בעיות גיל ובעיות מספרים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בבעיות גיל יש כלל אחד שפותר כמעט את כולן.

כשעוברות שנים, כל האנשים בסיפור מזדקנים באותו מספר שנים.

תלמידים מוסיפים 5 שנים לאחד ושוכחים את השני. ההפרש בין הגילים לא משתנה לעולם — וזו בדיקה מצוינת.

היום דנה בת xx, ואמה בת 3x3x. בנות כמה יהיו בעוד 6 שנים?

להציג את התשובה והפתרון

דנה x+6x + 6, ואמה 3x+63x + 6. הזמן עובר על כולם באותה מידה.

טבלה של שתי עמודות

עמודה ל«היום», עמודה ל«אז». כל אדם מקבל שורה.

ממלאים את כל הטבלה — ורק אז כותבים משוואה.

שתי הטעויות של בעיות גיל.

4x=2(x+10)4x = 2(x + 10)
4x+10=2(x+10)4x + 10 = 2(x + 10)

שכחו להזקין את האב. אם עברו 10 שנים — הן עברו לשניהם.

4x+10=2x+104x + 10 = 2x + 10
4x+10=2(x+10)4x + 10 = 2(x + 10)

«פי 2 מהגיל העתידי» — כל הגיל בסוגריים, לא רק ה-xx.

אם בת 36 ובתה בת 8. בעוד xx שנים האם תהיה פי 3 מבתה. איזו משוואה?

להציג את התשובה והפתרון

36+x=3(8+x)36 + x = 3(8 + x). הזמן מתווסף לשתיהן, וכל הגיל של הבת בסוגריים. יוצא x=6x = 6.

«לפני» עובד באותה דרך: מחסירים מכל אחד את אותו מספר שנים.

אב בן 40 ובנו בן 12. בני כמה היו לפני xx שנים?

להציג את התשובה והפתרון

האב 40−x40 - x, הבן 12−x12 - x. אותו xx לשניהם.

בעיות מספרים

אותה שיטה בדיוק, רק בלי אנשים.

x, x+1, x+2x,\ x+1,\ x+2

מספרים עוקבים — קפיצה של 1.

x, x+2, x+4x,\ x+2,\ x+4

זוגיים עוקבים או אי-זוגיים עוקבים — קפיצה של 2.

הטעות של בעיות מספרים.

x, x+1, x+2 למספרים זוגייםx,\ x+1,\ x+2 \ \text{למספרים זוגיים}
x, x+2, x+4x,\ x+2,\ x+4

בין שני זוגיים עוקבים יש קפיצה של 2, לא של 1.

שלושה מספרים: השני כפול מהראשון, השלישי גדול מהראשון ב-10. כתבו את שלושתם עם xx.

להציג את התשובה והפתרון

xx, 2x2x, x+10x+10 — הכול נשען על הראשון. משוואה אחת תספיק לשלושתם.

תרגילים

תרגיל 1

אבא בן פי 4 מבנו. בעוד 10 שנים יהיה בן פי 2 ממנו. בן כמה הבן היום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

4x+10=2(x+10)4x + 10 = 2(x + 10)

שניהם מזדקנים ב-10

4x+10=2x+204x + 10 = 2x + 20

פותחים

2x=10⇒x=5\begin{aligned}2x &= 10 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

הבן בן 5

בדיקה: היום 5 ו-20; בעוד 10 — 15 ו-30, שהם אכן פי 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

אח גדול מבוגר ב-6 שנים מאחיו. יחד הם בני 30. בן כמה הצעיר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

x+(x+6)=30x + (x + 6) = 30

תן למסכן

2x=242x = 24

מעבירים

x=12x = 12

הצעיר

בדיקה: 12 ו-18, יחד 30 והפרש 6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

סכום שלושה מספרים עוקבים הוא 48. מהו הקטן שבהם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

x+(x+1)+(x+2)=48x + (x+1) + (x+2) = 48

שלושה עוקבים

3x+3=483x + 3 = 48

מכנסים

x=15x = 15

הקטן

15, 16, 17 — סכומם 48.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

סכום שני מספרים זוגיים עוקבים הוא 34. מהו הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

x+(x+2)=34x + (x + 2) = 34

זוגיים עוקבים — קפיצה של 2

2x=32⇒x=16\begin{aligned}2x &= 32 \Rightarrow x \\ &= 16\end{aligned}

הקטן

16+2=1816 + 2 = 18

והגדול

הקפיצה בין זוגיים עוקבים היא 2, לא 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אם היום ההפרש בין הגילים הוא 8 שנים, מה יהיה ההפרש בעוד 12 שנה?

  1. 20 שנים
  2. 4 שנים
  3. 8 שנים
  4. 96 שנים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 8 שנים

הפתרון:

(a+12)−(b+12)=a−b(a + 12) - (b + 12) = a - b

שני ה-12 מתבטלים

ההפרש בין גילים לעולם אינו משתנה. זו בדיקה מהירה לכל בעיית גיל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

סכום הגילים של אב ובנו היום 59 שנים. לפני 7 שנים היה גיל האב גדול פי 8 מגיל בנו. בן כמה האב היום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 47

הפתרון:

(59−x)−7=8(x−7)(59 - x) - 7 = 8(x - 7)

הבן xx, האב 59−x59-x; לפני 7 שנים שניהם היו צעירים ב-7

52−x=8x−5652 - x = 8x - 56

פותחים סוגריים

9x=108⇒x=12\begin{aligned}9x &= 108 \Rightarrow x \\ &= 12\end{aligned}

הבן בן 12 — והאב בן 59−12=4759-12=47

בדיקה: לפני 7 שנים היו בני 5 ו-40, ואכן 40=8⋅540 = 8 \cdot 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גיל האם גדול פי 4 מסכום גילי שני ילדיה. הבן הבכור גדול בשנתיים מאחיו הצעיר. בעוד 10 שנים יהיה גיל האם גדול ב-14 שנים מסכום גילי ילדיה. בני כמה האם ושני הבנים היום?

  1. האם 36, הבנים 6 ו-4
  2. האם 32, הבנים 5 ו-3
  3. האם 40, הבנים 7 ו-5
  4. האם 28, הבנים 4 ו-2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב האם 32, הבנים 5 ו-3

הפתרון:

s=x+(x+2)s = x + (x + 2)

הצעיר xx, הבכור x+2x+2; נסמן את סכום גילי הילדים ss

4s+10=(s+20)+144s + 10 = (s + 20) + 14

בעוד 10 שנים: האם מוסיפה 10, הילדים מוסיפים יחד 20

3s=24⇒s=8\begin{aligned}3s &= 24 \Rightarrow s \\ &= 8\end{aligned}

הבנים 3 ו-5, והאם 4⋅8=324 \cdot 8 = 32

בדיקה: בעוד 10 שנים האם בת 42, הבנים בני 13 ו-15 — סכומם 28, ואכן 42=28+1442 = 28 + 14.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

אם בת 36 ובתה בת 8. בעוד כמה שנים תהיה האם פי 3 מבתה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

36+x=3(8+x)36 + x = 3(8 + x)

בעוד xx שנים — לשתיהן

36+x=24+3x  x=6\begin{aligned}36 + x &= 24 + 3x \ \\ \ x &= 6\end{aligned}

פותחים סוגריים

הזמן מתווסף לשתיהן — שני האגפים מקבלים xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לפני 5 שנים היה רון בן 9. בן כמה יהיה בעוד 5 שנים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19

הפתרון:

9+5=149 + 5 = 14

גילו היום

14+5=1914 + 5 = 19

בעוד 5 שנים

קודם חוזרים להיום, ורק משם הולכים קדימה: מ«לפני 5» ל«בעוד 5» עוברות 10 שנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

אב בן 40, בנו בן 12. לפני כמה שנים היה האב פי 5 מבנו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

40−x=5(12−x)40 - x = 5(12 - x)

לפני xx שנים — מחסירים משניהם

40−x=60−5x  x=5\begin{aligned}40 - x &= 60 - 5x \ \\ \ x &= 5\end{aligned}

פותחים סוגריים

שאלת גיל נפתרת על ציר הזמן: לפני xx שנים מחסרים מכל אחד את אותו xx. שני הגילים משתנים יחד — זו הנקודה שנופלים עליה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

אב בן פי 3 מבנו, ובעוד 12 שנים יהיה בן פי 2 ממנו. הבן היום בן 12. השלימו את הטבלה ובדקו.

היוםבעוד 12 שנים
הבן1212____
האב________
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הבן: 24 · האב: 36, 48

הפתרון:

3⋅12=363 \cdot 12 = 36

האב היום

12+12=2436+12=48\begin{aligned}12 + 12 &= 24 \quad 36 + 12 \\ &= 48\end{aligned}

שניהם מזדקנים ב-12

48=2⋅2448 = 2 \cdot 24

בדיקה — מתקיים

גם לאב מוסיפים 12, לא רק לבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

היום האב גדול מבנו ב-25 שנים. לכן בעוד 10 שנים הוא יהיה גדול ממנו ב-35 שנים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

(a+10)−(b+10)=a−b(a + 10) - (b + 10) = a - b

ה-10 מתבטלים

ההפרש בין גילים לא משתנה לעולם: גם בעוד 10 שנים — 25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

באילו שלשות הקפיצה 1, ובאילו 2?

  • קפיצה של 1
  • קפיצה של 2
  • 11, 12, 13
  • 11, 13, 15
  • 24, 26, 28
  • 7, 8, 9
  • שלושה זוגיים עוקבים
  • שלושה עוקבים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11, 12, 13 — קפיצה של 1 · 11, 13, 15 — קפיצה של 2 · 24, 26, 28 — קפיצה של 2 · 7, 8, 9 — קפיצה של 1 · שלושה עוקבים — קפיצה של 1 · שלושה זוגיים עוקבים — קפיצה של 2

הפתרון:

x, x+1, x+2x, x+2, x+4x,\ x+1,\ x+2 \qquad x,\ x+2,\ x+4

עוקבים, וזוגיים או אי-זוגיים עוקבים

בין שני זוגיים עוקבים (או אי-זוגיים) יש מספר אחד באמצע — ולכן הקפיצה 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

אבא בן פי 4 מבנו. בעוד 10 שנים יהיה בן פי 2 ממנו. הבן היום בן xx. איפה הטעות?

הבן בעוד 10: x+10\text{הבן בעוד 10: } x + 10
האב בעוד 10: 4x+10\text{האב בעוד 10: } 4x + 10
4x+10=2x+104x + 10 = 2x + 10
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4x+10=2x+104x + 10 = 2x + 10 → 4x+10=2(x+10)4x + 10 = 2(x + 10)

הפתרון:

4x+10=2(x+10)4x + 10 = 2(x + 10)

כל הגיל העתידי של הבן בסוגריים

«פי 2 מגיל הבן בעוד 10 שנים» — כופלים את כל x+10x + 10, לא רק את xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

אם בת 36 ובתה בת 8. בעוד xx שנים תהיה האם פי 3 מבתה. איזו משוואה מתאימה?

  1. 36=3(8+x)36 = 3(8 + x)
  2. 36+x=3⋅8+x36 + x = 3 \cdot 8 + x
  3. 36+x=3(8+x)36 + x = 3(8 + x)
  4. 36+x=3x+836 + x = 3x + 8
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 36+x=3(8+x)36 + x = 3(8 + x)

הפתרון:

36+x=3(8+x)36 + x = 3(8 + x)

שתיהן מזדקנות ב-xx, וכל גיל הבת בסוגריים

שתי הטעויות: לשכוח להזקין את האם, ולשכוח את הסוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת