הוכחות בדלתון — עשרים תרגילים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

עד כאן: מהו דלתון ומהן תכונותיו. עכשיו דבר אחד בלבד: לכתוב הוכחה.

במבחן לא שואלים «מהו דלתון». נותנים שרטוט ונתון, ומבקשים להוכיח.

שני כיוונים, ולא לבלבל ביניהם

AB=ADCB=CD\begin{aligned}AB &= AD \\ \quad CB &= CD\end{aligned}

להוכיח שמרובע הוא דלתון. אוספים שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, או אלכסון אחד שמאונך לשני וחוצה אותו. לא צריך יותר.

AC⊥BDBO=OD∠BAC=∠DAC\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad BO &= OD \\ \quad \angle BAC &= \angle DAC\end{aligned}

להשתמש בדלתון שנתון. כל חמש התכונות עומדות לרשותכם כשורה אחת בהוכחה, בלי להוכיח אותן מחדש.

ABCDM
ACAC הוא האלכסון הראשי: הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות. הוא מאונך ל-BDBD וחוצה אותו, וחוצה את ∠A\angle A ואת ∠C\angle C. BDBD, המשני, אינו חוצה דבר.

כל שורה בהוכחה היא שתי עמודות: טענה, ולידה נימוק. אין שורה בלי נימוק, ואין נימוק שאינו משפט שנלמד או נתון. «רואים בשרטוט» אינו נימוק.

נתון מרובע שבו האלכסונים מאונכים זה לזה. האם זה מספיק כדי לקבוע שהוא דלתון?

להציג את התשובה והפתרון

לא. אנכיות לבדה אינה מספיקה — צריך בנוסף שאחד האלכסונים יחצה את השני. בלי זה אפשר לצייר מרובע עם אלכסונים מאונכים שאינו דלתון כלל.

שלוש שורות שנראות נכונות ואינן.

AB=CDBC=AD\begin{aligned}AB &= CD \\ \quad BC &= AD\end{aligned}
AB=ADCB=CD\begin{aligned}AB &= AD \\ \quad CB &= CD\end{aligned}

אלה זוגות נגדיים — הם נותנים מקבילית. בדלתון כל זוג נפגש בקודקוד.

AO=OCBO=OD\begin{aligned}AO &= OC \\ \quad BO &= OD\end{aligned}
BO=ODBO = OD

שני אלכסונים נחצים היו נותנים מעוין. בדלתון נחצה אחד בלבד — המשני, BDBD.

AB=AD∠ACB=∠ACD⇒△ABC≅△ADC\begin{aligned}AB &= AD \\ \quad \angle ACB &= \angle ACD \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle ADC\end{aligned}
AB=AD∠BAC=∠DACAC=AC\begin{aligned}AB &= AD \\ \quad \angle BAC &= \angle DAC \\ \quad AC &= AC\end{aligned}

שתי צלעות (ABAB, ACAC) וזווית שאינה ביניהן. הזווית ∠ACB\angle ACB נמצאת מול ABAB — הצלע הקטנה מבין השתיים — ולכן אין כאן משפט חפיפה. אילו הזווית הייתה מול הצלע הגדולה ACAC, למשל ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC, זה היה משפט חפיפה צ.צ.ז.

בהוכחה כתוב: «△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC ולכן AB=ADAB = AD». מהו הנימוק המדויק?

להציג את התשובה והפתרון

«צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות». לזוויות הנימוק הוא «זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות». בכתיבת החפיפה סדר האותיות קובע מי מתאים למי, ולכן אסור לכתוב אותן בסדר אקראי.

תרגילים

סדרה א — מההגדרה: שני זוגות של צלעות סמוכות

תרגיל 1

ABCD
האלכסון BDBD מחלק את המרובע לשני משולשים — ובכל אחד מהם שתי זוויות שוות.

במרובע ABCDABCD נתון: ∠ABD=∠ADB\angle ABD = \angle ADB וגם ∠CBD=∠CDB\angle CBD = \angle CDB. הוכיחו: ABCDABCD הוא דלתון.

  • ∠ABD=∠ADB\angle ABD = \angle ADB
  • ∠CBD=∠CDB\angle CBD = \angle CDB

מרובע ABCDABCD הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠ABD=∠ADB\angle ABD = \angle ADB — נתון
  2. AB=ADAB = AD — במשולש ABDABD: מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
  3. ∠CBD=∠CDB\angle CBD = \angle CDB — נתון
  4. CB=CDCB = CD — במשולש CBDCBD: מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
  5. מרובע ABCDABCD הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

הפתרון:

∠ABD=∠ADB⇒AB=AD\begin{aligned}\angle ABD &= \angle ADB \Rightarrow AB \\ &= AD\end{aligned}

המשולש העליון

∠CBD=∠CDB⇒CB=CD\begin{aligned}\angle CBD &= \angle CDB \Rightarrow CB \\ &= CD\end{aligned}

המשולש התחתון

שני הזוגות נפגשים בקודקוד — האחד ב-AA, השני ב-CC — ולכן הם סמוכים. שני זוגות של צלעות נגדיות שוות היו נותנים מקבילית, צורה אחרת לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCD
הקטע ACAC אינו נתון — מעבירים אותו כדי לקבל שני משולשים שווי-שוקיים זה מעל זה.

במרובע ABCDABCD נתון: BA=BCBA = BC וגם ∠DAB=∠DCB\angle DAB = \angle DCB. הוכיחו: ABCDABCD הוא דלתון.

  • BA=BCBA = BC
  • ∠DAB=∠DCB\angle DAB = \angle DCB

מרובע ABCDABCD הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. BA=BCBA = BC — נתון
  2. ∠BAC=∠BCA\angle BAC = \angle BCA — זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים ABCABC
  3. ∠DAB=∠DCB\angle DAB = \angle DCB — נתון
  4. ∠DAC=∠DCA\angle DAC = \angle DCA — הפרש של זוויות שוות: ∠DAC=∠DAB−∠BAC\angle DAC = \angle DAB - \angle BAC ו-∠DCA=∠DCB−∠BCA\angle DCA = \angle DCB - \angle BCA
  5. DA=DCDA = DC — במשולש ACDACD: מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
  6. מרובע ABCDABCD הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

הפתרון:

∠BAC=∠BCA\angle BAC = \angle BCA

המשולש העליון שווה-שוקיים

∠DAC=∠DAB−∠BAC=∠DCB−∠BCA=∠DCA\begin{aligned}\angle DAC &= \angle DAB - \angle BAC \\ &= \angle DCB - \angle BCA \\ &= \angle DCA\end{aligned}

מפחיתים זוויות שוות מזוויות שוות

DA=DCDA = DC

ולכן המשולש התחתון שווה-שוקיים גם הוא

החיסור הוא כל התרגיל. הזוויות הנתונות הן הזוויות השלמות של המרובע, והאלכסון ACAC חותך כל אחת מהן לשתיים — מה שנשאר אחרי החיסור הוא בדיוק מה שדרוש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCD
כאן הזוג העליון נתון, והזוויות הן שלמות — ∠ABC\angle ABC ו-∠ADC\angle ADC של המרובע עצמו.

במרובע ABCDABCD נתון: AB=ADAB = AD וגם ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC. הוכיחו: ABCDABCD הוא דלתון.

  • AB=ADAB = AD
  • ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC

מרובע ABCDABCD הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. ∠ABD=∠ADB\angle ABD = \angle ADB — זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים ABDABD
  3. ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC — נתון
  4. ∠DBC=∠BDC\angle DBC = \angle BDC — הפרש של זוויות שוות: ∠DBC=∠ABC−∠ABD\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD ו-∠BDC=∠ADC−∠ADB\angle BDC = \angle ADC - \angle ADB
  5. CB=CDCB = CD — במשולש BCDBCD: מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
  6. מרובע ABCDABCD הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

הפתרון:

AB=AD⇒∠ABD=∠ADB\begin{aligned}AB &= AD \Rightarrow \angle ABD \\ &= \angle ADB\end{aligned}

צלעות שוות ⇐ זוויות שוות

∠DBC=∠ABC−∠ABD=∠ADC−∠ADB=∠BDC\begin{aligned}\angle DBC &= \angle ABC - \angle ABD \\ &= \angle ADC - \angle ADB \\ &= \angle BDC\end{aligned}

חיסור

CB=CDCB = CD

וחזרה מזוויות לצלעות

פעמיים אותו משפט, בשני הכיוונים: פעם ראשונה מצלעות שוות לזוויות שוות, ופעם שנייה מזוויות שוות לצלעות שוות. זהו הכלי שחוזר בכל התרגילים של הסדרה הזאת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCDM
האנך האמצעי של BDBD הוא הישר שעובר באמצע MM ומאונך לו. הנקודה CC יושבת עליו.

במרובע ABCDABCD נתון: AB=ADAB = AD, והנקודה CC נמצאת על האנך האמצעי של BDBD. הוכיחו: ABCDABCD הוא דלתון.

  • AB=ADAB = AD
  • CC נמצאת על האנך האמצעי של BDBD

מרובע ABCDABCD הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. AA נמצאת על האנך האמצעי של BDBD — נקודה שמרחקיה משני קצות קטע שווים נמצאת על האנך האמצעי שלו
  3. CC נמצאת על האנך האמצעי של BDBD — נתון
  4. CB=CDCB = CD — כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחקים שווים מקצותיו
  5. הישר ACAC הוא האנך האמצעי של BDBD — שתי נקודות שונות קובעות ישר אחד בלבד
  6. מרובע ABCDABCD הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

הפתרון:

CB=CDCB = CD

מהאנך האמצעי

AB=AD  CB=CD\begin{aligned}AB &= AD \ \\ \ CB &= CD\end{aligned}

שני זוגות סמוכים

בדרך קיבלנו מתנה: גם AA וגם CC יושבות על האנך האמצעי של BDBD, ולכן האלכסון ACAC עצמו הוא האנך האמצעי הזה. משם נובעות בבת אחת שלוש התכונות: AC⊥BDAC \perp BD, BM=MDBM = MD, ו-ACAC חוצה את זוויות הראש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במרובע ABCDABCD נתון ∠ABD=∠ADB\angle ABD = \angle ADB ו-CB=CDCB = CD. כך הוכיחו שהוא דלתון. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

∠ABD=∠ADB (נתון)\angle ABD = \angle ADB \ (\text{נתון})
AB=AD (מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות)AB = AD \ (\text{מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות})
CB=CD (נתון)CB = CD \ (\text{נתון})
ABCD דלתון (שני זוגות של צלעות סמוכות שוות)ABCD \ \text{דלתון} \ (\text{שני זוגות של צלעות סמוכות שוות})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=AD (מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות)AB = AD \ (\text{מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות}) → AB=AD (מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות)AB = AD \ (\text{מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות})

הפתרון:

∠ABD=∠ADB⇒AB=AD\begin{aligned}\angle ABD &= \angle ADB \Rightarrow AB \\ &= AD\end{aligned}

מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

הטענה נכונה, אבל הנימוק הפוך. הנתון הוא זוויות שוות, והמסקנה היא צלעות שוות — ולכן המשפט הוא «מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות». מי שמצטט את הכיוון ההפוך מניח את מה שהוא רוצה להוכיח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — דרך החפיפה: האלכסון הראשי מחלק לשניים

תרגיל 6

ABCD
האלכסון ACAC חוצה שתי זוויות — ובין שתי הזוויות האלה יושבת צלע משותפת.

במרובע ABCDABCD האלכסון ACAC חוצה את ∠A\angle A וגם את ∠C\angle C. הוכיחו: ABCDABCD הוא דלתון.

  • ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC
  • ∠BCA=∠DCA\angle BCA = \angle DCA

מרובע ABCDABCD הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — נתון: ACAC חוצה את ∠A\angle A
  2. ∠BCA=∠DCA\angle BCA = \angle DCA — נתון: ACAC חוצה את ∠C\angle C
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה ז.צ.ז
  5. AB=ADAB = AD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  6. CB=CDCB = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  7. מרובע ABCDABCD הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

הפתרון:

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

ז.צ.ז — זווית, צלע, זווית

AB=AD  CB=CD\begin{aligned}AB &= AD \ \\ \ CB &= CD\end{aligned}

שני זוגות בבת אחת, מאותה חפיפה

חפיפה אחת נותנת את שני הזוגות יחד. הצלע שבין שתי הזוויות היא ACAC, והיא משותפת לשני המשולשים — בלעדיה אין ז.צ.ז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCD
צלע, הזווית שבינה לבין הצלע השנייה, ועוד צלע — זה בדיוק סדר הנתונים של צ.ז.צ.

במרובע ABCDABCD נתון: AB=ADAB = AD, והאלכסון ACAC חוצה את ∠A\angle A. הוכיחו: ABCDABCD הוא דלתון.

  • AB=ADAB = AD
  • ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

מרובע ABCDABCD הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — נתון: ACAC חוצה את ∠A\angle A
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. CB=CDCB = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  6. מרובע ABCDABCD הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

הפתרון:

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.ז.צ

CB=CDCB = CD

הזוג השני, שלא היה נתון

הזווית חייבת להיות זו שבין שתי הצלעות. ∠BAC\angle BAC יושבת בין ABAB ל-ACAC, ו-∠DAC\angle DAC בין ADAD ל-ACAC — לכן צ.ז.צ תקף. זווית אחרת לא הייתה מספיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCDE
שתי חפיפות זו אחר זו: הגדולה נותנת את הזווית ב-AA, והקטנה משתמשת בה.

בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) נבחרה נקודה EE על האלכסון ACAC. הוכיחו: ∠EBC=∠EDC\angle EBC = \angle EDC.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD
  • EE נמצאת על ACAC

∠EBC=∠EDC\angle EBC = \angle EDC

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. CB=CDCB = CD — נתון
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  6. ∠BAE=∠DAE\angle BAE = \angle DAE — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות, שכן EE נמצאת על ACAC
  7. AE=AEAE = AE — צלע משותפת לשני המשולשים
  8. △ABE≅△ADE\triangle ABE \cong \triangle ADE — משפט חפיפה צ.ז.צ
  9. ∠ABE=∠ADE\angle ABE = \angle ADE — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  10. ∠EBC=∠EDC\angle EBC = \angle EDC — הפרש של זוויות שוות: ∠EBC=∠ABC−∠ABE\angle EBC = \angle ABC - \angle ABE ו-∠EDC=∠ADC−∠ADE\angle EDC = \angle ADC - \angle ADE

הפתרון:

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.צ.צ — החפיפה הגדולה

△ABE≅△ADE\triangle ABE \cong \triangle ADE

צ.ז.צ — החפיפה הקטנה, בזכות הזווית שקיבלנו

∠EBC=∠ABC−∠ABE=∠ADC−∠ADE=∠EDC\begin{aligned}\angle EBC &= \angle ABC - \angle ABE \\ &= \angle ADC - \angle ADE \\ &= \angle EDC\end{aligned}

חיסור

החפיפה הראשונה אינה נותנת את המבוקש — היא נותנת את הזווית שבלעדיה החפיפה השנייה בלתי אפשרית. זה הסדר שחוזר במבחן: קודם המשולשים הגדולים, אחר כך הקטנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCDP
המבוקש הוא חפיפה — ולכן צריך לאסוף עבורה שלושה נתונים, לא אחד.

בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) נבחרה נקודה PP על האלכסון ACAC. הוכיחו: △PBC≅△PDC\triangle PBC \cong \triangle PDC.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD
  • PP נמצאת על ACAC

△PBC≅△PDC\triangle PBC \cong \triangle PDC

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. CB=CDCB = CD — נתון
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠BCP=∠DCP\angle BCP = \angle DCP — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות, שכן PP נמצאת על ACAC
  6. CP=CPCP = CP — צלע משותפת לשני המשולשים
  7. △PBC≅△PDC\triangle PBC \cong \triangle PDC — משפט חפיפה צ.ז.צ

הפתרון:

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

החפיפה הגדולה נותנת את הזווית ב-CC

CB=CD  ∠BCP=∠DCP  CP=CP\begin{aligned}CB &= CD \ \\ \ \angle BCP &= \angle DCP \ \\ \ CP &= CP\end{aligned}

שלושת הנתונים

△PBC≅△PDC\triangle PBC \cong \triangle PDC

צ.ז.צ

הפעם החפיפה הראשונה עובדת דרך הקודקוד CC, ולא דרך AA. השאלה שמכריעה תמיד: איזו זווית מחלק האלכסון הראשי, ולאיזה משולש היא שייכת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — דרך האלכסונים: מאונך וחוצה

תרגיל 10

ABCDM
הדרך השנייה להוכיח דלתון: אלכסון אחד מאונך לשני וחוצה אותו. אלכסון אחד בלבד.

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה MM. נתון: AC⊥BDAC \perp BD וגם BM=MDBM = MD. הוכיחו: ABCDABCD הוא דלתון.

  • AC⊥BDAC \perp BD
  • BM=MDBM = MD

מרובע ABCDABCD הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. BM=MDBM = MD — נתון
  2. ∠AMB=∠AMD=90∘\angle AMB = \angle AMD = 90^\circ — נתון: AC⊥BDAC \perp BD
  3. AM=AMAM = AM — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △AMB≅△AMD\triangle AMB \cong \triangle AMD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. AB=ADAB = AD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  6. ∠CMB=∠CMD=90∘\angle CMB = \angle CMD = 90^\circ — נתון: AC⊥BDAC \perp BD
  7. CM=CMCM = CM — צלע משותפת לשני המשולשים
  8. △CMB≅△CMD\triangle CMB \cong \triangle CMD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  9. CB=CDCB = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  10. מרובע ABCDABCD הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

הפתרון:

△AMB≅△AMD\triangle AMB \cong \triangle AMD

המשולשים העליונים

△CMB≅△CMD\triangle CMB \cong \triangle CMD

והתחתונים

AB=AD  CB=CD\begin{aligned}AB &= AD \ \\ \ CB &= CD\end{aligned}

שני זוגות סמוכים

שימו לב מה לא נתון כאן: ש-AM=MCAM = MC. אילו גם האלכסון השני היה נחצה, היינו מקבלים מעוין. מילה אחת מפרידה בין שתי הצורות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCDO
כאן דווקא ACAC הוא הנחצה — ולכן הוא המשני, ו-BDBD הוא הראשי.

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO. נתון: AC⊥BDAC \perp BD וגם AO=OCAO = OC. הוכיחו: ABCDABCD הוא דלתון.

  • AC⊥BDAC \perp BD
  • AO=OCAO = OC

מרובע ABCDABCD הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. AO=OCAO = OC — נתון
  2. ∠AOB=∠COB=90∘\angle AOB = \angle COB = 90^\circ — נתון: AC⊥BDAC \perp BD
  3. BO=BOBO = BO — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △AOB≅△COB\triangle AOB \cong \triangle COB — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. BA=BCBA = BC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  6. ∠AOD=∠COD=90∘\angle AOD = \angle COD = 90^\circ — נתון: AC⊥BDAC \perp BD
  7. DO=DODO = DO — צלע משותפת לשני המשולשים
  8. △AOD≅△COD\triangle AOD \cong \triangle COD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  9. DA=DCDA = DC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  10. מרובע ABCDABCD הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

הפתרון:

△AOB≅△COB\triangle AOB \cong \triangle COB

משמאל ומימין ל-BDBD, למעלה

△AOD≅△COD\triangle AOD \cong \triangle COD

ולמטה

BA=BC  DA=DC\begin{aligned}BA &= BC \ \\ \ DA &= DC\end{aligned}

הזוגות נפגשים ב-BB וב-DD

אותה הוכחה בדיוק כמו הקודמת, ורק שמות האותיות התחלפו. הכלל שכדאי לזכור: האלכסון הנחצה הוא תמיד המשני, והזוגות השווים נפגשים בקצות השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ABCDM
הפעם הכיוון הפוך: הדלתון נתון, והחצייה היא מה שצריך להוכיח.

בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) האלכסונים נחתכים בנקודה MM. הוכיחו: BM=MDBM = MD.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD

BM=MDBM = MD

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. CB=CDCB = CD — נתון
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠BAM=∠DAM\angle BAM = \angle DAM — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות, שכן MM נמצאת על ACAC
  6. AM=AMAM = AM — צלע משותפת לשני המשולשים
  7. △ABM≅△ADM\triangle ABM \cong \triangle ADM — משפט חפיפה צ.ז.צ
  8. BM=MDBM = MD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.צ.צ — ומכאן שהאלכסון הראשי חוצה את ∠A\angle A

△ABM≅△ADM\triangle ABM \cong \triangle ADM

צ.ז.צ, במשולשים הקטנים

BM=MDBM = MD

צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

אי אפשר לקפוץ ישר למשולשים הקטנים: בלי הזווית ב-AA אין בהם שלושה נתונים. הסדר הוא תמיד גדול, ואז קטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

ABCDM
המבוקש הוא זווית ישרה — ומגיעים אליה תמיד דרך שתי זוויות צמודות שוות.

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-MM. נתון: AB=ADAB = AD וגם BM=MDBM = MD. הוכיחו: AC⊥BDAC \perp BD.

  • AB=ADAB = AD
  • BM=MDBM = MD

AC⊥BDAC \perp BD

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. BM=MDBM = MD — נתון
  3. AM=AMAM = AM — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABM≅△ADM\triangle ABM \cong \triangle ADM — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠AMB=∠AMD\angle AMB = \angle AMD — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  6. ∠AMB+∠AMD=180∘\angle AMB + \angle AMD = 180^\circ — זוויות צמודות על הישר BDBD
  7. ∠AMB=90∘\angle AMB = 90^\circ — שתי זוויות שוות שסכומן 180∘180^\circ
  8. AC⊥BDAC \perp BD — זווית ישרה בין שני ישרים היא בדיוק מאונכות

הפתרון:

△ABM≅△ADM\triangle ABM \cong \triangle ADM

צ.צ.צ

∠AMB=∠AMD\angle AMB = \angle AMD

זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

∠AMB+∠AMD=180∘⇒∠AMB=90∘\begin{aligned}\angle AMB + \angle AMD &= 180^\circ \Rightarrow \angle AMB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שוות וצמודות

«שוות וצמודות ⇐ ישרות» היא התבנית שמוכיחה כל מאונכות בפרק הזה. ולשם כך צריך ששלוש הנקודות BB, MM, DD יהיו על ישר אחד — כאן זה נכון, כי BDBD אלכסון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ד — דלתון בתוך דלתון

תרגיל 14

ABCDO
המרובע החדש OBCDOBCD יושב בתוך הישן, וחולק איתו את הזוג התחתון.

בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) נבחרה נקודה OO על האלכסון ACAC. הוכיחו: מרובע OBCDOBCD הוא דלתון.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD
  • OO נמצאת על ACAC

מרובע OBCDOBCD הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. CB=CDCB = CD — נתון
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠BAO=∠DAO\angle BAO = \angle DAO — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות, שכן OO נמצאת על ACAC
  6. AO=AOAO = AO — צלע משותפת לשני המשולשים
  7. △ABO≅△ADO\triangle ABO \cong \triangle ADO — משפט חפיפה צ.ז.צ
  8. OB=ODOB = OD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  9. מרובע OBCDOBCD הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות: OB=ODOB = OD ו-CB=CDCB = CD

הפתרון:

△ABO≅△ADO\triangle ABO \cong \triangle ADO

צ.ז.צ

OB=OD  CB=CD\begin{aligned}OB &= OD \ \\ \ CB &= CD\end{aligned}

הזוג החדש, והזוג שכבר היה

הזוג התחתון עובר מהדלתון הישן לחדש בלי לעשות דבר. כל העבודה היא בזוג העליון — ו-OO יכולה לשבת בכל מקום על ACAC: הטענה נכונה תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

ABCDEF
הקטעים CECE ו-CFCF יוצרים זוויות שוות עם האלכסון ACAC.

בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) הנקודה EE נמצאת על הצלע ABAB והנקודה FF על הצלע ADAD, כך ש-∠ACE=∠ACF\angle ACE = \angle ACF. הוכיחו: מרובע AECFAECF הוא דלתון.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD
  • EE על ABAB ו-FF על ADAD
  • ∠ACE=∠ACF\angle ACE = \angle ACF

מרובע AECFAECF הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. CB=CDCB = CD — נתון
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠EAC=∠FAC\angle EAC = \angle FAC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות, שכן EE על ABAB ו-FF על ADAD
  6. ∠ACE=∠ACF\angle ACE = \angle ACF — נתון
  7. △AEC≅△AFC\triangle AEC \cong \triangle AFC — משפט חפיפה ז.צ.ז
  8. AE=AFAE = AF — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  9. CE=CFCE = CF — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  10. מרובע AECFAECF הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות: AE=AFAE = AF ו-CE=CFCE = CF

הפתרון:

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

משפט חפיפה צ.צ.צ — ומכאן ש-ACAC חוצה את ∠A\angle A

∠EAC=∠FAC  AC=AC  ∠ACE=∠ACF\begin{aligned}\angle EAC &= \angle FAC \ \\ \ AC &= AC \ \\ \ \angle ACE &= \angle ACF\end{aligned}

הצלע ACAC בין שתי זוויות שוות

△AEC≅△AFC\triangle AEC \cong \triangle AFC

משפט חפיפה ז.צ.ז

AE=AF  CE=CF\begin{aligned}AE &= AF \ \\ \ CE &= CF\end{aligned}

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות

החפיפה הגדולה נותנת את הזווית ליד AA, והנתון נותן את הזווית ליד CC. ביניהן יושבת הצלע המשותפת ACAC — ומכאן ז.צ.ז, ושני הזוגות בבת אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ABCDMEF
הדלתון הפנימי והחיצוני חולקים ציר אחד: הישר ACAC.

בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) האלכסונים נחתכים ב-MM. על המשך האלכסון BDBD סומנו הנקודה EE (מעבר ל-BB) והנקודה FF (מעבר ל-DD), כך ש-BE=DFBE = DF. הוכיחו: מרובע AECFAECF הוא דלתון.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD
  • BE=DFBE = DF

מרובע AECFAECF הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. הישר ACAC הוא האנך האמצעי של BDBD — בדלתון האלכסון הראשי מאונך למשני וחוצה אותו
  2. BM=MDBM = MD — ACAC חוצה את BDBD
  3. BE=DFBE = DF — נתון
  4. ME=MFME = MF — סכומים שווים: ME=MB+BEME = MB + BE ו-MF=MD+DFMF = MD + DF
  5. AC⊥EFAC \perp EF — EE ו-FF נמצאות על הישר BDBD, ו-AC⊥BDAC \perp BD
  6. הישר ACAC הוא האנך האמצעי של EFEF — מאונך ל-EFEF ועובר באמצעו
  7. AE=AFAE = AF — AA נמצאת על האנך האמצעי של EFEF
  8. CE=CFCE = CF — CC נמצאת על האנך האמצעי של EFEF
  9. מרובע AECFAECF הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

הפתרון:

ME=MB+BE  MF=MD+DF\begin{aligned}ME &= MB + BE \ \\ \ MF &= MD + DF\end{aligned}

סכומים שווים

ME=MFME = MF

ולכן ACAC הוא האנך האמצעי גם של EFEF

AE=AF  CE=CF\begin{aligned}AE &= AF \ \\ \ CE &= CF\end{aligned}

כל נקודה עליו שווה-מרחק מ-EE ומ-FF

אפשר היה לעשות את זה בארבע חפיפות. האנך האמצעי חוסך את כולן: ברגע שיודעים שישר אחד מאונך לקטע ועובר באמצעו, כל נקודה עליו נמצאת במרחקים שווים מהקצוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ABCDMEGFH
ארבע נקודות על שני האלכסונים — והמרובע שהן יוצרות יורש את הציר של הדלתון.

בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) האלכסונים נחתכים ב-MM. הנקודות EE ו-GG נמצאות על האלכסון ACAC, והנקודות FF ו-HH על האלכסון BDBD, כך ש-BF=DHBF = DH. הוכיחו: מרובע EFGHEFGH הוא דלתון.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD
  • BF=DHBF = DH

מרובע EFGHEFGH הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. AC⊥BDAC \perp BD — בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה
  2. BM=MDBM = MD — בדלתון האלכסון הראשי חוצה את המשני
  3. BF=DHBF = DH — נתון
  4. MF=MHMF = MH — הפרשים שווים: MF=MB−BFMF = MB - BF ו-MH=MD−DHMH = MD - DH
  5. ∠EMF=∠EMH=90∘\angle EMF = \angle EMH = 90^\circ — EE נמצאת על ACAC, ו-FF ו-HH על BDBD
  6. EM=EMEM = EM — צלע משותפת לשני המשולשים
  7. △EMF≅△EMH\triangle EMF \cong \triangle EMH — משפט חפיפה צ.ז.צ
  8. EF=EHEF = EH — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  9. ∠GMF=∠GMH=90∘\angle GMF = \angle GMH = 90^\circ — GG נמצאת על ACAC, ו-FF ו-HH על BDBD
  10. GM=GMGM = GM — צלע משותפת לשני המשולשים
  11. △GMF≅△GMH\triangle GMF \cong \triangle GMH — משפט חפיפה צ.ז.צ
  12. GF=GHGF = GH — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  13. מרובע EFGHEFGH הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות: EF=EHEF = EH ו-GF=GHGF = GH

הפתרון:

MF=MB−BF=MD−DH=MH\begin{aligned}MF &= MB - BF \\ &= MD - DH \\ &= MH\end{aligned}

הפרשים שווים

△EMF≅△EMH\triangle EMF \cong \triangle EMH

צ.ז.צ, סביב הזווית הישרה

△GMF≅△GMH\triangle GMF \cong \triangle GMH

ואותו דבר למטה

ההוכחה הארוכה בפרק, וכולה חזרה על אותו מהלך פעמיים. שתי התכונות שנלקחות כאן מהדלתון הנתון — האנכיות והחצייה — הן בדיוק שתי התכונות שצריך כדי להוכיח שדלתון חדש נוצר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ה — דלתון מתוך משולש ומתוך ריבוע

תרגיל 18

ABCDEF
הדלתון AEDFAEDF מוסתר בתוך המשולש: קודקוד עליון AA, קודקוד תחתון DD.

במשולש שווה-שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC), הנקודה DD היא אמצע הבסיס BCBC. על הצלע ABAB סומנה הנקודה EE ועל הצלע ACAC סומנה הנקודה FF, כך ש-∠EDB=∠FDC\angle EDB = \angle FDC. הוכיחו: מרובע AEDFAEDF הוא דלתון.

  • AB=ACAB = AC
  • BD=DCBD = DC
  • ∠EDB=∠FDC\angle EDB = \angle FDC

מרובע AEDFAEDF הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. ∠ABC=∠ACB\angle ABC = \angle ACB — זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים
  3. BD=DCBD = DC — נתון: DD אמצע BCBC
  4. ∠EDB=∠FDC\angle EDB = \angle FDC — נתון
  5. △BDE≅△CDF\triangle BDE \cong \triangle CDF — משפט חפיפה ז.צ.ז
  6. BE=CFBE = CF — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  7. DE=DFDE = DF — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  8. AE=AFAE = AF — הפרשים שווים: AE=AB−BEAE = AB - BE ו-AF=AC−CFAF = AC - CF
  9. מרובע AEDFAEDF הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות: AE=AFAE = AF ו-DE=DFDE = DF

הפתרון:

△BDE≅△CDF\triangle BDE \cong \triangle CDF

ז.צ.ז — שתי הזוויות והצלע שביניהן

AE=AB−BE=AC−CF=AF\begin{aligned}AE &= AB - BE \\ &= AC - CF \\ &= AF\end{aligned}

הפרשים שווים

DE=DFDE = DF

והזוג התחתון ישירות מהחפיפה

החפיפה נותנת כאן שני דברים: את DE=DFDE = DF ישירות, ואת BE=CFBE = CF שמוביל אל AE=AFAE = AF בחיסור. תמיד כדאי לשאול «מה עוד יצא לי מהחפיפה הזאת».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

ABCDEO
שני חוצי זווית, ובתוכם דלתון: AA למעלה, OO למטה.

במשולש שווה-שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) העבירו את חוצי זוויות הבסיס: BDBD (כאשר DD על ACAC) ו-CECE (כאשר EE על ABAB). הם נחתכים בנקודה OO. הוכיחו: מרובע AEODAEOD הוא דלתון.

  • AB=ACAB = AC
  • BDBD חוצה את ∠ABC\angle ABC
  • CECE חוצה את ∠ACB\angle ACB

מרובע AEODAEOD הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. ∠ABC=∠ACB\angle ABC = \angle ACB — זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים
  3. ∠DBC=∠ECB\angle DBC = \angle ECB — מחציות של זוויות שוות שוות זו לזו
  4. BC=CBBC = CB — צלע משותפת לשני המשולשים
  5. △DBC≅△ECB\triangle DBC \cong \triangle ECB — משפט חפיפה ז.צ.ז
  6. BE=CDBE = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  7. BD=CEBD = CE — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  8. AE=ADAE = AD — הפרשים שווים: AE=AB−BEAE = AB - BE ו-AD=AC−CDAD = AC - CD
  9. OB=OCOB = OC — במשולש OBCOBC: מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
  10. OE=ODOE = OD — הפרשים שווים: OE=CE−COOE = CE - CO ו-OD=BD−BOOD = BD - BO
  11. מרובע AEODAEOD הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות: AE=ADAE = AD ו-OE=ODOE = OD

הפתרון:

△DBC≅△ECB\triangle DBC \cong \triangle ECB

ז.צ.ז, על הבסיס המשותף

AE=AB−BE=AC−CD=AD\begin{aligned}AE &= AB - BE \\ &= AC - CD \\ &= AD\end{aligned}

הזוג העליון

OE=CE−CO=BD−BO=OD\begin{aligned}OE &= CE - CO \\ &= BD - BO \\ &= OD\end{aligned}

הזוג התחתון — שני חיסורים

שימו לב לשמות בחפיפה: △DBC≅△ECB\triangle DBC \cong \triangle ECB, ולכן DD מתאימה ל-EE ו-BB ל-CC. מי שכותב △DBC≅△EBC\triangle DBC \cong \triangle EBC מקבל התאמה אחרת לגמרי, ומסקנות שגויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

ABCDEF
מהריבוע לוקחים שני דברים בלבד: כל הצלעות שוות, וכל הזוויות ישרות.

בריבוע ABCDABCD סומנה הנקודה EE על הצלע ABAB והנקודה FF על הצלע ADAD, כך ש-AE=AFAE = AF. הוכיחו: מרובע AECFAECF הוא דלתון.

  • ABCDABCD ריבוע
  • AE=AFAE = AF

מרובע AECFAECF הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. AE=AFAE = AF — נתון
  2. AB=ADAB = AD — בריבוע כל הצלעות שוות
  3. BE=DFBE = DF — הפרשים שווים: BE=AB−AEBE = AB - AE ו-DF=AD−AFDF = AD - AF
  4. CB=CDCB = CD — בריבוע כל הצלעות שוות
  5. ∠ABC=∠ADC=90∘\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ — בריבוע כל הזוויות ישרות
  6. △EBC≅△FDC\triangle EBC \cong \triangle FDC — משפט חפיפה צ.ז.צ
  7. CE=CFCE = CF — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  8. מרובע AECFAECF הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות: AE=AFAE = AF ו-CE=CFCE = CF

הפתרון:

BE=AB−AE=AD−AF=DF\begin{aligned}BE &= AB - AE \\ &= AD - AF \\ &= DF\end{aligned}

מה שנשאר מהצלעות

△EBC≅△FDC\triangle EBC \cong \triangle FDC

צ.ז.צ, סביב הזווית הישרה

CE=CFCE = CF

הזוג התחתון

הריבוע הוא רק המקור לנתונים — בהוכחה עצמה משתמשים בו שלוש פעמים בלבד: AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD, ושתי הזוויות הישרות. כל השאר הוא חיסור וחפיפה, כמו בכל הסדרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

ABCDEFP
AEDFAEDF הוא דלתון, ADAD הוא האלכסון הראשי שלו — וזו בדיוק הטענה שמוכיחים כאן.

במשולש שווה-שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC), הנקודה DD היא אמצע הבסיס BCBC. על הצלע ABAB סומנה EE ועל הצלע ACAC סומנה FF, כך ש-AE=AFAE = AF. הקטע ADAD חותך את EFEF בנקודה PP. הוכיחו: AD⊥EFAD \perp EF.

  • AB=ACAB = AC
  • BD=DCBD = DC
  • AE=AFAE = AF

AD⊥EFAD \perp EF

להציג את התשובה והפתרון
  1. AE=AFAE = AF — נתון
  2. AB=ACAB = AC — נתון
  3. BD=DCBD = DC — נתון: DD אמצע BCBC
  4. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  5. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.צ.צ
  6. ∠EAP=∠FAP\angle EAP = \angle FAP — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות, שכן PP נמצאת על ADAD
  7. AP=APAP = AP — צלע משותפת לשני המשולשים
  8. △AEP≅△AFP\triangle AEP \cong \triangle AFP — משפט חפיפה צ.ז.צ
  9. ∠APE=∠APF\angle APE = \angle APF — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  10. ∠APE+∠APF=180∘\angle APE + \angle APF = 180^\circ — זוויות צמודות על הישר EFEF
  11. ∠APE=90∘\angle APE = 90^\circ — שתי זוויות שוות שסכומן 180∘180^\circ
  12. AD⊥EFAD \perp EF — זווית ישרה בין שני ישרים היא בדיוק מאונכות

הפתרון:

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

צ.צ.צ — ומכאן ש-ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC

△AEP≅△AFP\triangle AEP \cong \triangle AFP

צ.ז.צ

∠APE=∠APF=90∘\begin{aligned}\angle APE &= \angle APF \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שוות וצמודות

זו התכונה שפותחת את כל הפרק, מוכחת מהתחלה: האלכסון הראשי מאונך למשני. לא «יוצר איתו זוויות», אלא מאונך לו — וזה מה שמתירים לכתוב בשורה אחת בכל תרגיל אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

לפני שכותבים: מה מבקשת השאלה? מיינו.

  • להוכיח שזה דלתון
  • להשתמש בדלתון נתון
  • בדלתון ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-MM. הוכיחו: BM=MDBM = MD.
  • בדלתון ABCDABCD הנקודה EE על ACAC. הוכיחו: EB=EDEB = ED.
  • נתון AB=ADAB = AD ו-∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC. הוכיחו: ABCDABCD דלתון.
  • נתון AC⊥BDAC \perp BD ו-BM=MDBM = MD. הוכיחו: ABCDABCD דלתון.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נתון AB=ADAB = AD ו-∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC. הוכיחו: ABCDABCD דלתון. — להוכיח שזה דלתון · בדלתון ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-MM. הוכיחו: BM=MDBM = MD. — להשתמש בדלתון נתון · נתון AC⊥BDAC \perp BD ו-BM=MDBM = MD. הוכיחו: ABCDABCD דלתון. — להוכיח שזה דלתון · בדלתון ABCDABCD הנקודה EE על ACAC. הוכיחו: EB=EDEB = ED. — להשתמש בדלתון נתון

הפתרון:

דלתון⇐\text{דלתון} \Leftarrow

בכיוון הראשון אוספים שני זוגות סמוכים, או אלכסון מאונך וחוצה

דלתון⇒\text{דלתון} \Rightarrow

בכיוון השני כל תכונה היא שורה עם נימוק

המילה «בדלתון» בתחילת השאלה אומרת: הדלתון נתון. «הוכיחו ש... דלתון»: צריך להוכיח אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

ABCD
האלכסון ACAC מחלק את הדלתון לשני משולשים.

בדלתון ABCDABCD הוכיחו ש-△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

AB=AD(נתון)AB = AD \quad (\text{נתון})
CB=CD(נתון)CB = CD \quad (\text{נתון})
AC=AC(צלע משותפת)AC = AC \quad (\text{צלע משותפת})
△ABC≅△ADC(צ.ז.צ)\triangle ABC \cong \triangle ADC \quad (\text{צ.ז.צ})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: △ABC≅△ADC(צ.ז.צ)\triangle ABC \cong \triangle ADC \quad (\text{צ.ז.צ}) → △ABC≅△ADC(צ.צ.צ)\triangle ABC \cong \triangle ADC \quad (\text{צ.צ.צ})

הפתרון:

AB=AD CB=CD AC=AC\begin{aligned}AB &= AD \\ \ CB &= CD \\ \ AC &= AC\end{aligned}

שלוש צלעות, ואף זווית

△ABC≅△ADC(צ.צ.צ)\triangle ABC \cong \triangle ADC \quad (\text{צ.צ.צ})

השורה המתוקנת

שלוש צלעות שוות בהתאמה, ואף זווית: זה צ.צ.צ. צ.ז.צ דורש זווית בין שתי הצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

ABCDE
EE על האלכסון ACAC.

בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) הנקודה EE על האלכסון ACAC. סדרו את שורות ההוכחה ש-∠EBC=∠EDC\angle EBC = \angle EDC.

  • ∠BCE=∠DCE\angle BCE = \angle DCE — זוויות מתאימות במשולשים חופפים
  • ∠EBC=∠EDC\angle EBC = \angle EDC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים
  • △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — צ.צ.צ
  • △EBC≅△EDC\triangle EBC \cong \triangle EDC — צ.ז.צ (CB=CDCB = CD, הזווית, CECE משותפת)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — צ.צ.צ · ∠BCE=∠DCE\angle BCE = \angle DCE — זוויות מתאימות במשולשים חופפים · △EBC≅△EDC\triangle EBC \cong \triangle EDC — צ.ז.צ (CB=CDCB = CD, הזווית, CECE משותפת) · ∠EBC=∠EDC\angle EBC = \angle EDC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים

הפתרון:

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.צ.צ: הדלתון נתון

∠BCE=∠DCE\angle BCE = \angle DCE

נובע מהחפיפה הראשונה

△EBC≅△EDC\triangle EBC \cong \triangle EDC

צ.ז.צ: צריך את הזווית שבשורה הקודמת

∠EBC=∠EDC\angle EBC = \angle EDC

נובע מהחפיפה השנייה

כל שורה נשענת על הקודמת: בלי החפיפה הגדולה אין זווית שווה ב-CC, ובלי הזווית אין צ.ז.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת