הוכחות עם חפיפה · משולשים חופפים · כיתה ט׳

עד עכשיו למדנו מהי חפיפה, ומהם ארבעת משפטי החפיפה. עכשיו העבודה האמיתית: הוכחות.

בהוכחה כזאת החפיפה היא התחנה האמצעית. לפניה אוספים שוויונות: מקבילים, זוויות צמודות, קודקודיות. אחריה שולפים את המסקנה.

מה שלושת שלבי הוכחת חפיפה?

להציג את התשובה והפתרון

לבחור זוג משולשים, לאסוף שלושה זוגות מתאימים עם נימוקים, ולסכם לפי אחד מארבעת משפטי החפיפה (צ.צ.צ, צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.ז). ואז להסיק את מה שביקשו: «צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות» או «זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות».

דוגמה ראשונה — מקבילים משני הכיוונים

במשולש $ABC$ : הנקודה $D$ על $BC$ , הנקודה $E$ על $AB$ והנקודה $F$ על $AC$ . נתון: $ED = FC$ , וגם $AB \parallel FD$ ו- $AC \parallel ED$ . הוכיחו ש- $AD$ תיכון לצלע $BC$ .

$ED = FC$

$AB \parallel FD$

$AC \parallel ED$

$AD$ תיכון ל- $BC$

$\angle EDB = \angle FCD$

$ED \parallel AC$ — זוויות מתאימות בין מקבילים

$\angle EBD = \angle FDC$

$FD \parallel AB$ — זוויות מתאימות בין מקבילים

$\angle BED = \angle DFC$

סכום הזוויות במשולש $180°$ — שני זוגות שווים, ולכן גם השלישי

נתון

$\triangle EBD \cong \triangle FDC$

משפט חפיפה ז.צ.ז — הצלעות $ED$ ו- $FC$ כלואות בין הזוגות השווים

$BD = DC$

צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

$D$ אמצע הצלע — זו הגדרת התיכון

השלב השלישי הוא הטריק של התרגיל: כששני זוגות זוויות שווים, הזוג השלישי מצטרף בחינם — הסכום בכל משולש הוא $180°$ . כך מגיעים ל-ז.צ.ז בלי אף מדידה נוספת.

דוגמה שנייה — תיכון, חוצה זווית, ומסקנה מפתיעה

$AD$ תיכון לצלע $BC$ במשולש $ABC$ . הקטע $DE$ חוצה את הזווית $ADC$ וגם מאונך לצלע $AC$ . הוכיחו שהמשולש $ABC$ ישר זווית.

$AD$ תיכון ל- $BC$

$DE$ חוצה את $\angle ADC$

$DE \perp AC$

$\angle BAC = 90°$

ב- $\triangle ADC$ הקטע $DE$ חוצה זווית וגם גובה

נתון

$DA = DC$

משולש שבו חוצה זווית מקודקוד הוא גם גובה — שווה שוקיים

$DB = DC$

$AD$ תיכון, ולכן $D$ אמצע $BC$

$DA = DB$

משני השוויונות הקודמים

$\angle DAC = \angle DCA$

זוויות בסיס ב- $\triangle ADC$ שווה השוקיים

$\angle DAB = \angle DBA$

זוויות בסיס ב- $\triangle ADB$ שווה השוקיים

$\angle BAC = \angle DCA + \angle DBA$

$\angle BAC = \angle DAC + \angle DAB$ — חיבור שתי הזוויות שליד $A$

$\angle BAC + \angle DBA + \angle DCA = 180°$

סכום הזוויות במשולש $ABC$

$2\angle BAC = 180° \ \Rightarrow\ \angle BAC = 90°$

מציבים את השורה הקודמת — והמשולש ישר זווית

קיבלנו דרך אגב משפט מפורסם: אם התיכון שווה למחצית הצלע שאליה הוא יוצא ( $DA = DB = DC$ ) — הזווית שמול אותה צלע ישרה. שווה לזכור אותו.

שני רמזים שעובדים כמעט תמיד: חוצה זווית שהוא גם גובה ⟵ המשולש שווה שוקיים. תיכון ⟵ שני קטעים שווים שמחכים שתשתמשו בהם.

תרגילים

תרגיל 1

B

על

AD

C

על

AE

; הקטעים

DC

ו-

BE

נחתכים ב-

O

. הקטע

AO

(מקווקו) הועבר לצורך ההוכחה.

נתון: $AB = AC$ ו- $BO = CO$ . המשך $AB$ נפגש עם המשך $CO$ בנקודה $D$ ; המשך $AC$ נפגש עם המשך $BO$ בנקודה $E$ . מעבירים את הקטע $AO$ . הוכיחו: $\angle D = \angle E$ .

$AB = AC$
$BO = CO$
$D$ על המשך $AB$ ועל המשך $CO$
$E$ על המשך $AC$ ועל המשך $BO$

$\angle D = \angle E$

להציג את התשובה והפתרון

$AB = AC$ — נתון
$BO = CO$ — נתון
$AO = AO$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle ABO \cong \triangle ACO$ — משפט חפיפה צ.צ.צ
$\angle ABO = \angle ACO$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
$\angle DBO = \angle ECO$ — זוויות צמודות לזוויות שוות — שוות
$\angle BOD = \angle COE$ — זוויות קודקודיות שוות
$\triangle DBO \cong \triangle ECO$ — משפט חפיפה ז.צ.ז
$\angle D = \angle E$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

\triangle ABO \cong \triangle ACO

צ.צ.צ — עם הצלע המשותפת $AO$

\angle DBO = \angle ECO

צמודות לזוויות המתאימות השוות

\triangle DBO \cong \triangle ECO

ז.צ.ז — עם הקודקודיות ב- $O$

\angle D = \angle E

זוויות מתאימות

הוכחה בשתי קומות: חפיפה ראשונה מספקת את הזוויות לחפיפה השנייה. זה מבנה שחוזר הרבה בבחינות.

דוגמה ראשונה — מקבילים משני הכיוונים

דוגמה שנייה — תיכון, חוצה זווית, ומסקנה מפתיעה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev