תרגול · דמיון משולשים · כיתה ח׳

שתים-עשרה שאלות על כל הפרק: שורת הדמיון, המשפטים, יחס הדמיון, ההיקף והשטח. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

נתון $\triangle PQR \sim \triangle XYZ$ ו- $\angle Q = 70°$ — מה גודל הזווית $\angle Y$ ?

$35°$
$140°$
$70°$
אי אפשר לדעת בלי יחס הדמיון

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $70°$

הפתרון:

Q \leftrightarrow Y

שתיהן שניות בשורת הדמיון

\begin{aligned}\angle Y &= \angle Q \\ &= 70°\end{aligned}

בדמיון הזוויות המתאימות שוות

הזוויות לא נמתחות: רק הצלעות משתנות ביחס הדמיון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ כאשר $AB = 5$ ס״מ, $DE = 15$ ס״מ ו- $BC = 8$ ס״מ. מהו אורך $EF$ בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{15}{5} \\ &= 3\end{aligned}

יחס הדמיון מזוג הצלעות הידוע

\begin{aligned}EF &= 8 \times 3 \\ &= 24\end{aligned}

$EF$ מתאימה ל- $BC$

$EF = 24$ ס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

משולש שווה צלעות

כל שני משולשים שווי צלעות דומים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

60° ,\ 60° ,\ 60°

בכל משולש שווה צלעות כל הזוויות $60°$

\text{ז.ז}

שתי זוויות שוות מספיקות

הטענה נכונה, לפי ז.ז — גם כשהגדלים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

אורכי הצלעות של משולש הם 3, 5 ו-6 ס״מ. משולש דומה לו הוא בעל היקף של 42 ס״מ. מהו אורך הצלע הארוכה במשולש הדומה, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

3 + 5 + 6 = 14

היקף המשולש הנתון

\begin{aligned}k &= \frac{42}{14} \\ &= 3\end{aligned}

ההיקף נמתח ביחס הדמיון

6 \times 3 = 18

הצלע הארוכה

הצלע הארוכה היא 18 ס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שני משולשים דומים, ויחס הדמיון בין הקטן לגדול הוא $2:5$ — שטח המשולש הקטן הוא 12 סמ״ר. מהו שטח המשולש הגדול, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{5}{2} \\ &= 2.5\end{aligned}

יחס הדמיון מהגדול לקטן

k^2 = 6.25

השטח נכפל ביחס הדמיון בריבוע

12 \times 6.25 = 75

שטח הקטן כפול $k^2$

שטח הגדול 75 סמ״ר — ולא 30, שמתקבל אם שוכחים את הריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אורכי הצלעות של משולש הם 6, 8 ו-10. איזה מהמשולשים הבאים דומה לו?

משולש שצלעותיו 3, 4 ו-6
משולש שצלעותיו 8, 10 ו-12
משולש שצלעותיו 12, 16 ו-18
משולש שצלעותיו 9, 12 ו-15

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד משולש שצלעותיו 9, 12 ו-15

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{9}{6} &= \frac{12}{8} \\ &= \frac{15}{10} \\ &= 1.5\end{aligned}

שלושה יחסים שווים — צ.צ.צ של דמיון

\frac{8}{6} \neq \frac{12}{10}

כאן הוספת 2 לכל צלע אינה שומרת על היחס

רק 9, 12, 15 נמצאים ביחס שווה לצלעות 6, 8, 10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

היקף $\triangle ABC$ הוא 12 ושטחו 6. השלימו את ההיקף והשטח של משולשים הדומים לו.

יחס הדמיון $k$	ההיקף	השטח
$2$	____	____
$3$	____	____
$\frac{1}{2}$	____	____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2$ : 24, 24 · $3$ : 36, 54 · $\frac{1}{2}$ : 6, 1.5

הפתרון:

P \times k

ההיקף פי $k$

S \times k^2

השטח פי $k^2$

6 \times \frac{1}{4} = 1.5

גם בהקטנה: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

בשורה הראשונה ההיקף והשטח יוצאים שניהם 24 — במקרה. ב- $k = 3$ כבר רואים: 36 מול 54.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בשעת אחר הצהריים, מקל אנכי שגובהו 1.6 מ׳ מטיל צל באורך 2 מ׳. באותו רגע, עץ ברחוב מטיל צל באורך 15 מ׳. קרני השמש יוצרות אותה זווית עם הקרקע בשני המקרים. מהו גובה העץ, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\text{ז.ז}

זווית ישרה עם הקרקע, ואותה זווית של קרני השמש — שני המשולשים דומים

\begin{aligned}k &= \frac{15}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

יחס הדמיון, מהצללים

1.6 \times 7.5 = 12

גובה העץ

גובה העץ 12 מ׳.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 9

AD = 4 ,\ DB = 6 ,\ DE = 5

ו-

DE \parallel BC

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ ו- $DE \parallel BC$ — נתון $AD = 4 ,\ DB = 6 ,\ DE = 5$ ומבקשים את אורך $BC$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.5

הפתרון:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז — זווית $A$ משותפת, וזוויות מתאימות בין מקבילים

\begin{aligned}AB &= 4 + 6 \\ &= 10\end{aligned}

הצלע כולה, לא רק $DB$

\begin{aligned}k &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{10}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

יחס הדמיון: הצלע כולה חלקי החלק

\begin{aligned}BC &= 5 \times 2.5 \\ &= 12.5\end{aligned}

$BC$ מתאימה ל- $DE$

התשובה $BC = 12.5$ — ומי שמשווה ל- $DB = 6$ במקום ל- $AB = 10$ מקבל תשובה שגויה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שטחיהם של שני משולשים דומים הם 20 סמ״ר ו-45 סמ״ר. היקף המשולש הקטן הוא 18 ס״מ. מהו היקף המשולש הגדול, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= \frac{45}{20} \\ &= 2.25\end{aligned}

יחס השטחים הוא יחס הדמיון בריבוע

\begin{aligned}k &= \sqrt{2.25} \\ &= 1.5\end{aligned}

מוציאים שורש כדי לחזור לצלעות

18 \times 1.5 = 27

ההיקף נמתח ביחס הדמיון

היקף הגדול 27 ס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בפארק צובעים שלט בצורת משולש, ולשלט אחד דרושים 0.4 ליטר צבע. שלט גדול יותר דומה לו, וכל צלע בו ארוכה פי 3. כמה ליטרים של צבע דרושים לשלט הגדול? (כמות הצבע תלויה בשטח.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.6

הפתרון:

k = 3

יחס הדמיון

k^2 = 9

השטח גדל פי 9

0.4 \times 9 = 3.6

והצבע גדל כמו השטח

דרושים 3.6 ליטרים — ולא 1.2, שמתקבל אם חושבים שהשטח גדל פי 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

AD = 3 ,\ DB = 6 ,\ DE = 4

ו-

DE \parallel BC

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ ו- $DE \parallel BC$ — נתון $AD = 3 ,\ DB = 6 ,\ DE = 4$ ושורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\triangle ADE \sim \triangle ABC

\begin{aligned}AB &= 3 + 6 \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}k &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

BC = 4 : 3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $BC = 4 : 3$ → $BC = 4 \times 3 = 12$

הפתרון:

\begin{aligned}BC &= 4 \times 3 \\ &= 12\end{aligned}

$BC$ בגדול, ולכן כופלים

המשולש $\triangle ABC$ הוא הגדול — מ- $DE$ אל $BC$ עולים וכופלים ב- $k$ — ו- $\frac{4}{3}$ קצר מ- $DE$ עצמו, סימן שהכיוון הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev