משפטי הדמיון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

דמיון אינו חפיפה: אותה צורה, בגודל אחר.

כדי להוכיח ששני משולשים דומים, לא בודקים את כל הזוויות ואת כל הצלעות. מספיק אחד משלושה משפטים.

אותם ראשי תיבות, משמעות אחרת. בחפיפה — צלעות שוות. בדמיון — יחסים שווים.

ז.ז — זווית, זווית

אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני — המשולשים דומים.

למה שתיים מספיקות? סכום הזוויות במשולש הוא 180∘180^\circ ולכן השלישית נקבעת: היא מה שנשאר.

ז.ז לא קיים בחפיפה: שם צריך תמיד צלע אחת לפחות, כדי לקבוע את הגודל. בדמיון הגודל חופשי, ולכן שתי זוויות מספיקות.

במשולש אחד זוויות של 40∘40^\circ ו-75∘75^\circ — ובמשולש שני 75∘75^\circ ו-65∘65^\circ — האם הם דומים?

להציג את התשובה והפתרון

כן. אותן שלוש זוויות — ז.ז. בראשון השלישית היא 180∘−40∘−75∘=65∘180^\circ - 40^\circ - 75^\circ = 65^\circ

צ.צ.צ — שלוש צלעות

אם שלוש הצלעות של משולש אחד נמצאות ביחס שווה לשלוש הצלעות של השני — המשולשים דומים.

ABDE=BCEF=ACDF\begin{aligned}\frac{AB}{DE} &= \frac{BC}{EF} \\ &= \frac{AC}{DF}\end{aligned}

שימו לב היטב — כאן נמצא הבלבול הגדול של הפרק.

צ.צ.צ בדמיון=שלוש צלעות שוות\text{צ.צ.צ בדמיון} = \text{שלוש צלעות שוות}
צ.צ.צ בדמיון=שלושה יחסים שווים\text{צ.צ.צ בדמיון} = \text{שלושה יחסים שווים}

ראשי התיבות זהים לאלה של החפיפה, אבל המשמעות שונה לגמרי. בחפיפה הצלעות עצמן שוות; בדמיון רק היחסים ביניהן שווים. אותו סימן, שני דברים.

צלעות 3, 4, 6 מול 6, 8, 12. האם המשולשים דומים, ולפי איזה משפט?

להציג את התשובה והפתרון

כן, לפי צ.צ.צ — שלושה יחסים שווים: 63=84=126=2\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{12}{6} = 2

צ.ז.צ — צלע, זווית, צלע

שתי צלעות במשולש אחד נמצאות ביחס שווה לשתי צלעות במשולש השני.

והזווית הכלואה ביניהן שווה. אז המשולשים דומים.

כלואה — כמו בחפיפה: הזווית שבין שתי הצלעות, ולא זווית אחרת.

שני הפרקים זה מול זה

חפיפה\text{חפיפה}

צלעות שוות — אותה צורה, אותו גודל

דמיון\text{דמיון}

צלעות ביחס שווה — אותה צורה, גודל אחר

k=1k = 1

המקרה שבו השניים נפגשים

בטור הנימוק כותבים את שם המשפט המלא: «צ.ז.צ» של חפיפה ו«צ.ז.צ» של דמיון מוכיחים דברים שונים.

עכשיו אתם: לפי הנתונים בלבד, איזה משפט מוכיח שהמשולשים דומים?

בהוכחת דמיון כתבתם «צ.צ.צ». מה בדיוק צריך להראות?

להציג את התשובה והפתרון

שלושה יחסים שווים בין הצלעות המתאימות — לא שלוש צלעות שוות.

תרגילים

תרגיל 1

לפי משפט ז.ז — כמה זוויות שוות צריך כדי להוכיח שמשולשים דומים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

∠A=∠D∠B=∠E\begin{aligned}\angle A &= \angle D \quad \\ \quad \angle B &= \angle E\end{aligned}

שתי זוויות מספיקות

180°−∠A−∠B180° - \angle A - \angle B

והשלישית נובעת מעצמה

סכום הזוויות במשולש הוא 180°. אם שתיים שוות, לשלישית אין ברירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בדמיון משולשים, מה פירוש צ.צ.צ?

  1. שלוש הצלעות שוות זו לזו
  2. שלוש הזוויות שוות
  3. שלוש הצלעות נמצאות ביחס שווה
  4. צלע אחת שווה ושתיים ביחס
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שלוש הצלעות נמצאות ביחס שווה

הפתרון:

ABDE=BCEF=ACDF\begin{aligned}\frac{AB}{DE} &= \frac{BC}{EF} \\ &= \frac{AC}{DF}\end{aligned}

שלושה יחסים שווים ביניהם

בחפיפה אותם ראשי תיבות מציינים צלעות שוות. בדמיון — יחסים שווים. זה ההבדל שהכי קל לפספס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשפט צ.ז.צ של הדמיון, איפה צריכה להיות הזווית?

  1. כלואה בין שתי הצלעות
  2. מול הצלע הקצרה
  3. מול הצלע הארוכה
  4. בכל מקום במשולש
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כלואה בין שתי הצלעות

הפתרון:

צלע→זווית→צלע\text{צלע} \rightarrow \text{זווית} \rightarrow \text{צלע}

סדר האותיות בשם המשפט הוא סדר הצורה

בדיוק כמו בחפיפה: הזווית חייבת להיות זו שבין שתי הצלעות. עם זווית אחרת המשפט לא חל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשני משולשים ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E — האם המשולשים דומים?

  1. רק אם גם הצלעות שוות
  2. לא, צריך גם צלעות
  3. אי אפשר לדעת
  4. כן, לפי ז.ז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כן, לפי ז.ז

הפתרון:

∠C=180°−∠A−∠B\angle C = 180° - \angle A - \angle B

הזווית השלישית נובעת

שתי זוויות מספיקות, ואין צורך לדעת שום דבר על הצלעות. זה מה שהופך את ז.ז למשפט הכי נוח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

תלמיד רשם בהוכחת דמיון: «הצלעות שוות, לכן צ.צ.צ». איפה טעה?

  1. לא היתה טעות
  2. הוא היה צריך לרשום ז.ז
  3. בדמיון הצלעות אינן שוות אלא ביחס שווה
  4. צ.צ.צ אינו משפט דמיון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג בדמיון הצלעות אינן שוות אלא ביחס שווה

הפתרון:

חפיפה: AB=DE\text{חפיפה: } AB = DE

שם הצלעות באמת שוות

דמיון: ABDE=k\text{דמיון: } \frac{AB}{DE} = k

וכאן רק היחס קבוע

הוא ערבב בין שני הפרקים. ראשי התיבות זהים, ולכן צריך לשים לב מה מוכיחים לפני שכותבים את הנימוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

איזה משפט דמיון הכי נוח להשתמש בו כשנתונות זוויות בלבד?

  1. אף אחד
  2. צ.ז.צ
  3. צ.צ.צ
  4. ז.ז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ז.ז

הפתרון:

ז.ז\text{ז.ז}

שתי זוויות ותו לא

שני המשפטים האחרים דורשים מידע על צלעות. כשיש רק זוויות — ז.ז הוא היחיד שאפשר, והוא גם מספיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDE
הישר DEDE מקביל לבסיס BCBC

במשולש ABCABC הנקודה DD נמצאת על ABAB והנקודה EE על ACAC ונתון DE∥BCDE \parallel BC — הוכיחו כי △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

  • DD על ABAB ו-EE על ACAC
  • DE∥BCDE \parallel BC

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

להציג את התשובה והפתרון
  1. DE∥BCDE \parallel BC — נתון
  2. ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות
  3. ∠A=∠A\angle A = \angle A — זווית משותפת לשני המשולשים
  4. △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC

מתאימות בין מקבילים

∠A=∠A\angle A = \angle A

זווית משותפת

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז

שתי זוויות שוות מספיקות לדמיון — זה ההבדל הגדול מחפיפה, שם צריך תמיד שלושה רכיבים, ובהם לפחות צלע אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCD
הגובה מהזווית הישרה מחלק את המשולש לשני משולשים — ושניהם דומים למקורי.

במשולש ABCABC הזווית ∠BAC\angle BAC ישרה ו-ADAD הוא גובה ליתר BCBC — הוכיחו כי △ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA

  • ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ
  • ADAD גובה ליתר BCBC

△ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ — נתון
  2. ADAD גובה ליתר BCBC — נתון
  3. ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ — גובה מאונך לצלע שאליה הוא מגיע
  4. ∠ADB=∠BAC\angle ADB = \angle BAC — שתי הזוויות ישרות ולכן שוות
  5. ∠B=∠B\angle B = \angle B — זווית משותפת לשני המשולשים
  6. △ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

∠ADB=∠BAC=90∘\begin{aligned}\angle ADB &= \angle BAC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שתי זוויות ישרות

∠B=∠B\angle B = \angle B

זווית משותפת

△ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA

ז.ז

סדר האותיות אינו מקרי: A↔C, B↔B, D↔AA \leftrightarrow C ,\ B \leftrightarrow B ,\ D \leftrightarrow A — תמיד כותבים את הקודקודים לפי סדר הזוויות השוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש אחד זוויות של 50∘50^\circ ו-60∘60^\circ — ובמשולש שני 50∘50^\circ ו-70∘70^\circ — האם המשולשים דומים?

  1. כן
  2. רק אם שווי צלעות
  3. חסר נתון
  4. לא
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כן

הפתרון:

180∘−50∘−60∘=70∘180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ

הזווית השלישית בראשון

50∘, 60∘, 70∘50^\circ ,\ 60^\circ ,\ 70^\circ

אותן שלוש זוויות בשניהם

המלכודת: לראות 60∘60^\circ מול 70∘70^\circ ולענות «לא». משלימים קודם את הזווית השלישית — ואז זה ז.ז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

צלעות משולש אחד: 4, 6 ו-8. צלעות משולש שני: 6, 9 ו-xx — מהו xx אם המשולשים דומים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

64=96=1.5\begin{aligned}\frac{6}{4} &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון, משני זוגות

x=8×1.5=12\begin{aligned}x &= 8 \times 1.5 \\ &= 12\end{aligned}

הצלע הארוכה פי 1.51.5

מוצאים קודם את יחס הדמיון משני זוגות ידועים, ורק אז מפעילים אותו על הצלע החסרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • חפיפה\text{חפיפה}
  • דמיון\text{דמיון}
  • k=1k = 1
  • המקרה שבו השניים נפגשים
  • צלעות ביחס שווה — אותה צורה, גודל אחר
  • צלעות שוות — אותה צורה, אותו גודל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חפיפה\text{חפיפה} — צלעות שוות — אותה צורה, אותו גודל · דמיון\text{דמיון} — צלעות ביחס שווה — אותה צורה, גודל אחר · k=1k = 1 — המקרה שבו השניים נפגשים

הפתרון:

k=1k = 1

שם דמיון וחפיפה נפגשים

חפיפה — צלעות שוות. דמיון — צלעות ביחס שווה. וחפיפה היא דמיון שבו k=1k = 1

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

אם זווית אחת במשולש שווה לזווית אחת במשולש אחר, המשולשים דומים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

∠A=∠D\angle A = \angle D

זה רק רכיב אחד

ז.ז\text{ז.ז}

המשפט דורש שתי זוויות

זווית אחת לא קובעת צורה: אפשר לבנות עליה משולשים בצורות שונות לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מיינו לפי הנתונים: האם המשולשים דומים בוודאות?

  • דומים בוודאות
  • לא בהכרח
  • ABDE=ACDF=2\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2 וגם ∠A=∠D\angle A = \angle D
  • ABDE=ACDF=2\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2 וגם ∠B=∠E\angle B = \angle E
  • זוויות 40∘,60∘40^\circ, 60^\circ מול 60∘,80∘60^\circ, 80^\circ
  • זוויות 50∘,70∘50^\circ, 70^\circ מול 50∘,50∘50^\circ, 50^\circ
  • צלעות 2,3,42, 3, 4 מול 6,9,126, 9, 12
  • צלעות 3,4,53, 4, 5 מול 5,6,75, 6, 7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: זוויות 40∘,60∘40^\circ, 60^\circ מול 60∘,80∘60^\circ, 80^\circ — דומים בוודאות · צלעות 2,3,42, 3, 4 מול 6,9,126, 9, 12 — דומים בוודאות · ABDE=ACDF=2\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2 וגם ∠A=∠D\angle A = \angle D — דומים בוודאות · זוויות 50∘,70∘50^\circ, 70^\circ מול 50∘,50∘50^\circ, 50^\circ — לא בהכרח · צלעות 3,4,53, 4, 5 מול 5,6,75, 6, 7 — לא בהכרח · ABDE=ACDF=2\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2 וגם ∠B=∠E\angle B = \angle E — לא בהכרח

הפתרון:

180∘−40∘−60∘=80∘180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ

בזוג הראשון שלוש הזוויות שוות

∠A כלואה בין AB ו-AC\angle A \text{ כלואה בין } AB \text{ ו-} AC

בצ.ז.צ הזווית חייבת להיות כלואה

שני המקרים הקשים: זוג הזוויות הראשון (צריך להשלים את השלישית), והזווית שאינה כלואה בשורה האחרונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

בשני משולשים ∠A=∠D=40∘\angle A = \angle D = 40^\circ ונתון AB=3, AC=5, DE=6AB = 3 ,\ AC = 5 ,\ DE = 6 — מה צריך להיות האורך של DFDF כדי שהמשולשים יהיו דומים לפי צ.ז.צ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

DEAB=63=2\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

יחס הזוג הראשון

DF=5×2=10\begin{aligned}DF &= 5 \times 2 \\ &= 10\end{aligned}

הזוג השני חייב לתת אותו יחס

הזווית בת 40∘40^\circ כלואה בין שתי הצלעות בשני המשולשים — ולכן צ.ז.צ. בלי היחס השווה, אין דמיון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת