חפיפת משולשים

התשובה: ד $BA$

הפתרון:

M הוא הקודקוד הראשון ו-O הקודקוד השני — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

התשובה: א $\angle A$

הפתרון:

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

התשובה: ב $KR$

הפתרון:

M הוא הקודקוד השני ו-G הקודקוד השלישי — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

התשובה: ב $\angle R$

הפתרון:

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

התשובה: ג $EF$

הפתרון:

B הוא הקודקוד השלישי ו-A הקודקוד הראשון — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

התשובה: א $\angle F$

הפתרון:

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

התשובה: ג $MK$

הפתרון:

C הוא הקודקוד הראשון ו-D הקודקוד השני — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

התשובה: ב $\angle K$

הפתרון:

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

התשובה: ב $RG$

הפתרון:

S הוא הקודקוד השני ו-A הקודקוד השלישי — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

התשובה: ב $\angle G$

הפתרון:

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

התשובה: ד $DB$

הפתרון:

E הוא הקודקוד השלישי ו-D הקודקוד הראשון — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

התשובה: ב $\angle B$

הפתרון:

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

התשובה: 6

הפתרון:

שש בסך הכול. שורה אחת של חפיפה שווה שש שורות של נתונים — זה מה שהופך אותה לכל כך שימושית בהוכחות.

התשובה: א צלע, זווית, צלע — והזווית כלואה בין שתי הצלעות

הפתרון:

הזווית חייבת להיות כלואה — זו שבין שתי הצלעות. עם זווית אחרת המשפט פשוט לא חל.

התשובה: ג שהיא שווה לעצמה, בנימוק «צלע משותפת»

הפתרון:

זה נראה מיותר, אבל בלי השורה הזאת יש רק שני שוויונות — ומשפט חפיפה דורש שלושה.

התשובה: ד הוא התאים לפי דמיון בין האותיות ולא לפי מיקומן

הפתרון:

המיקום באותיות הוא הדבר היחיד שקובע. לא הדמיון בין האותיות, ולא איך שהמשולש מצויר.

התשובה: ד צ.צ.צ

הפתרון:

שלוש צלעות קובעות משולש אחד ויחיד — זהו בדיוק משפט צ.צ.צ.

התשובה: ב צ.ז.צ

הפתרון:

המילה הקובעת היא כלואה: הזווית נמצאת בין שתי הצלעות המסומנות, ולכן זה צ.ז.צ.

התשובה: ב לא — צ.ז.צ דורש שהזווית תהיה כלואה בין הצלעות

הפתרון:

צ.ז.צ דורש זווית כלואה. שתי צלעות וזווית שמול אחת מהן הן נתונים של משפט אחר, משפט חפיפה צ.צ.ז — והוא חל רק כשהזווית מול הגדולה מבין שתי הצלעות. כשהזווית מול הקטנה, ייתכנו שני משולשים שונים.

1. $AB = CD$ — הצלעות הנגדיות במקבילית שוות
2. $BC = DA$ — הצלעות הנגדיות במקבילית שוות
3. $AC = CA$ — צלע משותפת לשני המשולשים
4. $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ — משפט חפיפה צ.צ.צ

הפתרון:

שימו לב לסדר האותיות: $A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow A$. הקודקוד $A$ של המשולש הראשון מתאים לקודקוד $C$ של השני, כי מולו נמצאת אותה צלע, $BC = DA$.

1. $\angle ABC = \angle CDA = 90^\circ$ — נתון
2. $AB = CD$ — נתון
3. $AC = CA$ — צלע משותפת לשני המשולשים
4. $AC > AB$ — במשולש ישר-זווית היתר גדול מכל אחד מהניצבים
5. $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ — משפט חפיפה צ.צ.ז
6. $\angle BCA = \angle DAC$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
7. $EA = EC$ — במשולש $AEC$: מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

הפתרון:

זה המקרה השכיח ביותר של המשפט הרביעי: זווית ישרה מונחת תמיד מול היתר, והיתר הוא הצלע הגדולה במשולש. לכן שני משולשים ישרי-זווית עם יתר שווה וניצב שווה חופפים תמיד. שימו לב לסדר האותיות: $A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow A$.

התשובה: $A \leftrightarrow D$ — הקודקוד הראשון · $B \leftrightarrow E$ — הקודקוד השני · $C \leftrightarrow F$ — הקודקוד השלישי

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

התשובה: $FD =$ 8 ס״מ, ו-$\angle D =$ 40 מעלות

הפתרון:

$D$ היא האות השלישית בשם $EFD$, ולכן היא מתאימה ל-$C$ ולא ל-$A$. מי שכתב 6 התאים לפי האלפבית ולא לפי הסדר.

התשובה: $AB = DE$, $BC = EF$, $AC = DF$ — מספיק לחפיפה · $AB = DE$, $\angle B = \angle E$, $BC = EF$ — מספיק לחפיפה · $\angle A = \angle D$, $AB = DE$, $\angle B = \angle E$ — מספיק לחפיפה · $AB = DE$, $BC = EF$, $\angle A = \angle D$, וגם $BC > AB$ — מספיק לחפיפה · $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$ — לא מספיק · $AB = DE$, $BC = EF$, $\angle A = \angle D$, וגם $BC < AB$ — לא מספיק · $AB = DE$ ו-$AC = DF$ בלבד — לא מספיק

הפתרון:

ז.ז.ז נותן אותה צורה בלי אותו גודל, ושני זוגות צלעות לבדם הם רק שני נתונים — צריך שלושה. שתי צלעות וזווית שאינה כלואה מספיקות רק כשהזווית מול הגדולה מבין שתי הצלעות.

התשובה: $PR = XZ$ → $PR = XY$

הפתרון:

הצלע $PR$ בנויה מהאות הראשונה ומהשלישית, ולכן היא מתאימה ל-$XY$ — הראשונה והשלישית בשם $XZY$. הצלע $XZ$ כבר שימשה בשורה הראשונה.

התשובה: נכון

הפתרון:

נכון. משולשים חופפים הם אותו משולש בדיוק, ולכן גם ההיקף והשטח שלהם שווים.

התשובה: לא נכון

הפתרון:

לא נכון. למשולש שצלעותיו 3, 4, 5 ולמשולש שווה צלעות שצלעו 4 יש אותו היקף, אבל צורה אחרת. ההיקף הוא מספר אחד, וחפיפה דורשת שלושה נתונים מהסוג הנכון.

התשובה: $\angle L = \angle T$ → $\angle L = \angle S$

הפתרון:

$L$ במקום השני, ולכן היא מתאימה ל-$S$, האות השנייה. $T$ שייכת ל-$M$, ושם השורה האחרונה נכונה.

התשובה: שלוש צלעות שוות בהתאמה — חופפים בהכרח · שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן — חופפים בהכרח · שתי זוויות והצלע שביניהן — חופפים בהכרח · שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן — חופפים בהכרח · שלוש זוויות שוות בהתאמה — לא בהכרח · שתי צלעות והזווית שמול הקטנה מביניהן — לא בהכרח

הפתרון:

שלוש זוויות נותנות רק אותה צורה, בכל גודל. וזווית מול הצלע הקטנה יכולה לתת שני משולשים שונים.

התשובה: 2

הפתרון:

שני משולשים, $ABC$ ו-$ABD$, והם אינם חופפים. מי שענה 1 שכח את הנקודה הקרובה ל-$B$.

התשובה: נכון

הפתרון:

נכון. על הקרן יש נקודה אחת במרחק 7 מ-$A$. הנקודה השנייה נופלת מאחורי $B$, שם הזווית היא $140°$. זה בדיוק התנאי של צ.צ.ז.