היקף ושטח

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ראינו שההיקף נכפל ב- $k$ כמו כל צלע.

עם השטח קורה משהו אחר. זו הנקודה הכי מפתיעה בפרק.

\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = k^2

השטח נכפל ב- $k$ בריבוע. הגדלנו פי 3? ההיקף פי 3, והשטח פי 9.

יחס הדמיון 1:3. מהו יחס השטחים?

להציג את התשובה והפתרון

1:9 — יחס הדמיון בריבוע. השטח גדל בשני ממדים בבת אחת.

למה דווקא בריבוע

שטח משולש הוא בסיס כפול גובה, חלקי 2. בהגדלה פי $k$ גם הבסיס וגם הגובה נמתחים פי $k$ — שניהם.

שטח נמדד בשני כיוונים, וכל כיוון נמתח פי $k$ — לכן $k \times k = k^2$ ואין כאן כלל לשנן.

מגדילים משולש פי 4. פי כמה גדל השטח שלו?

להציג את התשובה והפתרון

פי 16, כי הבסיס פי 4 וגם הגובה פי 4: $4^2 = 16$

ובכיוון ההפוך

לפעמים נותנים את יחס השטחים, ומבקשים את יחס הצלעות.

אז עושים את הפעולה ההפוכה לריבוע: מוציאים שורש.

הטעות שנופלים בה כמעט תמיד בפעם הראשונה.

\text{יחס שטחים 9} \quad \rightarrow\quad \text{צלע גדולה פי 9}

\text{יחס שטחים 9} \quad \rightarrow\quad \text{צלע גדולה פי 3}

יחס השטחים הוא כבר בריבוע. כדי לחזור לצלעות מוציאים שורש, ולא משתמשים בו כמו שהוא.

יחס השטחים של שני משולשים דומים הוא 25. פי כמה גדולה הצלע?

להציג את התשובה והפתרון

פי 5: $\sqrt{25} = 5$ — לא פי 25.

שלושת היחסים ביחד

תרגילים

תרגיל 1

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 9. צלע במשולש הגדול היא 12 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 9 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 3\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

12 : 3 = 4

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-9 במקום ב-3. יחס השטחים כבר בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 4. צלע במשולש הגדול היא 10 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 4 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 2\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

10 : 2 = 5

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-4 במקום ב-2. יחס השטחים כבר בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 16. צלע במשולש הגדול היא 12 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 16 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 4\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

12 : 4 = 3

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-16 במקום ב-4. יחס השטחים כבר בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 25. צלע במשולש הגדול היא 10 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 25 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 5\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

10 : 5 = 2

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-25 במקום ב-5. יחס השטחים כבר בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 9. צלע במשולש הגדול היא 18 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 9 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 3\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

18 : 3 = 6

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-9 במקום ב-3. יחס השטחים כבר בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 4. צלע במשולש הגדול היא 14 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 4 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 2\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

14 : 2 = 7

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-4 במקום ב-2. יחס השטחים כבר בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שני משולשים דומים ביחס דמיון 4. שטח הקטן הוא 5 סמ״ר. מה שטח הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 4^2 \\ &= 16\end{aligned}

השטח נכפל ביחס בריבוע

5 \times 16 = 80

ולא פי 4

ההיקף היה נכפל פי 4 בלבד. השטח נכפל פי 16, כי הוא נמתח בשני כיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

משולש הוגדל פי 3. מה קרה להיקף ולשטח?

ההיקף פי 9, השטח פי 3
שניהם פי 9
ההיקף פי 3, השטח פי 9
שניהם פי 3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ההיקף פי 3, השטח פי 9

הפתרון:

P \times 3

היקף הוא סכום אורכים

S \times 3^2 = S \times 9

שטח הוא מכפלת שני אורכים

זה ההבדל היחיד שצריך לזכור בפרק, והוא נובע ישירות מכך ששטח נמדד בשני כיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 25. מהו יחס הדמיון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 25 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 5\end{aligned}

משטח לצלע — שורש

משטח לצלע מוציאים שורש; מצלע לשטח מעלים בריבוע. שני כיוונים של אותו קשר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

יחס דמיון 2:5 — מהו יחס השטחים? (כתבו את הגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\begin{aligned}2^2 &= 4 \\ \quad 5^2 &= 25\end{aligned}

כל צד של היחס — בריבוע

יחס השטחים הוא $4:25$ — והגדול הוא 25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

יחס שטחים 9:16 — מהו יחס הדמיון? (כתבו את הגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\sqrt{16} = 4

מול 3

מהשטחים אל הצלעות — שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

שטח המשולש הקטן 5 סמ״ר ויחס הדמיון 3. מהו שטח הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}

השטח פי $k$ בריבוע

5 \times 9 = 45

פי תשע — לא פי שלוש

מי שכופל ב-3 מקבל 15: זה מה שקורה להיקף, לא לשטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

יחס ההיקפים של דומים 2:7. מהו יחס הדמיון? (הגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

2:7

ההיקף גדל בדיוק כמו הצלעות

היקף — כמו יחס הדמיון; שטח — בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

מגדילים משולש פי 2 — פי כמה גדל שטחו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

2^2 = 4

הבסיס פי 2, וגם הגובה פי 2

ההיקף גדל פי היחס, אבל השטח גדל פי היחס בריבוע — כי הוא נמדד בשני ממדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

שטחי דומים 12 ו-48. צלע בקטן 5 — המתאימה בגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\frac{48}{12} = 4

יחס השטחים

\sqrt{4} = 2

יחס הדמיון — שורש

5 \times 2 = 10

הצלע בגדול

המלכודת: לכפול את 5 ב-4. יחס השטחים הוא כבר בריבוע, ולצלע חוזרים דרך השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

אותה צורה, וכל צלע פי

k

מלבן צלעותיו $k$ ו- $b$ ומלבן שני הדומה לו ביחס $k$ — צלעותיו $ka$ ו- $kb$ — הוכיחו שיחס השטחים הוא $k^2$

מלבן ראשון: צלעות $a, b$
מלבן שני: צלעות $ka, kb$

$\dfrac{S_2}{S_1} = k^2$

להציג את התשובה והפתרון

$S_1 = a \cdot b$ — שטח מלבן — אורך כפול רוחב
$S_2 = ka \cdot kb$ — שטח מלבן — אורך כפול רוחב
$S_2 = k^2 \cdot ab$ — סידור הגורמים: $k \cdot k = k^2$
$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{k^2 \cdot ab}{ab}$ — חלוקה ב- $S_1$
$\dfrac{S_2}{S_1} = k^2$ — צמצום $ab$ — כל צלע גדלה פי $k$ והשטח פי $k$ פעמיים

הפתרון:

\begin{aligned}S_1 &= ab \quad \\ \quad S_2 &= ka \cdot kb \\ &= k^2 ab\end{aligned}

שטח מלבן בשני המלבנים

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{k^2 ab}{ab} \\ &= k^2\end{aligned}

מחלקים ומצמצמים

כל צלע גדלה פי $k$ והשטח הוא מכפלה של שתי צלעות — לכן הוא גדל פי $k$ פעמיים, כלומר פי $k^2$

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

יחס הדמיון בין שני משולשים הוא 3, ושטח הקטן 8 סמ״ר. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

k = 3

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= k^2 \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}S_2 &= 8 \times 3 \\ &= 24\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S_2 = 8 \times 3 = 24$ → $S_2 = 8 \times 9 = 72$

הפתרון:

\begin{aligned}S_2 &= 8 \times 9 \\ &= 72\end{aligned}

השטח פי $k^2$

השורה השנייה אמרה פי 9, והשלישית כפלה רק פי 3. 24 הוא מה שהיה יוצא להיקף, לא לשטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

אם מגדילים משולש פי 2, גם השטח שלו גדל פי 2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2^2 = 4

השטח פי 4

הבסיס פי 2 והגובה פי 2 — לכן השטח פי $2 \times 2 = 4$

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

משולש הוגדל פי $k$ — התאימו כל $k$ לשינוי בשטח.

$k = 2$
$k = 3$
$k = 5$
$k = 10$

שטח פי 100
שטח פי 25
שטח פי 4
שטח פי 9

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k = 2$ — שטח פי 4 · $k = 3$ — שטח פי 9 · $k = 5$ — שטח פי 25 · $k = 10$ — שטח פי 100

הפתרון:

k \to k^2

כל $k$ — בריבוע

שטח גדל פי $k^2$ כי הבסיס פי $k$ וגם הגובה פי $k$

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

בסיס של משולש 6 ס״מ, והגובה אליו 4 ס״מ. מגדילים את המשולש פי 3. מהו שטח המשולש המוגדל, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 108

הפתרון:

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 4}{2} \\ &= 12\end{aligned}

השטח המקורי

k^2 = 9

השטח גדל פי 9

12 \times 9 = 108

או ישירות: $\frac{18 \cdot 12}{2} = 108$

שתי הדרכים נותנות 108: לחשב את השטח החדש מבסיס 18 וגובה 12, או לכפול את 12 ב- $k^2 = 9$

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת