שאלה שלמה — דלתון · דלתון · כיתה ט׳

במבחן, גאומטריה לא מגיעה כתרגיל בודד. מגיעים שרטוט, נתון, ושלושה או ארבעה סעיפים.

הסעיפים נבנים זה על זה: הראשון מוכיח משהו קטן, השני משתמש בו, והאחרון מחשב מספר. מי שמדלג על סעיף א׳ נתקע בסעיף ג׳.

שלושת הכללים של תשובה מתקבלת

1

כל טענה — ונימוק לצידה. ״כי כך נראה בשרטוט״ אינו נימוק. הנימוק הוא נתון, הגדרה, או משפט שלמדתם.

2

מה שהוכחתם — מותר להשתמש בו. סעיף ב׳ נשען על סעיף א׳, וזה בדיוק הרעיון של השאלה המדורגת.

3

חפשו את המשולשים החופפים. ברוב ההוכחות, השוויון שמבקשים ממכם הוא ״צלעות מתאימות במשולשים חופפים״ — צריך רק למצוא איזה שני משולשים.

ובדלתון יש קיצור דרך שחוזר כמעט תמיד: האלכסון הראשי הוא ציר סימטריה.

הוא חוצה את שתי הזוויות שדרכן הוא עובר. הוא מאונך לאלכסון השני, וחוצה אותו.

שטח דלתון: $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ — מכפלת האלכסונים חלקי שתיים. הנוסחה עובדת מפני שהאלכסונים מאונכים, ולכן היא נכונה גם במעוין ובריבוע.

בדלתון $ABCD$ ( $AB = AD$ , $CB = CD$ ) האלכסונים נחתכים ב- $M$ , ונתון $MB = 12$ , $AM = 5$ . מהו אורך $AB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

13. האלכסונים מאונכים, ולכן המשולש $AMB$ ישר-זווית: $AB^2 = 5^2 + 12^2 = 169$ .

ולמה בכלל מותר להפעיל שם את משפט פיתגורס?

להציג את התשובה והפתרון

מפני שהוכחנו קודם ש- $AC \perp BD$ . פיתגורס אינו נתון — הוא תוצאה של ההוכחה, וזו בדיוק הסיבה שסעיף א׳ מגיע לפני סעיף ב׳.

שתי טעויות שמורידות נקודות גם כשהתשובה נכונה.

AB = AD

AB = AD \ (\text{נתון})

טענה בלי נימוק אינה שורה בהוכחה. גם ״נתון״ הוא נימוק — צריך רק לכתוב אותו.

S = d_1 \cdot d_2

S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

מכפלת האלכסונים היא שטח המלבן החוסם — הדלתון הוא בדיוק חציו.

תרגילים

תרגיל 1

האלכסונים מסומנים במקווקו.

E

ו-

F

מרוחקות במידה שווה מ-

B

ומ-

D

בשרטוט 1 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ , הנקודה $F$ על הצלע $AD$ , ונתון $BE = DF$ . א. הוכיחו: $AE = AF$ .

$AB = AD$
$CB = CD$
$E$ על $AB$ ו- $F$ על $AD$
$BE = DF$

$AE = AF$

להציג את התשובה והפתרון

$AB = AD$ — נתון
$BE = DF$ — נתון
$AE = AB - BE$ — $E$ נמצאת על הצלע $AB$
$AF = AD - DF$ — $F$ נמצאת על הצלע $AD$
$AE = AF$ — הפרש של גדלים שווים

הפתרון:

\begin{aligned}AE &= AB - BE \ \\ \ AF &= AD - DF\end{aligned}

$E$ על $AB$ ו- $F$ על $AD$

\begin{aligned}AE &= AB - BE \\ &= AD - DF \\ &= AF\end{aligned}

מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים

אין כאן חפיפה בכלל — רק חיסור. $AB = AD$ נתון, $BE = DF$ נתון, ומה שנשאר שווה גם הוא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

האלכסונים מסומנים במקווקו.

E

ו-

F

מרוחקות במידה שווה מ-

B

ומ-

D

בשרטוט 1 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ , הנקודה $F$ על הצלע $AD$ , ונתון $BE = DF$ . ב. הוכיחו: $\triangle CBE \cong \triangle CDF$ .

$AB = AD$
$CB = CD$
$E$ על $AB$ ו- $F$ על $AD$
$BE = DF$

$\triangle CBE \cong \triangle CDF$

להציג את התשובה והפתרון

$CB = CD$ — נתון
$BE = DF$ — נתון
$\angle ABC = \angle ADC$ — בדלתון הזוויות שבין הצלעות הלא-שוות שוות זו לזו
$\angle CBE = \angle ABC$ — $E$ על הצלע $AB$ , ולכן זו אותה זווית
$\angle CDF = \angle ADC$ — $F$ על הצלע $AD$ , ולכן זו אותה זווית
$\angle CBE = \angle CDF$ — שוויון עובר
$\triangle CBE \cong \triangle CDF$ — משפט חפיפה צ.ז.צ

הפתרון:

\angle ABC = \angle ADC

בדלתון הזוויות שבין הצלעות הלא-שוות שוות

\angle CBE = \angle CDF

אותן זוויות, כי $E$ על $AB$ ו- $F$ על $AD$

\begin{aligned}CB &= CD \ \\ \ \angle CBE &= \angle CDF \ \\ \ BE &= DF\end{aligned}

שתי צלעות והזווית שביניהן

\triangle CBE \cong \triangle CDF

משפט חפיפה צ.ז.צ

הזווית שבין $BE$ ל- $BC$ היא בדיוק $\angle ABC$ , כי $E$ נמצאת על $AB$ . זו הזווית שהופכת את שני הנתונים לצ.ז.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

האלכסונים מסומנים במקווקו.

E

ו-

F

מרוחקות במידה שווה מ-

B

ומ-

D

בשרטוט 1 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ , הנקודה $F$ על הצלע $AD$ , ונתון $BE = DF$ . ג. הוכיחו: $EF \parallel BD$ .

$AB = AD$
$CB = CD$
$E$ על $AB$ ו- $F$ על $AD$
$BE = DF$

$EF \parallel BD$

להציג את התשובה והפתרון

$AE = AF$ — הוכח בסעיף א
$\triangle AEF$ שווה-שוקיים — משולש שיש בו שתי צלעות שוות הוא שווה-שוקיים
$\angle AEF = \frac{180° - \angle A}{2}$ — זוויות הבסיס במשולש $AEF$
$AB = AD$ — נתון
$\triangle ABD$ שווה-שוקיים — משולש שיש בו שתי צלעות שוות הוא שווה-שוקיים
$\angle ABD = \frac{180° - \angle A}{2}$ — זוויות הבסיס במשולש $ABD$
$\angle AEF = \angle ABD$ — שני הגדלים שווים לאותו ביטוי
$EF \parallel BD$ — זוויות מתאימות שוות ⇐ הישרים מקבילים

הפתרון:

\begin{aligned}AE &= AF \ \\ \ AB &= AD\end{aligned}

סעיף א, ונתון

\begin{aligned}\angle AEF &= \frac{180^\circ - \angle A}{2} \\ &= \angle ABD\end{aligned}

זוויות הבסיס בשני משולשים שווי-שוקיים עם אותה זווית ראש

EF \parallel BD

זוויות מתאימות שוות

שני המשולשים $AEF$ ו- $ABD$ שווי-שוקיים, ויש להם אותה זווית ראש $\angle A$ . לכן גם זוויות הבסיס שלהם שוות, והן זוויות מתאימות על הישרים $EF$ ו- $BD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

האלכסונים מסומנים במקווקו.

E

ו-

F

מרוחקות במידה שווה מ-

B

ומ-

D

בשרטוט 1 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ , הנקודה $F$ על הצלע $AD$ , ונתון $BE = DF$ . ד. נתון בנוסף $\angle BAD = 50°$ . חשבו את $\angle AEF$ (בדרגות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 65

הפתרון:

AE = AF

מסעיף א — המשולש שווה-שוקיים

\begin{aligned}\angle AEF &= \frac{180° - 50°}{2} \\ &= 65°\end{aligned}

זוויות הבסיס

שימו לב ש- $\angle ABD$ שווה גם הוא ל- $65°$ — וזה בדיוק מה שהוכיח את המקבילות בסעיף ג.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

AMD

הוא ישר אחד: התיכון

AM

ממשיך אל

D

בשרטוט 2 נתון משולש שווה-שוקיים $ABC$ שבו $AB = AC$ , ו- $AM$ הוא התיכון לבסיס $BC$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך $AM$ מעבר ל- $M$ . א. הוכיחו: $DB = DC$ .

$AB = AC$
$AM$ תיכון לבסיס $BC$
$D$ על המשך $AM$ מעבר ל- $M$

$DB = DC$

להציג את התשובה והפתרון

$AB = AC$ — נתון
$BM = MC$ — נתון: $AM$ תיכון, ולכן $M$ אמצע $BC$
$AM = AM$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle ABM \cong \triangle ACM$ — משפט חפיפה צ.צ.צ
$\angle AMB = \angle AMC$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
$\angle AMB + \angle AMC = 180°$ — זוויות צמודות על הישר $BC$
$\angle AMB = 90°$ — שתי זוויות שוות שסכומן $180°$
$\angle DMB = \angle DMC = 90°$ — זוויות צמודות לזוויות ישרות — ישרות
$DM = DM$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle DBM \cong \triangle DCM$ — משפט חפיפה צ.ז.צ
$DB = DC$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

\triangle ABM \cong \triangle ACM

משפט חפיפה צ.צ.צ

\begin{aligned}\angle AMB &= \angle AMC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שוות וצמודות

\begin{aligned}\angle DMB &= \angle DMC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

צמודות לזוויות ישרות

\triangle DBM \cong \triangle DCM \Rightarrow DB = DC

משפט חפיפה צ.ז.צ, ואז צלעות מתאימות

החפיפה הראשונה אינה נותנת את המבוקש — היא נותנת את הזווית הישרה ב- $M$ , שבלעדיה החפיפה השנייה בלתי אפשרית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

AMD

הוא ישר אחד: התיכון

AM

ממשיך אל

D

בשרטוט 2 נתון משולש שווה-שוקיים $ABC$ שבו $AB = AC$ , ו- $AM$ הוא התיכון לבסיס $BC$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך $AM$ מעבר ל- $M$ . ב. הוכיחו: מרובע $ABDC$ הוא דלתון.

$AB = AC$
$AM$ תיכון לבסיס $BC$
$D$ על המשך $AM$ מעבר ל- $M$

מרובע $ABDC$ הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון

$AB = AC$ — נתון
$DB = DC$ — הוכח בסעיף א
מרובע $ABDC$ הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

הפתרון:

AB = AC

נתון — שתי הצלעות נפגשות ב- $A$

DB = DC

סעיף א — שתי הצלעות נפגשות ב- $D$

שני הזוגות הם של צלעות סמוכות: כל זוג נפגש בקודקוד אחד. לכן $ABDC$ דלתון, ו- $AD$ הוא האלכסון הראשי שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

AMD

הוא ישר אחד: התיכון

AM

ממשיך אל

D

בשרטוט 2 נתון משולש שווה-שוקיים $ABC$ שבו $AB = AC$ , ו- $AM$ הוא התיכון לבסיס $BC$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך $AM$ מעבר ל- $M$ . ג. נתון בנוסף $\angle BAC = 40°$ ו- $\angle BDC = 100°$ . חשבו את $\angle ABD$ (בדרגות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 110

הפתרון:

\angle ABD = \angle ACD

בדלתון — הזוויות שבין הצלעות הלא-שוות

40° + 100° + 2x = 360°

סכום זוויות במרובע

x = 110°

סכום הזוויות בכל מרובע הוא $360°$ , ושתי הזוויות הנותרות שוות זו לזו — לכן מספיק לחלק את השארית לשניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

AMD

הוא ישר אחד: התיכון

AM

ממשיך אל

D

בשרטוט 2 נתון משולש שווה-שוקיים $ABC$ שבו $AB = AC$ , ו- $AM$ הוא התיכון לבסיס $BC$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך $AM$ מעבר ל- $M$ . ד. נתון $\angle BAC = 40°$ . חשבו את $\angle BAM$ (בדרגות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\triangle ABM \cong \triangle ACM

צ.צ.צ, כמו בסעיף א

\begin{aligned}\angle BAM &= \frac{40°}{2} \\ &= 20°\end{aligned}

התיכון לבסיס חוצה גם את זווית הראש

במשולש שווה-שוקיים התיכון לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש וגם גובה — שלוש תכונות בקטע אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

AC

הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . א. הוכיחו: $AC \perp BD$ .

$AB = AD$
$CB = CD$

$AC \perp BD$

להציג את התשובה והפתרון

$AB = AD$ — נתון
$CB = CD$ — נתון
$AC = AC$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle ABC \cong \triangle ADC$ — משפט חפיפה צ.צ.צ
$\angle BAC = \angle DAC$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
$AM = AM$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle ABM \cong \triangle ADM$ — משפט חפיפה צ.ז.צ
$\angle AMB = \angle AMD$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
$\angle AMB + \angle AMD = 180°$ — זוויות צמודות על הישר $BD$
$\angle AMB = 90°$ — שתי זוויות שוות שסכומן $180°$
$AC \perp BD$ — זווית ישרה בין שני ישרים היא בדיוק מאונכות

הפתרון:

\triangle ABC \cong \triangle ADC

משפט חפיפה צ.צ.צ — ומכאן $\angle BAC = \angle DAC$

\triangle ABM \cong \triangle ADM

משפט חפיפה צ.ז.צ

\begin{aligned}\angle AMB &= \angle AMD \ \\ \ \angle AMB + \angle AMD &= 180^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות, וזוויות צמודות

\angle AMB = 90^\circ

ולכן $AC \perp BD$

«שוות וצמודות ⇐ ישרות» היא התבנית שמוכיחה מאונכות. בזכותה מותר בסעיפים הבאים להפעיל את משפט פיתגורס במשולשים $AMB$ ו- $CMB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

AC

הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . ב. נתון בנוסף $AB = 13$ ס״מ ו- $MB = 12$ ס״מ. חשבו את $AM$ (בס״מ).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\angle AMB = 90°

מסעיף א

\begin{aligned}AM^2 &= 13^2 - 12^2 \\ &= 25\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $AMB$

AM = 5

ההוכחה של סעיף א היא שמאפשרת את החישוב הזה: בלי הזווית הישרה, פיתגורס לא חל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

AC

הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . ג. נתון $MB = 12$ ס״מ, $AM = 5$ ס״מ ו- $MC = 9$ ס״מ. חשבו את שטח הדלתון (בסמ״ר).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 168

הפתרון:

\begin{aligned}BD &= 2 \cdot 12 \\ &= 24\end{aligned}

האלכסון הראשי חוצה את המשני

\begin{aligned}AC &= 5 + 9 \\ &= 14\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{24 \cdot 14}{2} \\ &= 168\end{aligned}

מכפלת האלכסונים חלקי 2

הנוסחה $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ תקפה בכל מרובע שאלכסוניו מאונכים — ולכן גם בדלתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

AC

הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . ד. נתון $MC = 9$ ס״מ ו- $MB = 12$ ס״מ. חשבו את היקף הדלתון (בס״מ), בהינתן $AB = 13$ ס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 56

הפתרון:

\begin{aligned}CB^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}

פיתגורס במשולש $CMB$

CB = 15

\begin{aligned}P &= 2(13 + 15) \\ &= 56\end{aligned}

שתי צלעות מכל אורך

בדלתון יש בדיוק שני אורכי צלעות, כל אחד פעמיים — לכן ההיקף הוא $2(a+b)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

AB = AD

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AB = AD$ → $AB = AD \ (\text{נתון})$

הפתרון:

טענה בלי נימוק אינה שורה בהוכחה. גם ״נתון״ הוא נימוק — צריך רק לכתוב אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

בדלתון $ABCD$ ( $AB = AD$ , $CB = CD$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . נתון $AM = 5$ ס״מ, $MB = 12$ ס״מ ו- $MC = 16$ ס״מ. סדרו את הקטעים מהקצר לארוך.

$AB$
$AC$
$AM$
$BD$
$CB$
$MB$
$MC$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AM$ · $MB$ · $AB$ · $MC$ · $CB$ · $AC$ · $BD$

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= 13\end{aligned}

פיתגורס ב- $\triangle AMB$

\begin{aligned}CB &= \sqrt{16^2 + 12^2} \\ &= 20\end{aligned}

פיתגורס ב- $\triangle CMB$

\begin{aligned}AC &= 5 + 16 \\ &= 21\end{aligned}

\begin{aligned}BD &= 2 \cdot 12 \\ &= 24\end{aligned}

5 < 12 < 13 < 16 < 20 < 21 < 24

האלכסונים מאונכים, ולכן המשולשים $AMB$ ו- $CMB$ ישרי-זווית ומותר להפעיל בהם את משפט פיתגורס. $BD$ כפול $MB$ , כי הראשי חוצה את המשני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שלושת הכללים של תשובה מתקבלת

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev