכסון הוא תמיד היתר

402+h2=50240^2 + h^2 = 50^2

הרוחב והגובה הם הניצבים

h2=2500−1600=900→h=30 אינץ׳\begin{aligned}h^2 &= 2500 - 1600 \\ &= 900 \quad \rightarrow\quad h \\ &= 30 \text{ אינץ׳}\end{aligned}

מחסרים ואז שורש

גודל של מסך תמיד נמדד באלכסון — כלומר לפי היתר. זו הסיבה ששני מסכים «באותו גודל» יכולים להיראות שונים לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש ישר זווית היתר הוא 13 ס״מ וניצב אחד הוא 5 ס״מ. תלמיד ענה שהניצב השני הוא 194\sqrt{194} ס״מ. איך אפשר לדעת מיד שהוא טעה, בלי לחשב?

  1. כי 194\sqrt{194} גדול מ-13, וניצב לא יכול להיות ארוך מהיתר
  2. כי 194 אינו מתחלק ב-5
  3. כי 194\sqrt{194} אינו מספר שלם
  4. אי אפשר לדעת בלי לחשב
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כי 194\sqrt{194} גדול מ-13, וניצב לא יכול להיות ארוך מהיתר

הפתרון:

194≈13.9>13\sqrt{194} \approx 13.9 > 13

התוצאה גדולה מהיתר

52+b2=132→b=12\begin{aligned}5^2 + b^2 &= 13^2 \quad \rightarrow\quad b \\ &= 12\end{aligned}

התשובה הנכונה

הוא חיבר במקום לחסר. הבדיקה הזאת שווה זהב במבחן: היתר תמיד הכי ארוך, אז ניצב שיוצא גדול ממנו מסגיר טעות מיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

במשולש ישר זווית היתר הוא 50 ס״מ וניצב אחד הוא 40 ס״מ. חשבו את אורך הניצב השני xx, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

x2=502−402=2500−1600=900\begin{aligned}x^2 &= 50^2 - 40^2 \\ &= 2500 - 1600 \\ &= 900\end{aligned}

מחפשים ניצב — מחסרים

x=900=30 ס״מ\begin{aligned}x &= \sqrt{900} \\ &= 30 \text{ ס״מ}\end{aligned}

שוב השלשה 30,40,5030, 40, 50

זו השלשה 3,4,53,4,5 כפול 10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במשולש ישר זווית היתר הוא 28 ס״מ וניצב אחד הוא 10 ס״מ. מהו בקירוב אורך הניצב השני xx?

  1. 684≈26.2\sqrt{684} \approx 26.2 ס״מ
  2. 26 ס״מ
  3. 18 ס״מ
  4. 884≈29.7\sqrt{884} \approx 29.7 ס״מ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 684≈26.2\sqrt{684} \approx 26.2 ס״מ

הפתרון:

x2=282−102=784−100=684\begin{aligned}x^2 &= 28^2 - 10^2 \\ &= 784 - 100 \\ &= 684\end{aligned}

ניצב — מחסרים

x=684≈26.2 ס״מx = \sqrt{684} \approx 26.2 \text{ ס״מ}

לא כל תשובה יוצאת מספר שלם!

מי שקיבל 884\sqrt{884} חיבר במקום לחסר — וקיבל «ניצב» גדול מהיתר, בלתי אפשרי. ו-18 זה 28−1028-10: אין חיסור צלעות בפיתגורס, רק חיסור ריבועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

PQRS
PQ=12PQ = 12 ס״מ, QR=14QR = 14 ס״מ, PR=yPR = y, PS=4PS = 4 ס״מ, SR=xSR = x

בציור שני משולשים ישרי זווית: בגדול הניצבים הם yy ו-12 ס״מ, והיתר 14 ס״מ. הקטן בנוי על yy כיתר, עם ניצבים xx ו-4 ס״מ. חשבו את xx, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

y2=142−122=52\begin{aligned}y^2 &= 14^2 - 12^2 \\ &= 52\end{aligned}

מהמשולש הגדול. שימו לב — לא חייבים את yy עצמו!

x2=y2−42=52−16=36\begin{aligned}x^2 &= y^2 - 4^2 \\ &= 52 - 16 \\ &= 36\end{aligned}

מציבים את y2y^2 ישירות במשולש הקטן

x=6 ס״מx = 6 \text{ ס״מ}

שורש

טריק יפה: y=52y = \sqrt{52} אינו מספר שלם, אבל בכלל לא צריך אותו — עובדים עם y2y^2 כמו שהוא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ADCB
AD=8AD = 8 ס״מ, DC=yDC = y, CB=24CB = 24 ס״מ, AB=30AB = 30 ס״מ, BD=xBD = x

בציור: משולש ישר זווית שניצביו 8+y8 + y (הצלע האנכית כולה, בס״מ) ו-24 ס״מ, והיתר 30 ס״מ. חשבו את yy, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

(8+y)2=302−242=324\begin{aligned}(8+y)^2 &= 30^2 - 24^2 \\ &= 324\end{aligned}

הניצב האנכי כולו — מחסרים

8+y=324=18\begin{aligned}8 + y &= \sqrt{324} \\ &= 18\end{aligned}

שורש

y=10 ס״מy = 10 \text{ ס״מ}

ומחסרים את ה-8

הצלע בציור מחולקת לשניים — 8 למעלה ו-yy למטה — אבל בפיתגורס משתתפת הצלע כולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

ADCB
AD=8AD = 8 ס״מ, DC=yDC = y, CB=24CB = 24 ס״מ, AB=30AB = 30 ס״מ, BD=xBD = x

בהמשך לתרגיל הקודם: xx הוא היתר של המשולש הפנימי, שניצביו y=10y = 10 ס״מ ו-24 ס״מ. חשבו את xx, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26

הפתרון:

x2=102+242=676\begin{aligned}x^2 &= 10^2 + 24^2 \\ &= 676\end{aligned}

הפעם מחפשים יתר — מחברים

x=676=26 ס״מ\begin{aligned}x &= \sqrt{676} \\ &= 26 \text{ ס״מ}\end{aligned}

השלשה 10,24,2610, 24, 26

באותו ציור אחד: פעם חיסרנו (מצאנו ניצב) ופעם חיברנו (מצאנו יתר).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ABHC
AH=16AH = 16 ס״מ, AB=20AB = 20 ס״מ, AC=34AC = 34 ס״מ, BH=yBH = y, HC=xHC = x

משולש שבו הגובה לבסיס הוא 16 ס״מ, הצלע השמאלית 20 ס״מ והימנית 34 ס״מ. הגובה מחלק את הבסיס ל-yy (משמאל) ו-xx (מימין). חשבו את yy, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

y2=202−162=144\begin{aligned}y^2 &= 20^2 - 16^2 \\ &= 144\end{aligned}

הגובה יוצר שני משולשים ישרי זווית. בשמאלי: 20 יתר, 16 ניצב

y=12 ס״מy = 12 \text{ ס״מ}

שורש

גובה במשולש הוא מכונה לייצור זוויות ישרות — ולכן כמעט תמיד סימן לפיתגורס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ABHC
AH=16AH = 16 ס״מ, AB=20AB = 20 ס״מ, AC=34AC = 34 ס״מ, BH=yBH = y, HC=xHC = x

באותו משולש (גובה 16 ס״מ, צלע ימנית 34 ס״מ): חשבו את xx, החלק הימני של הבסיס, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

x2=342−162=1156−256=900\begin{aligned}x^2 &= 34^2 - 16^2 \\ &= 1156 - 256 \\ &= 900\end{aligned}

במשולש הימני: 34 יתר, 16 ניצב

x=30 ס״מx = 30 \text{ ס״מ}

והבסיס כולו: 12+30=4212 + 30 = 42 ס״מ

השלשה 16,30,3416, 30, 34 היא 8,15,178, 15, 17 כפול 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

סולם באורך 10 מטר נשען על קיר. רגל הסולם נמצאת 6 מטר מהקיר. לאיזה גובה, במטרים, מגיע הסולם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

62+h2=1026^2 + h^2 = 10^2

הסולם הוא היתר; הקיר והרצפה יוצרים את הזווית הישרה

h2=100−36=64\begin{aligned}h^2 &= 100 - 36 \\ &= 64\end{aligned}

מחפשים ניצב — מחסרים

h=64=8 מטר\begin{aligned}h &= \sqrt{64} \\ &= 8 \text{ מטר}\end{aligned}

ושורש

8 מטר — פחות מ-10 מטר, כמו שצריך: ניצב תמיד קצר מהיתר. זו השלשה 3-4-5 כפול 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

במשולש ישר זווית היתר הוא 20 ס״מ וניצב אחד הוא 12 ס״מ. בלי לחשב עד הסוף — איזו מהתשובות יכולה בכלל להיות אורך הניצב השני?

  1. 23.3 ס״מ
  2. 20 ס״מ
  3. 16 ס״מ
  4. 32 ס״מ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 16 ס״מ

הפתרון:

ניצב<20\text{ניצב} < 20

23.3, 32 ו-20 אינם קצרים מהיתר — נפסלים מיד

202−122=400−144=256=162\begin{aligned}20^2 - 12^2 &= 400 - 144 \\ &= 256 \\ &= 16^2\end{aligned}

והבדיקה מאשרת: 16 ס״מ

ניצב חייב להיות קצר מהיתר — גם לא שווה לו. 23.3 ס״מ הוא מה שמקבל מי שחיבר את הריבועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

שני משולשים ישרי זווית צמודים: היתר של הראשון הוא ניצב של השני. בראשון הניצבים הם 4 ס״מ ו-3 ס״מ, ובשני הניצב הנוסף הוא 12 ס״מ. מהו אורך היתר של המשולש השני, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

c2=42+32=25→c=5\begin{aligned}c^2 &= 4^2 + 3^2 \\ &= 25 \rightarrow c \\ &= 5\end{aligned}

היתר של הראשון: 5 ס״מ

e2=52+122=169\begin{aligned}e^2 &= 5^2 + 12^2 \\ &= 169\end{aligned}

הוא ניצב בשני

e=13 ס״מe = 13 \text{ ס״מ}

שורש

שתי שלשות מוכרות ברצף: 3-4-5, ואז 5-12-13.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

שני משולשים ישרי זווית צמודים: היתר של הראשון הוא ניצב של השני. בראשון הניצבים הם 8 ס״מ ו-6 ס״מ. בשני היתר הוא 26 ס״מ. מהו אורך הניצב הנוסף של המשולש השני, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

c2=82+62=100→c=10\begin{aligned}c^2 &= 8^2 + 6^2 \\ &= 100 \rightarrow c \\ &= 10\end{aligned}

היתר של הראשון: 10 ס״מ

d2=262−102=676−100=576\begin{aligned}d^2 &= 26^2 - 10^2 \\ &= 676 - 100 \\ &= 576\end{aligned}

בשני מחפשים ניצב — מחסרים

d=24 ס״מd = 24 \text{ ס״מ}

שורש

פעם מחברים (יתר בראשון) ופעם מחסרים (ניצב בשני) — באותה שאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

שני משולשים ישרי זווית צמודים: היתר של הראשון הוא ניצב של השני. בראשון הניצבים הם 1 ס״מ ו-1 ס״מ, ובשני הניצב הנוסף הוא 1 ס״מ. מהו אורך היתר של המשולש השני, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.73

הפתרון:

c2=1+1=2\begin{aligned}c^2 &= 1 + 1 \\ &= 2\end{aligned}

לא צריך את cc עצמו — מספיק c2c^2

e2=c2+12=2+1=3\begin{aligned}e^2 &= c^2 + 1^2 \\ &= 2 + 1 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את c2c^2 ישר במשולש השני

e=3≈1.73 ס״מe = \sqrt{3} \approx 1.73 \text{ ס״מ}

שורש

הטריק: עובדים עם c2=2c^2 = 2 כמו שהוא, בלי להוציא שורש באמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

שני משולשים צמודים, והיתר של הראשון הוא ניצב של השני. סדרו את השלבים למציאת היתר של השני

  • מוצאים את היתר של המשולש הראשון
  • מוציאים שורש
  • מזהים שהוא ניצב במשולש השני
  • מציבים בפיתגורס של המשולש השני
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מוצאים את היתר של המשולש הראשון · מזהים שהוא ניצב במשולש השני · מציבים בפיתגורס של המשולש השני · מוציאים שורש

הפתרון:

c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2

במשולש הראשון

e2=c2+d2e^2 = c^2 + d^2

ובשני, כש-cc הוא ניצב

הצלע המשותפת היא הגשר: בלעדיה אי אפשר להיכנס למשולש השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

התאימו כל מצב לפעולה הנכונה

  • מחפשים יתר
  • מחפשים ניצב
  • אחרי החיבור או החיסור
  • יצא ניצב ארוך מהיתר
  • חיברנו במקום לחסר
  • מוציאים שורש
  • מחברים את ריבועי הניצבים
  • מחסרים את ריבוע הניצב מריבוע היתר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מחפשים יתר — מחברים את ריבועי הניצבים · מחפשים ניצב — מחסרים את ריבוע הניצב מריבוע היתר · אחרי החיבור או החיסור — מוציאים שורש · יצא ניצב ארוך מהיתר — חיברנו במקום לחסר

הפתרון:

c2=a2+b2b2=c2−a2\begin{aligned}c^2 &= a^2 + b^2 \qquad b^2 \\ &= c^2 - a^2\end{aligned}

יתר — מחברים; ניצב — מחסרים

שתי פעולות, ושורש אחד בסוף — ובדיקה שהתוצאה הגיונית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

במשולש ישר זווית יכול להיות ניצב באורך 10 ס״מ כשהיתר גם הוא 10 ס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

102−102=010^2 - 10^2 = 0

הניצב השני היה יוצא 0

לא נכון: היתר תמיד ארוך מכל אחד מהניצבים — אחרת אין משולש בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

במשולש ישר זווית היתר הוא 17 ס״מ וניצב אחד הוא 8 ס״מ. חשבו את אורך הניצב השני, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

b2=172−82=289−64=225\begin{aligned}b^2 &= 17^2 - 8^2 \\ &= 289 - 64 \\ &= 225\end{aligned}

מחפשים ניצב: מחסרים

b=225=15 ס״מ\begin{aligned}b &= \sqrt{225} \\ &= 15 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ושורש

15 ס״מ קצר מ-17 ס״מ, כמו שצריך. השלשה 8,15,178, 15, 17.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

במשולש ישר זווית היתר הוא 25 ס״מ וניצב אחד הוא 24 ס״מ. חשבו את אורך הניצב השני, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

a2=252−242=625−576=49\begin{aligned}a^2 &= 25^2 - 24^2 \\ &= 625 - 576 \\ &= 49\end{aligned}

מחסרים

a=49=7 ס״מ\begin{aligned}a &= \sqrt{49} \\ &= 7 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ושורש

ניצב ויתר כמעט שווים? הניצב השני קצר מאוד. השלשה 7,24,257, 24, 25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

במשולש ישר זווית היתר הוא 10 ס״מ וניצב אחד הוא 7 ס״מ. מהו אורך הניצב השני, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.14

הפתרון:

b2=102−72=100−49=51\begin{aligned}b^2 &= 10^2 - 7^2 \\ &= 100 - 49 \\ &= 51\end{aligned}

מחסרים

b=51≈7.14 ס״מb = \sqrt{51} \approx 7.14 \text{ ס״מ}

שורש, ומעגלים

בדיקת היגיון: 72=49<51<64=827^2 = 49 < 51 < 64 = 8^2, ולכן הניצב בין 7 ל-8 ס״מ, וקצר מ-10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

סולם באורך 6.5 מטר נשען על קיר. רגל הסולם נמצאת 2.5 מטר מהקיר. לאיזה גובה מגיע הסולם?

  1. 48.5≈6.96\sqrt{48.5} \approx 6.96 מטר
  2. 9 מטר
  3. 4 מטר
  4. 6 מטר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 6 מטר

הפתרון:

h2=6.52−2.52=42.25−6.25=36\begin{aligned}h^2 &= 6.5^2 - 2.5^2 \\ &= 42.25 - 6.25 \\ &= 36\end{aligned}

מחפשים ניצב: מחסרים

h=36=6 מטר\begin{aligned}h &= \sqrt{36} \\ &= 6 \text{ מטר}\end{aligned}

שורש

48.5\sqrt{48.5} הוא של מי שחיבר: יוצא ארוך מהסולם עצמו. 4 מטר הוא 6.5−2.56.5 - 2.5: אין חיסור צלעות בפיתגורס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

היתר הוא 41 ס״מ וניצב אחד הוא 40 ס״מ. השלימו

היתר הוא 41 ס״מ וניצב אחד הוא 40 ס״מ: 412−40241^2 - 40^2 = ____, ולכן הניצב השני הוא ____ ס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: היתר הוא 41 ס״מ וניצב אחד הוא 40 ס״מ: 412−40241^2 - 40^2 = 81, ולכן הניצב השני הוא 9 ס״מ.

הפתרון:

1681−1600=811681 - 1600 = 81

מחסרים את הריבועים

81=9\sqrt{81} = 9

שורש

השלשה 9,40,419, 40, 41. 81 הוא ריבוע הניצב, לא הניצב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 31

השלימו את הטבלה: בכל שורה היתר וניצב אחד של משולש ישר זווית, בס״מ.

היתר ccניצב aab2b^2הניצב bb
13131212________
29292121________
61611111________
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1313: 25, 5 · 2929: 400, 20 · 6161: 3600, 60

הפתרון:

169−144=25→5169 - 144 = 25 \rightarrow 5
841−441=400→20841 - 441 = 400 \rightarrow 20
3721−121=3600→603721 - 121 = 3600 \rightarrow 60

בכל שורה מחסרים: ריבוע היתר פחות ריבוע הניצב, ורק אז שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

היתר הוא 15 ס״מ וניצב אחד הוא 9 ס״מ. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

b2=152+92b^2 = 15^2 + 9^2
b2=225+81=306\begin{aligned}b^2 &= 225 + 81 \\ &= 306\end{aligned}
b=306≈17.5b = \sqrt{306} \approx 17.5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: b2=152+92b^2 = 15^2 + 9^2 → b2=152−92=144  →  b=12b^2 = 15^2 - 9^2 = 144 \;\rightarrow\; b = 12

הפתרון:

b2=225−81=144\begin{aligned}b^2 &= 225 - 81 \\ &= 144\end{aligned}

מחפשים ניצב: מחסרים

b=12 ס״מb = 12 \text{ ס״מ}

השלשה 9,12,159, 12, 15

הטעות כבר בשורה הראשונה: חיבור במקום חיסור. התוצאה 17.5 ארוכה מהיתר, וזה הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

אם היתר הוא 10 ס״מ וניצב אחד הוא 6 ס״מ, הניצב השני הוא 4 ס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

b2=100−36=64→b=8\begin{aligned}b^2 &= 100 - 36 \\ &= 64 \rightarrow b \\ &= 8\end{aligned}

מחסרים ריבועים

לא נכון: 4 הוא 10−610 - 6, חיסור של צלעות. מחסרים ריבועים, והניצב הוא 8 ס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 34

מסך שאלכסונו 65 אינץ׳ ורוחבו 52 אינץ׳. מה גובהו, באינצ׳ים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 39

הפתרון:

h2=652−522=4225−2704=1521\begin{aligned}h^2 &= 65^2 - 52^2 \\ &= 4225 - 2704 \\ &= 1521\end{aligned}

האלכסון הוא היתר: מחסרים

h=1521=39 אינץ׳\begin{aligned}h &= \sqrt{1521} \\ &= 39 \text{ אינץ׳}\end{aligned}

שורש

39,52,6539, 52, 65 היא 3,4,53, 4, 5 כפול 13. מסך רגיל הוא בערך 3:43 : 4, ולכן השלשה הזאת חוזרת בהרבה מסכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 35

חוט של עפיפון מתוח בקו ישר, ואורכו 50 מטר. העפיפון נמצא בדיוק מעל נקודה שרחוקה 40 מטר מהילדה. באיזה גובה העפיפון, במטרים? (בלי גובה הילדה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

h2=502−402=2500−1600=900\begin{aligned}h^2 &= 50^2 - 40^2 \\ &= 2500 - 1600 \\ &= 900\end{aligned}

החוט הוא היתר

h=30 מטרh = 30 \text{ מטר}

שורש

הגובה מאונך לקרקע, ולכן יש זווית ישרה מתחת לעפיפון. החוט, שמולה, הוא היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 36

מיינו: באיזו שאלה מחברים, ובאיזו מחסרים?

  • מחברים
  • מחסרים
  • הליכה צפונה ואז מזרחה: מחפשים את המרחק בקו ישר
  • ידועים היתר וניצב, מחפשים את הניצב השני
  • ידועים שני הניצבים, מחפשים את היתר
  • מלבן: ידועים האורך והרוחב, מחפשים את האלכסון
  • מסך: ידועים האלכסון והרוחב, מחפשים את הגובה
  • סולם נשען על קיר: ידוע הגובה, מחפשים את המרחק מהקיר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ידועים שני הניצבים, מחפשים את היתר — מחברים · ידועים היתר וניצב, מחפשים את הניצב השני — מחסרים · סולם נשען על קיר: ידוע הגובה, מחפשים את המרחק מהקיר — מחסרים · מלבן: ידועים האורך והרוחב, מחפשים את האלכסון — מחברים · מסך: ידועים האלכסון והרוחב, מחפשים את הגובה — מחסרים · הליכה צפונה ואז מזרחה: מחפשים את המרחק בקו ישר — מחברים

הפתרון:

c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2

מחפשים יתר

b2=c2−a2b^2 = c^2 - a^2

מחפשים ניצב

השאלה היחידה: האם הצלע שמחפשים היא מול הזווית הישרה? אם כן, מחברים. אם לא, מחסרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 37

ACDB
AC=12AC = 12 ס״מ, AD=13AD = 13 ס״מ, AB=20AB = 20 ס״מ, CD=xCD = x, DB=yDB = y

בשרטוט: AC=12AC = 12 ס״מ, AD=13AD = 13 ס״מ, AB=20AB = 20 ס״מ, והזווית CC ישרה. מצאו קודם את xx, אורך CDCD, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x2=132−122=169−144=25\begin{aligned}x^2 &= 13^2 - 12^2 \\ &= 169 - 144 \\ &= 25\end{aligned}

במשולש ACDACD: ADAD היתר

x=5 ס״מx = 5 \text{ ס״מ}

שורש

מתחילים מהמשולש הקטן, שבו שתי צלעות ידועות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 38

ACDB
AC=12AC = 12 ס״מ, AD=13AD = 13 ס״מ, AB=20AB = 20 ס״מ, CD=xCD = x, DB=yDB = y

באותו שרטוט (AC=12AC = 12 ס״מ, AB=20AB = 20 ס״מ, CD=5CD = 5 ס״מ): מצאו את yy, אורך DBDB, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

CB2=202−122=400−144=256\begin{aligned}CB^2 &= 20^2 - 12^2 \\ &= 400 - 144 \\ &= 256\end{aligned}

במשולש ACBACB: ABAB היתר

CB=16CB = 16

שורש

y=CB−CD=16−5=11 ס״מ\begin{aligned}y &= CB - CD \\ &= 16 - 5 \\ &= 11 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ומחסרים את הקטע

פיתגורס נותן את CBCB כולה. yy הוא רק חלק ממנה, ולכן מחסרים את xx בסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 39

במשולש ישר זווית היתר הוא 26 ס״מ וניצב אחד הוא 10 ס״מ. מצאו את הניצב השני, ואז חשבו את היקף המשולש, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

b2=262−102=676−100=576→b=24\begin{aligned}b^2 &= 26^2 - 10^2 \\ &= 676 - 100 \\ &= 576 \rightarrow b \\ &= 24\end{aligned}

קודם הניצב החסר

P=10+24+26=60 ס״מ\begin{aligned}P &= 10 + 24 + 26 \\ &= 60 \text{ ס״מ}\end{aligned}

היקף: סכום שלוש הצלעות

ההיקף מחבר את הצלעות עצמן, לא את הריבועים. פיתגורס רק משלים את הצלע החסרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת