מהו דמיון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

שני משולשים דומים הם בעלי אותה צורה בדיוק.

הגודל יכול להיות שונה: אחד הוא תמונה מוגדלת של השני, כמו צילום שהגדילו.

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

הסימן ∼\sim פירושו «דומה», כמו ש-≅\cong פירושו «חופף».

וכמו בחפיפה, סדר האותיות קובע מי מתאים למי: הראשונה לראשונה, השנייה לשנייה, השלישית לשלישית.

נתון △KLM∼△PQR\triangle KLM \sim \triangle PQR — לאיזו צלע מתאימה LMLM?

להציג את התשובה והפתרון

QRQR: LL השנייה מתאימה ל-QQ השנייה, ו-MM השלישית ל-RR השלישית.

שני דברים קורים בו-זמנית

∠A=∠D\angle A = \angle D

הזוויות המתאימות שוות — הצורה לא השתנתה

ABDE=BCEF\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

הצלעות המתאימות ביחס קבוע — הגודל השתנה פי אותו מספר

המספר הקבוע הזה נקרא יחס הדמיון, ומסמנים אותו באות kk

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF עם k=2k = 2 ו-∠A=40∘\angle A = 40^\circ — כמה זה ∠D\angle D?

להציג את התשובה והפתרון

40∘40^\circ. הצלעות גדלות פי 2, אבל הזוויות לא משתנות.

דומים, או רק נראים דומים?

במתמטיקה «דומים» היא מילה עם הגדרה, לא רושם מהציור.

הטעות שנובעת ישירות מהשפה.

«דומים» = נראים דומים\text{«דומים» = נראים דומים}
«דומים» = אותן זוויות, ויחס קבוע בין הצלעות\text{«דומים» = אותן זוויות, ויחס קבוע בין הצלעות}

במתמטיקה «דומים» היא מילה עם הגדרה מדויקת, לא התרשמות מהציור. שני משולשים יכולים להיראות דומים מאוד ולא להיות דומים כלל.

צלעות של משולש אחד: 2, 3, 4. של משולש שני: 4, 6, 9. האם הם דומים?

להציג את התשובה והפתרון

לא — יחס אחד שונה מספיק. 42=63=2\frac{4}{2} = \frac{6}{3} = 2 אבל 94≠2\frac{9}{4} \ne 2

ומה הקשר לחפיפה

חפיפה היא דמיון שבו k=1k = 1: אותה צורה, וגם אותו גודל.

k=1⟷חופפיםk = 1 \quad \longleftrightarrow\quad \text{חופפים}

לכן כל שני משולשים חופפים הם גם דומים. ההפך לא נכון.

מה ההבדל בין חפיפה לדמיון?

להציג את התשובה והפתרון

חפיפה — אותו גודל בדיוק; דמיון — אותה צורה, בגודל אחר. הזוויות שוות בשניהם, הצלעות — רק פרופורציוניות בדמיון.

תרגילים

תרגיל 1

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF — לאיזו צלע מתאימה הצלע ABAB?

  1. EFEF
  2. DEDE
  3. BCBC
  4. DFDF
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב DEDE

הפתרון:

A↔D,B↔EA \leftrightarrow D \quad ,\quad B \leftrightarrow E

לפי המיקום בשורת הדמיון

בדיוק אותה מוסכמה כמו בחפיפה: האות הראשונה לראשונה, השנייה לשנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בשני משולשים דומים, מה נכון לגבי הזוויות?

  1. הזוויות קטנות ביחס הדמיון
  2. הזוויות גדלות ביחס הדמיון
  3. אי אפשר לדעת
  4. הזוויות המתאימות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הזוויות המתאימות שוות

הפתרון:

∠A=∠D\angle A = \angle D

הצורה לא משתנה — רק הגודל

זוויות אינן אורכים. הגדלת צורה מותחת את הצלעות, אבל לא פותחת ולא סוגרת את הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מה הקשר בין חפיפה לדמיון?

  1. דמיון הוא חפיפה שבה היחס הוא 1
  2. חפיפה היא דמיון שבו יחס הדמיון הוא 1
  3. אין קשר ביניהם
  4. כל שני משולשים דומים הם גם חופפים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב חפיפה היא דמיון שבו יחס הדמיון הוא 1

הפתרון:

k=1⟶חופפיםk = 1 \quad \longrightarrow\quad \text{חופפים}

אותה צורה, ובמקרה גם אותו גודל

כל זוג חופף הוא גם דומה — אבל רוב הזוגות הדומים אינם חופפים, כי היחס שלהם אינו 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שני משולשים נראים דומים מאוד בציור. האם זה מספיק כדי לקבוע שהם דומים?

  1. לא
  2. רק אם הם באותו גודל
  3. כן, אם הציור מדויק
  4. כן, תמיד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא

הפתרון:

ציור≠נימוק\text{ציור} \neq \text{נימוק}

אותו כלל כמו בהוכחות

בדיוק כמו בפרק ההוכחות: מה שנראה בציור אינו נימוק. צריך זוויות שוות או יחס קבוע בין הצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שני ריבועים — האם הם בהכרח דומים?

  1. רק אם קטנים
  2. לא
  3. כן
  4. רק אם שווים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כן

הפתרון:

90∘, 90∘, 90∘, 90∘90^\circ ,\ 90^\circ ,\ 90^\circ ,\ 90^\circ

כל הזוויות של כל ריבוע

a2a1\frac{a_2}{a_1}

וכל ארבע הצלעות גדלות באותו יחס

כל הריבועים דומים: הזוויות תמיד 90∘90^\circ והצלעות תמיד ביחס אחיד. זה נכון גם למשולשים שווי-צלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שני מלבנים — בהכרח דומים?

  1. כן
  2. לא
  3. רק גדולים
  4. תמיד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא

הפתרון:

2:1≠5:12:1 \ne 5:1

מלבן ארוך, ומלבן שכמעט ריבוע

הזוויות שוות (כולן ישרות), אבל היחס בין האורך לרוחב שונה. זוויות שוות לבדן לא מספיקות במלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

משולשים דומים ביחס 3. צלע במקור 7 — מה בצילום המוגדל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21

הפתרון:

7×3=217 \times 3 = 21

כל צלע נכפלת ביחס הדמיון

בדמיון כל הצלעות גדלות באותו יחס — לכן מכפילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מה נשמר בדמיון?

  1. הזוויות והיחס בין צלעות
  2. השטח
  3. ההיקף
  4. האורכים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א הזוויות והיחס בין צלעות

הפתרון:

∠ , k\angle \ , \ k

הזוויות, והיחס בין הצלעות

דמיון שומר על הצורה: הזוויות והיחסים. האורכים, ההיקף והשטח משתנים עם הגודל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

יחס דמיון 1:4. היקף הקטן 9 — מהו היקף הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

9×4=369 \times 4 = 36

ההיקף גדל כמו הצלעות

ההיקף הוא סכום של צלעות: כל צלע פי 4, ולכן גם הסכום פי 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

צילום מוקטן פי 2 של תמונה — הזוויות בו…

  1. לא השתנו
  2. גדלו פי 2
  3. תלוי בצורה
  4. קטנו פי 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא השתנו

הפתרון:

∠\angle

דמיון משמר זוויות

הקטנה פי 2 משנה את האורכים, לא את הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

במשולש ABCABC נתון AB=4, BC=6, AC=5AB = 4 ,\ BC = 6 ,\ AC = 5 ובמשולש DEFDEF נתון DE=8, EF=12, DF=10DE = 8 ,\ EF = 12 ,\ DF = 10 — ועוד נתון ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E — הוכיחו לפי הגדרת הדמיון: △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

  • AB=4, BC=6, AC=5AB = 4 ,\ BC = 6 ,\ AC = 5
  • DE=8, EF=12, DF=10DE = 8 ,\ EF = 12 ,\ DF = 10
  • ∠A=∠D\angle A = \angle D
  • ∠B=∠E\angle B = \angle E

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠A=∠D\angle A = \angle D — נתון
  2. ∠B=∠E\angle B = \angle E — נתון
  3. ∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  4. ∠F=180∘−∠D−∠E\angle F = 180^\circ - \angle D - \angle E — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  5. ∠C=∠F\angle C = \angle F — הצבה של הזוויות השוות
  6. ABDE=BCEF=ACDF=12\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF} = \dfrac{1}{2} — חישוב מהנתונים
  7. △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF — הגדרת משולשים דומים: הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות ביחס שווה

הפתרון:

∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−∠D−∠E=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= 180^\circ - \angle D - \angle E \\ &= \angle F\end{aligned}

הזווית השלישית — מסכום הזוויות בשני המשולשים

48=612=510=12\begin{aligned}\frac{4}{8} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{5}{10} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שלושת היחסים בין הצלעות המתאימות

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

שלוש זוויות שוות וצלעות ביחס שווה — זו ההגדרה

ההגדרה דורשת שני דברים: כל הזוויות המתאימות שוות, וגם כל הצלעות המתאימות ביחס שווה. לכן צריך גם את הזווית השלישית — היא לא נתונה, ומוצאים אותה מסכום הזוויות בכל אחד משני המשולשים. ביחידה הבאה נלמד משפטים שחוסכים חלק מהבדיקה הזאת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

כל שני משולשים ישרי-זווית דומים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

90∘, 30∘, 60∘≠90∘, 45∘, 45∘90^\circ ,\ 30^\circ ,\ 60^\circ \quad \ne \quad 90^\circ ,\ 45^\circ ,\ 45^\circ

רק הזווית הישרה משותפת

זווית ישרה אחת שווה, אבל שתי האחרות יכולות להיות שונות. זווית אחת לא קובעת צורה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתון △KLM∼△PQR\triangle KLM \sim \triangle PQR — התאימו כל צלע לצלע המתאימה לה.

  • KLKL
  • LMLM
  • KMKM
  • PQPQ
  • PRPR
  • QRQR
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: KLKL — PQPQ · LMLM — QRQR · KMKM — PRPR

הפתרון:

K↔P, L↔Q, M↔RK \leftrightarrow P ,\ L \leftrightarrow Q ,\ M \leftrightarrow R

לפי המקום בשורת הדמיון

קוראים את האותיות, לא את הציור: המשולש השני מסובב, אבל הסדר נשאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

משולש הוגדל פי 3. מה נשמר, ומה משתנה?

  • נשמר
  • משתנה
  • אורכי הצלעות
  • גודל הזוויות
  • ההיקף
  • היחס בין שתי צלעות של אותו משולש
  • הצורה
  • השטח
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: גודל הזוויות — נשמר · הצורה — נשמר · היחס בין שתי צלעות של אותו משולש — נשמר · אורכי הצלעות — משתנה · ההיקף — משתנה · השטח — משתנה

הפתרון:

∠A=∠D\angle A = \angle D

הזוויות שוות

AB→3⋅ABAB \to 3 \cdot AB

כל אורך פי 3

דמיון שומר על הצורה: זוויות ויחסים. כל מה שנמדד באורך — צלע, היקף, שטח — משתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF ו-k=2k = 2 והזווית ∠A\angle A היא 35∘35^\circ — כמה מעלות בזווית ∠D\angle D?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 35

הפתרון:

A↔DA \leftrightarrow D

שתיהן ראשונות בשורת הדמיון

∠D=∠A=35∘\begin{aligned}\angle D &= \angle A \\ &= 35^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות שוות

המלכודת: לכפול את הזווית ב-2. היחס פועל על הצלעות בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת