תרגול · יחס, פרופורציה וקנה מידה · כיתה ח׳

עשרה תרגילים על כל הפרק: צמצום יחס, יחידות, חלוקה ביחס נתון, פרופורציה ישרה והפוכה, קנה מידה, ויחס בגאומטריה. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

צמצמו את היחס $28 : 42$

$14 : 21$
$3 : 2$
$2 : 3$
$4 : 6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $2 : 3$

הפתרון:

\begin{aligned}28 : 42 &= (28 : 14) : (42 : 14) \\ &= 2 : 3\end{aligned}

מחלקים את שני הצדדים ב-14

2 ו-3 זרים, ולכן זו הצורה המצומצמת. $14 : 21$ ו- $4 : 6$ עדיין ניתנים לצמצום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו את הפרופורציה: $\frac{5}{8} = \frac{x}{32}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

8x = 5 \cdot 32

כפל בהצלבה

\begin{aligned}8x &= 160 \quad\Rightarrow\quad x \\ &= 20\end{aligned}

בדיקה: $\frac{20}{32} = \frac{5}{8}$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

היחס $3 : 5$ לא ישתנה אם נוסיף 2 לכל אחד משני הגדלים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

3 : 5 = 0.6

5 : 7 \approx 0.71

אחרי ההוספה

מותר לכפול או לחלק את שני הצדדים, אבל חיבור משנה את היחס — חוץ מהיחס $1:1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

אורך רחוב הרצל $1.8$ ק״מ, ואורך סמטה שיוצאת ממנו 400 מטר. מהו המספר הראשון ביחס המצומצם רחוב : סמטה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

1.8 \text{ק״מ} = 1800 \text{מטר}

קודם יחידות — הכול במטרים

1800 : 400 = 9 : 2

מחלקים ב-200

היחס המצומצם הוא $9 : 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

סבתא חילקה 480 ש״ח בין שתי נכדות ביחס $5 : 7$ . כמה ש״ח קיבלה הנכדה שקיבלה פחות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 200

הפתרון:

5 + 7 = 12

מספר החלקים

480 : 12 = 40

חלק אחד

5 \cdot 40 = 200

הנכדה השנייה קיבלה $7 \cdot 40 = 280$ , ו- $200 + 280 = 480$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במפה בקנה מידה $1 : 40{,}000$ המרחק בין שתי תחנות רכבת הוא $7.5$ ס״מ. מהו המרחק האמיתי, בק״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

7.5 \times 40{,}000 = 300{,}000 \text{ס״מ}

כל ס״מ במפה הוא 40,000 ס״מ במציאות

300{,}000 \text{ס״מ} = 3 \text{ק״מ}

מחלקים ב-100,000

בדיקה: המציאות יצאה גדולה מהמפה ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

3 משאבות מרוקנות בריכה ב-12 שעות. בכמה שעות ירוקנו את אותה בריכה 9 משאבות זהות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

3 \cdot 12 = 36

יחס הפוך — המכפלה קבועה

\begin{aligned}9 \cdot t &= 36 \quad\Rightarrow\quad t \\ &= 4\end{aligned}

יותר משאבות — פחות זמן. פי 3 משאבות, שליש מהזמן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

מגדילים תמונה כך שכל אחת מצלעותיה גדלה פי 3. שטח התמונה המקורית 40 סמ״ר. מהו שטח התמונה המוגדלת?

120 סמ״ר
43 סמ״ר
1,080 סמ״ר
360 סמ״ר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 360 סמ״ר

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= k^2 \\ &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}

שטח הוא אורך כפול אורך

40 \cdot 9 = 360

ההיקף גדל פי 3, אבל השטח גדל פי 9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

היחס בין מספר הספרים של נועה למספר הספרים של תמר הוא $7 : 4$ . לנועה יש 15 ספרים יותר מלתמר. כמה ספרים יש לשתיהן יחד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 55

הפתרון:

7 - 4 = 3

ההפרש שווה ל-3 חלקים

15 : 3 = 5

חלק אחד

(7 + 4) \cdot 5 = 55

יחד יש 11 חלקים

לנועה 35 ספרים ולתמר 20: $35 - 20 = 15$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ , ו- $BD : DC = 3 : 4$ . שטח המשולש $ABD$ הוא 24 סמ״ר. מהו שטח המשולש $ABC$ , בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 56

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABD} : S_{ADC} &= BD : DC \\ &= 3 : 4\end{aligned}

לשני המשולשים אותו גובה מ- $A$

24 : 3 = 8

חלק אחד

\begin{aligned}S_{ABC} &= 7 \cdot 8 \\ &= 56\end{aligned}

כל המשולש — 7 חלקים

שטח $ADC$ הוא 32 סמ״ר, ו- $24 + 32 = 56$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה א — קל

תרגיל 11

אותו יחס כמו $3 : 4$ , או יחס אחר?

אותו יחס
יחס אחר

$30 : 40$
$4 : 3$
$4 : 5$
$5 : 6$
$6 : 8$
$9 : 12$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $6 : 8$ — אותו יחס · $9 : 12$ — אותו יחס · $4 : 5$ — יחס אחר · $4 : 3$ — יחס אחר · $30 : 40$ — אותו יחס · $5 : 6$ — יחס אחר

הפתרון:

9 : 12 = 3 : 4

מחלקים ב-3

4 : 5 \neq 3 : 4

הוסיפו 1 לכל צד

$4 : 3$ הוא היחס ההפוך. הסדר חשוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

צבעו משבצות כך שהיחס בין הצבועות ללבנות יהיה $3 : 1$ .

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

3 + 1 = 4

\frac{3}{4} \cdot 12 = 9

צבועות

9 צבועות ו-3 לבנות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

התאימו כל יחס לחלק של הצד הראשון מן השלם.

$1 : 3$
$2 : 3$
$3 : 5$
$1 : 1$

$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{2}{5}$
$\frac{3}{8}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $1 : 3$ — $\frac{1}{4}$ · $2 : 3$ — $\frac{2}{5}$ · $3 : 5$ — $\frac{3}{8}$ · $1 : 1$ — $\frac{1}{2}$

הפתרון:

3 : 5 \Rightarrow \frac{3}{3 + 5}

המכנה הוא הסכום

המכנה הוא תמיד סכום מספרי היחס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 14

במתכון: 3 ביצים לכל 2 כוסות קמח. השלימו.

ביצים	כוסות קמח
3	2
6	____
9	____
____	10
4.5	____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6: 4 · 9: 6 · 4.5: 3

הפתרון:

\begin{aligned}6 &= 3 \times 2 \Rightarrow 2 \times 2 \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}4.5 &= 3 \times 1.5 \Rightarrow 2 \times 1.5 \\ &= 3\end{aligned}

יחס ישר: פי כמה הביצים, פי כמה הקמח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

קטע באורך 24 מחולק ביחס $5 : 1$ (הארוך משמאל). סמנו את נקודת החלוקה.

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

5 + 1 = 6

\begin{aligned}24 : 6 &= 4 \ \\ \ 5 \times 4 &= 20\end{aligned}

החלקים 20 ו-4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

כדים של מיץ (תרכיז : מים). סדרו מהמרוכז ביותר למימי ביותר.

$1 : 1$
$1 : 3$
$2 : 3$
$3 : 1$
$3 : 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3 : 1$ · $3 : 2$ · $1 : 1$ · $2 : 3$ · $1 : 3$

הפתרון:

\frac{3}{4} > \frac{3}{5} > \frac{1}{2} > \frac{2}{5} > \frac{1}{4}

החלק של התרכיז

משווים את החלק של התרכיז בכד, לא את מספר הכוסות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

שורה אחת שגויה — מצאו אותה. נתון: מפה בקנה מידה $1 : 40{,}000$ , ועליה 5 ס״מ.

5 \times 40{,}000 = 200{,}000 \text{ ס״מ}

200{,}000 \text{ ס״מ} = 20 \text{ ק״מ}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $200{,}000 \text{ ס״מ} = 20 \text{ ק״מ}$ → $200{,}000 \text{ ס״מ} = 2 \text{ ק״מ}$

הפתרון:

200{,}000 : 100{,}000 = 2

ק״מ אחד הוא מאה אלף ס״מ

מחלקים במאה אלף, לא בעשרת אלפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 18

מוסיפים את אותו מספר חיובי לשני הצדדים של היחס $2 : 3$ . היחס החדש קרוב יותר ל- $1 : 1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{7}{8}

מוסיפים 1, ואחר כך 5

נכון. ככל שמוסיפים יותר, ההפרש הקבוע (1) נעשה קטן ביחס לגדלים — והיחס מתקרב ל- $1 : 1$ . זו בדיוק הסיבה שחיבור משנה יחס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

השטח 48 סמ״ר

הניצבים של משולש ישר זווית הם ביחס $2 : 3$ , והשטח 48 סמ״ר. כותבים את הניצבים $2x$ ו- $3x$ .

אז $3x^2 = 48$ , ולכן $x$ שווה ____, והניצב הארוך הוא ____ ס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אז $3x^2 = 48$ , ולכן $x$ שווה 4, והניצב הארוך הוא 12 ס״מ.

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{2x \cdot 3x}{2} &= 3x^2 \\ &= 48\end{aligned}

\begin{aligned}x^2 &= 16 \ \\ \ x &= 4\end{aligned}

3x = 12

בדיקה: $\frac{8 \cdot 12}{2} = 48$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

פתרו: $(3x + 2) : (2x + 3) = 4 : 3$

$x = 2$
$x = 10$
$x = 4$
$x = 6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x = 6$

הפתרון:

3(3x + 2) = 4(2x + 3)

כפל בהצלבה

9x + 6 = 8x + 12

x = 6

בדיקה: $20 : 15 = 4 : 3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev