תרגול · דלתון · כיתה ט׳

אחד-עשר תרגילים על כל הפרק: תכונות הדלתון, השטח לפי האלכסונים, איך מוכיחים שמרובע הוא דלתון, הוכחה מלאה, וחישובים בשאלה שלמה. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

בדלתון האלכסונים הם 9 ס״מ ו-14 ס״מ. מה השטח, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 63

הפתרון:

S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

האלכסונים בדלתון מאונכים

\begin{aligned}S &= \frac{9 \cdot 14}{2} \\ &= 63\end{aligned}

מציבים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בדלתון $ABCD$ נתון $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . אילו זוויות שוות בו בהכרח?

$\angle BAD = \angle ADC$
$\angle BAD = \angle BCD$
$\angle ABC = \angle ADC$
$\angle ABC = \angle BAD$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\angle ABC = \angle ADC$

הפתרון:

\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.צ.צ — $AC$ צלע משותפת

\angle ABC = \angle ADC

זוויות מתאימות במשולשים חופפים

השוות הן זוויות הצד — אלה שהאלכסון הראשי $AC$ אינו עובר דרכן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בדלתון $ABCD$ ( $AB = AD$ , $CB = CD$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . נתון $BD = 18$ ס״מ. מה אורך $BM$ , בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\begin{aligned}BM &= MD \\ &= \frac{18}{2} \\ &= 9\end{aligned}

האלכסון הראשי $AC$ חוצה את האלכסון המשני $BD$

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

בדלתון $ABCD$ ( $AB = AD$ , $CB = CD$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . נתון $MB = 12$ ס״מ ו- $MC = 16$ ס״מ. מה אורך $CB$ , בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\angle BMC = 90°

האלכסונים בדלתון מאונכים

\begin{aligned}CB^2 &= 12^2 + 16^2 \\ &= 400\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $BMC$

CB = 20

מוציאים שורש

מותר להפעיל כאן את משפט פיתגורס רק מפני שהאלכסונים מאונכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אם האלכסונים של מרובע $ABCD$ מאונכים זה לזה, אז יש לו בהכרח שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

AC \perp BD

בלבד — לא מספיק

\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad BM &= MD\end{aligned}

צריך גם שאלכסון אחד יחצה את השני, כאשר $M$ היא נקודת החיתוך

אפשר לצייר שני קטעים מאונכים שאף אחד מהם אינו חוצה את השני, והמרובע שנוצר אינו דלתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במרובע $ABCD$ — איזה נתון מוכיח שהוא דלתון?

$\angle ABC = \angle ADC$ בלבד
$AB = DC$ וגם $BC = AD$
$AC \perp BD$ בלבד
$AB = AD$ וגם $CB = CD$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $AB = AD$ וגם $CB = CD$

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= AD \\ \quad CB &= CD\end{aligned}

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

שני זוגות של צלעות נגדיות שוות נותנים מקבילית, לא דלתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נועה בונה עפיפון בצורת דלתון לקראת טיול לחוף בנתניה. היא קושרת שני מקלות מאונכים: מקל ארוך של 60 ס״מ ומקל קצר של 40 ס״מ, והם האלכסונים של העפיפון. כמה סמ״ר נייר צריך כדי לכסות את העפיפון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1200

הפתרון:

\begin{aligned}S &= \frac{60 \cdot 40}{2} \\ &= 1200\end{aligned}

מכפלת האלכסונים חלקי 2

הנוסחה עובדת כי המקלות — האלכסונים — מאונכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

בדלתון $ABCD$ ( $AB = AD$ , $CB = CD$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . נתון $AB = 17$ ס״מ, $MB = 15$ ס״מ ו- $CB = 25$ ס״מ. מה שטח הדלתון, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 420

הפתרון:

\begin{aligned}AM &= \sqrt{17^2 - 15^2} \\ &= 8\end{aligned}

פיתגורס במשולש $AMB$

\begin{aligned}MC &= \sqrt{25^2 - 15^2} \\ &= 20\end{aligned}

פיתגורס במשולש $CMB$

\begin{aligned}AC &= 28 \\ \quad BD &= 2 \cdot 15 \\ &= 30\end{aligned}

$AC$ חוצה את $BD$

\begin{aligned}S &= \frac{28 \cdot 30}{2} \\ &= 420\end{aligned}

מכפלת האלכסונים חלקי 2

האלכסון הראשי אינו נחצה: $AM \neq MC$ , ולכן מחשבים כל חלק בנפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שתי זוויות ישרות, ב-

B

וב-

D

, ושתיהן מול האלכסון

AC

במרובע $ABCD$ נתון $AB = AD$ , וגם $CB \perp AB$ ו- $CD \perp AD$ . הוכיחו: $ABCD$ הוא דלתון.

$AB = AD$
$CB \perp AB$
$CD \perp AD$

מרובע $ABCD$ הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון

$AB = AD$ — נתון
$\angle ABC = 90^\circ$ — נתון: $CB \perp AB$
$\angle ADC = 90^\circ$ — נתון: $CD \perp AD$
$AC = AC$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$AC > AB$ — במשולש ישר-זווית היתר גדול מכל אחד מהניצבים
$\triangle ABC \cong \triangle ADC$ — משפט חפיפה צ.צ.ז
$CB = CD$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
מרובע $ABCD$ הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= AD \ \\ \ AC &= AC \ \\ \ \angle ABC &= \angle ADC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שתי צלעות, וזווית שאינה כלואה ביניהן

AC > AB

הזווית הישרה מונחת מול היתר $AC$ , הגדולה מבין שתי הצלעות

\triangle ABC \cong \triangle ADC

משפט חפיפה צ.צ.ז

CB = CD

צלעות מתאימות — הזוג השני

צ.ז.צ אינו מתאים כאן: הזווית הנתונה אינה בין $AB$ ל- $AC$ . אבל היא מונחת מול $AC$ , והזווית הישרה מונחת תמיד מול הצלע הגדולה במשולש — ולכן משפט החפיפה הרביעי, צ.צ.ז, חל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בדלתון $ABCD$ ( $AB = AD$ , $CB = CD$ ) נתון $\angle BAD = 80°$ ו- $\angle ABC = 115°$ . מה גודל $\angle ACB$ , במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ABC \\ &= 115°\end{aligned}

זוויות הצד בדלתון שוות

\begin{aligned}\angle BCD &= 360° - 80° - 115° - 115° \\ &= 50°\end{aligned}

סכום הזוויות במרובע

\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{50°}{2} \\ &= 25°\end{aligned}

האלכסון הראשי חוצה את הזווית $C$

בדיקה במשולש $ABC$ : $40° + 115° + 25° = 180°$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

חלון ויטראז׳ בצורת דלתון $ABCD$ ( $AB = AD$ , $CB = CD$ ). שטחו 1500 סמ״ר, והאלכסון הראשי $AC$ הוא 60 ס״מ. האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . מה אורך $BM$ , בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\frac{60 \cdot BD}{2} = 1500

נוסחת השטח

\begin{aligned}BD &= \frac{3000}{60} \\ &= 50\end{aligned}

פותרים

\begin{aligned}BM &= \frac{50}{2} \\ &= 25\end{aligned}

הראשי חוצה את המשני

בדיקה: $\frac{60 \cdot 50}{2} = 1500$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev