חוק הפילוג המורחב

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

את חוק הפילוג כבר מכירים: המספר שבחוץ כופל כל איבר שבפנים.

פתחו סוגריים: 3(x+5)3(x + 5)

להציג את התשובה והפתרון

3x+153x + 15. השלוש נכנס לשני האיברים — גם ל-xx וגם ל-5. לשכוח את השני היא הטעות הראשונה של הפרק.

עכשיו יש סוגריים בשני הצדדים. הרעיון אותו רעיון: כל אחד עם כל אחד.

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

סדר קבוע: קודם האיבר הראשון עם שני האיברים שממול, ורק אחר כך האיבר השני עם שניהם. כך לא שוכחים מכפלה.

פתחו: x(x−2)x(x - 2)

להציג את התשובה והפתרון

x2−2xx^2 - 2x. איקס כפול איקס — איקס בריבוע; והמינוס נשמר.

סימנים — כאן נופלים

המינוס שייך למספר שאחריו. בביטוי (x−4)(x - 4) האיבר השני הוא −4-4, יחד עם המינוס שלו.

שתי הטעויות של היחידה.

(x+3)(x+5)=x2+15(x + 3)(x + 5) = x^2 + 15
(x+3)(x+5)=x2+8x+15(x + 3)(x + 5) = x^2 + 8x + 15

הוכפלו רק הראשונים והאחרונים. חסרות שתי מכפלות — ובדיוק הן שיוצרות את האיבר האמצעי.

(x−4)(x+2)=x2+2x+4x−8(x - 4)(x + 2) = x^2 + 2x + 4x - 8
(x−4)(x+2)=x2+2x−4x−8(x - 4)(x + 2) = x^2 + 2x - 4x - 8

המינוס נשאר עם ה-4 בכל מכפלה שהוא משתתף בה.

איך יודעים שלא נפלה טעות? מציבים אותו מספר בביטוי המקורי ובביטוי הפתוח.

שלושה גורמים

שלוש סוגריים? לא פותחים את שלושתן יחד. פותחים שתיים, מכנסים, ורק אז כופלים בשלישית.

קודם שתי הראשונות: (x+1)(x+2)=x2+3x+2(x + 1)(x + 2) = x^2 + 3x + 2. עכשיו כופלים בשלישית.

כמה מכפלות יש בפתיחה של (x+1)(x2+x+1)(x + 1)(x^2 + x + 1)?

להציג את התשובה והפתרון

6. שני איברים כפול שלושה איברים: 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 מכפלות, לפני הכינוס.

תרגילים

תרגיל 1

פתחו את הסוגריים וכנסו איברים דומים:

(x+3)(x+5)(x + 3)(x + 5)
  1. x2+15x+8x^2 + 15x + 8
  2. x2+8x+15x^2 + 8x + 15
  3. x2+15x^2 + 15
  4. x2+8x−15x^2 + 8x - 15
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x2+8x+15x^2 + 8x + 15

הפתרון:

x⋅x=x2x \cdot x = x^2

ראשון עם ראשון

3⋅x+5⋅x=8x3 \cdot x + 5 \cdot x = 8x

שתי המכפלות האמצעיות — הן שיוצרות את איבר ה-xx

(3)⋅(5)=15(3) \cdot (5) = 15

שני עם שני

x2+8x+15x^2 + 8x + 15

מכנסים

ארבע מכפלות, תמיד. האיבר האמצעי הוא סכום שתי המכפלות האמצעיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתחו את הסוגריים וכנסו איברים דומים:

(x−4)(x+2)(x - 4)(x + 2)
  1. x2−2x+8x^2 - 2x + 8
  2. x2−2x−8x^2 - 2x - 8
  3. x2−8x−2x^2 - 8x - 2
  4. x2−8x^2 - 8
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x2−2x−8x^2 - 2x - 8

הפתרון:

x⋅x=x2x \cdot x = x^2

ראשון עם ראשון

−4⋅x+2⋅x=−2x-4 \cdot x + 2 \cdot x = -2x

שתי המכפלות האמצעיות — הן שיוצרות את איבר ה-xx

(−4)⋅(2)=−8(-4) \cdot (2) = -8

שני עם שני

x2−2x−8x^2 - 2x - 8

מכנסים

ארבע מכפלות, תמיד. האיבר האמצעי הוא סכום שתי המכפלות האמצעיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתחו את הסוגריים וכנסו איברים דומים:

(x+2)(x+7)(x + 2)(x + 7)
  1. x2+14x^2 + 14
  2. x2+9x−14x^2 + 9x - 14
  3. x2+14x+9x^2 + 14x + 9
  4. x2+9x+14x^2 + 9x + 14
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x2+9x+14x^2 + 9x + 14

הפתרון:

x⋅x=x2x \cdot x = x^2

ראשון עם ראשון

2⋅x+7⋅x=9x2 \cdot x + 7 \cdot x = 9x

שתי המכפלות האמצעיות — הן שיוצרות את איבר ה-xx

(2)⋅(7)=14(2) \cdot (7) = 14

שני עם שני

x2+9x+14x^2 + 9x + 14

מכנסים

ארבע מכפלות, תמיד. האיבר האמצעי הוא סכום שתי המכפלות האמצעיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתחו את הסוגריים וכנסו איברים דומים:

(x−3)(x−6)(x - 3)(x - 6)
  1. x2−9x−18x^2 - 9x - 18
  2. x2−9x+18x^2 - 9x + 18
  3. x2+18x−9x^2 + 18x - 9
  4. x2+18x^2 + 18
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x2−9x+18x^2 - 9x + 18

הפתרון:

x⋅x=x2x \cdot x = x^2

ראשון עם ראשון

−3⋅x+−6⋅x=−9x-3 \cdot x + -6 \cdot x = -9x

שתי המכפלות האמצעיות — הן שיוצרות את איבר ה-xx

(−3)⋅(−6)=18(-3) \cdot (-6) = 18

שני עם שני

x2−9x+18x^2 - 9x + 18

מכנסים

ארבע מכפלות, תמיד. האיבר האמצעי הוא סכום שתי המכפלות האמצעיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה מכפלות מתקבלות בפתיחת (a+b)(c+d)(a + b)(c + d)?

  1. 2
  2. 8
  3. 4
  4. 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 4

הפתרון:

2⋅2=42 \cdot 2 = 4

שני איברים כפול שני איברים

כל אחד עם כל אחד — ולכן מכפלת מספרי האיברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתחו (x+2)(x+4)(x + 2)(x + 4) והציבו x=1x = 1. מה מתקבל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

x2+6x+8x^2 + 6x + 8

פותחים

1+6+8=151 + 6 + 8 = 15

מציבים 1

(1+2)(1+4)=3⋅5=15\begin{aligned}(1+2)(1+4) &= 3 \cdot 5 \\ &= 15\end{aligned}

בדיקה בביטוי המקורי — אותו מספר

הצבה בשני הצדדים היא הבדיקה הכי מהירה שיש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתחו: 5(2x+3)5(2x + 3) — מהו המקדם של xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

10x+1510x + 15

הפילוג מכפיל את המספר בכל אחד מהאיברים שבסוגריים, לא רק בראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתחו: 4(x−6)4(x - 6) — מהו האיבר החופשי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -24

הפתרון:

4x−244x - 24

המינוס נשמר

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתחו וכנסו: 2(x+3)+3(x+1)2(x + 3) + 3(x + 1) — מהו המקדם של xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2x+6+3x+32x + 6 + 3x + 3
5x+95x + 9

פותחים כל זוג סוגריים בנפרד, ורק אחר כך אוספים איברים דומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתחו: x(x+7)x(x + 7) — מהו המקדם של xx (החזקה הראשונה)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

x2+7xx^2 + 7x

גם xx מתפלג: x⋅xx \cdot x נותן x2x^2, ו-x⋅7x \cdot 7 נותן 7x7x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

חשבו בפילוג בראש: 7×1037 \times 103

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 721

הפתרון:

7×100+7×3=7217 \times 100 + 7 \times 3 = 721

הפילוג הוא גם כלי חשבון מהיר — לא רק אלגברה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

פתחו וכנסו: 3(2x+1)−2(x−4)3(2x + 1) - 2(x - 4) — מהו האיבר החופשי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

6x+3−2x+86x + 3 - 2x + 8

המינוס הפך את שני הסימנים

4x+114x + 11
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

פתחו סוגריים: 3(2x+5)3(2x + 5) =

____x ועוד ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6x ועוד 15.

הפתרון:

3(2x+5)=6x+153(2x+5) = 6x + 15

כופלים כל איבר

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

חשבו את ערך הביטוי 4(x+3)−2x4(x + 3) - 2x עבור x=5x = 5:

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22

הפתרון:

4×8−10=224 \times 8 - 10 = 22

קודם מציבים, או קודם מפשטים

אפשר גם לפשט קודם: 4x+12−2x=2x+124x + 12 - 2x = 2x + 12, ואז להציב — אותה תשובה, פחות עבודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

4(a+3)−2a4(a + 3) - 2a
4a+3−2a4a + 3 - 2a
2a+32a + 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4a+3−2a4a + 3 - 2a → 4a+12−2a4a + 12 - 2a

הפתרון:

4(a+3)=4a+124(a+3) = 4a + 12

גם ה-3 מוכפל

ה-4 כופל את שני יושבי הסוגריים. התוצאה הנכונה: 2a+122a + 12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

התאימו כל ביטוי לפתיחה שלו:

  • 2(x+4)2(x+4)
  • 3(x−1)3(x-1)
  • 5(2x+1)5(2x+1)
  • 4(x+2)4(x+2)
  • 10x+510x+5
  • 2x+82x+8
  • 3x−33x-3
  • 4x+84x+8
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2(x+4)2(x+4) — 2x+82x+8 · 3(x−1)3(x-1) — 3x−33x-3 · 5(2x+1)5(2x+1) — 10x+510x+5 · 4(x+2)4(x+2) — 4x+84x+8

הפתרון:

a(b+c)=ab+aca(b+c) = ab + ac

חוק הפילוג

שימו לב לזוג המבלבל: 2(x+4)2(x+4) ו-4(x+2)4(x+2) נפתחים שניהם עם 8 — אבל המקדם של x שונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

פתחו: (x+1)(x+2)(x+3)(x + 1)(x + 2)(x + 3) — מהו המקדם של x2x^2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

(x+1)(x+2)=x2+3x+2(x + 1)(x + 2) = x^2 + 3x + 2

קודם שתי הראשונות

(x2+3x+2)(x+3)=x3+3x2+3x2+9x+2x+6(x^2 + 3x + 2)(x + 3) = x^3 + 3x^2 + 3x^2 + 9x + 2x + 6

שש מכפלות

x3+6x2+11x+6x^3 + 6x^2 + 11x + 6

מכנסים: 3x2+3x2=6x23x^2 + 3x^2 = 6x^2

לא פותחים שלוש סוגריים בבת אחת: שתיים, כינוס, ורק אז השלישית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

בפתיחה של (x+2)(x2+x+1)(x + 2)(x^2 + x + 1) יש בדיוק ארבע מכפלות, כמו בכל שתי סוגריים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2⋅3=62 \cdot 3 = 6

שני איברים כפול שלושה איברים

x3+x2+x+2x2+2x+2=x3+3x2+3x+2x^3 + x^2 + x + 2x^2 + 2x + 2 = x^3 + 3x^2 + 3x + 2

שש מכפלות, ואז כינוס

ארבע מכפלות יש רק כששני הסוגריים הם של שני איברים. מספר המכפלות הוא מכפלת מספרי האיברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת