איך מוכיחים שמרובע הוא דלתון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

יש שתי דרכים להוכיח שמרובע הוא דלתון. מספיקה אחת.

הן דומות מאוד לדרכים של המעוין. לכן קוראים אותן לאט.

האלכסונים מאונכים, ושניהם נחצים. איזו צורה זו?

להציג את התשובה והפתרון

מעוין. וגם מעוין הוא דלתון: יש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.

סמוכות מול נגדיות

דלתון ומקבילית נבדלים במילה אחת: סמוכות או נגדיות.

ההוכחה שמאחורי התכונות

במרובע ABCDABCD נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. הוכיחו שהאלכסון ACAC חוצה את ∠A\angle A.

AB=ADAB = AD

CB=CDCB = CD

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

נתון

נתון

AC=CAAC = CA

צלע משותפת לשני המשולשים

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

משפט חפיפה צ.צ.צ

זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

זו ההוכחה שמאחורי כל תכונות הדלתון: האלכסון הראשי חותך אותו לשני משולשים חופפים, ומשם נובע הכול.

איך מוכיחים שמרובע הוא דלתון?

להציג את התשובה והפתרון

מראים שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה. חפיפת המשולשים משני צדי האלכסון הראשי עושה את העבודה.

תרגילים

תרגיל 1

נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. מה הוכחנו?

  1. לא ניתן להסיק
  2. שהמרובע דלתון
  3. שהמרובע מעוין
  4. שהמרובע מקבילית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שהמרובע דלתון

הפתרון:

AB=ADCB=CD⇒דלתון\begin{aligned}AB &= AD \\ \quad CB &= CD \Rightarrow \text{דלתון}\end{aligned}

הדרך הראשונה

שתי הצלעות בכל זוג נפגשות בקודקוד — לכן סמוכות. שני זוגות סמוכים שווים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון AB=DCAB = DC ו-BC=ADBC = AD. מה הוכחנו?

  1. שהמרובע מעוין
  2. שהמרובע מקבילית
  3. שהמרובע ריבוע
  4. שהמרובע דלתון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שהמרובע מקבילית

הפתרון:

AB=DCBC=AD⇒מקבילית\begin{aligned}AB &= DC \\ \quad BC &= AD \Rightarrow \text{מקבילית}\end{aligned}

צלעות נגדיות

מילה אחת מפרידה בין שתי השאלות: סמוכות או נגדיות. אלה זוגות נגדיים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון שאלכסון אחד מאונך לשני וחוצה אותו. מה הוכחנו?

  1. שהמרובע מעוין
  2. לא ניתן להסיק
  3. שהמרובע ריבוע
  4. שהמרובע דלתון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שהמרובע דלתון

הפתרון:

AC⊥BDBO=OD⇒דלתון\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad BO &= OD \Rightarrow \text{דלתון}\end{aligned}

הדרך השנייה

למעוין היה צריך ששני האלכסונים ייחצו, לא רק אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מה ההבדל בין דרך האלכסונים של הדלתון לזו של המעוין?

  1. בדלתון האלכסונים אינם מאונכים
  2. אין הבדל
  3. בדלתון נחצה אלכסון אחד, במעוין שניהם
  4. במעוין האלכסונים שווים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג בדלתון נחצה אלכסון אחד, במעוין שניהם

הפתרון:

דלתון:BO=OD\text{דלתון}: BO = OD

רק המשני

מעוין:BO=ODAO=OC\begin{aligned}\text{מעוין}: BO &= OD \\ \quad AO &= OC\end{aligned}

שניהם

שתי הדרכים נשמעות כמעט זהות — לכן קוראים אותן לאט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCD
האלכסון ACAC מחלק את הדלתון לשני משולשים.

בדלתון ABCDABCD נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. הוכיחו כי ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD

∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. CB=CDCB = CD — נתון
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

AB=AD  CB=CD  AC=AC\begin{aligned}AB &= AD \ \\ \ CB &= CD \ \\ \ AC &= AC\end{aligned}

שלוש צלעות

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.צ.צ

∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC

זוויות מתאימות

רק זוג אחד של זוויות נגדיות שווה בדלתון — זה שבין שתי הצלעות הלא־שוות. הזוויות ∠A\angle A ו-∠C\angle C בדרך כלל שונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCD
שתי זוויות שוות בכל אחד מהמשולשים ABCABC ו-ADCADC — והזוג השלישי מגיע מסכום הזוויות.

במרובע ABCDABCD האלכסון ACAC חוצה את הזווית ∠BAD\angle BAD, ונתון ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC. הוכיחו כי ABCDABCD הוא דלתון.

  • ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC
  • ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC

מרובע ABCDABCD הוא דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — נתון: ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD
  2. ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC — נתון
  3. ∠BCA=∠DCA\angle BCA = \angle DCA — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ, ולכן גם הזוג השלישי שווה
  4. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  5. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה ז.צ.ז
  6. AB=ADAB = AD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  7. CB=CDCB = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  8. מרובע ABCDABCD הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

הפתרון:

∠BCA=180∘−∠BAC−∠ABC=180∘−∠DAC−∠ADC=∠DCA\begin{aligned}\angle BCA &= 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC \\ &= 180^\circ - \angle DAC - \angle ADC \\ &= \angle DCA\end{aligned}

שני זוגות זוויות שווים, ולכן גם השלישי

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

משפט חפיפה ז.צ.ז — הצלע ACAC בין שתי הזוויות

AB=AD  CB=CD\begin{aligned}AB &= AD \ \\ \ CB &= CD\end{aligned}

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות

הזווית הנתונה ∠ABC\angle ABC אינה צמודה לצלע המשותפת ACAC, ולכן אי אפשר להפעיל ז.צ.ז מיד. סכום הזוויות במשולש הופך אותה לזווית שליד CC — ואז הצלע ACAC כלואה בין שתי זוויות שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

האלכסון הראשי בדלתון הוא ציר סימטריה. מה נובע?

  1. שני חצאי הדלתון חופפים
  2. אין מסקנה
  3. הדלתון מלבן
  4. האלכסונים שווים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א שני חצאי הדלתון חופפים

הפתרון:

≅\cong

קיפול מושלם

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

איזה משפט חפיפה מוכיח את תכונות הדלתון מהאלכסון הראשי?

  1. ז.ז.ז
  2. אין צורך
  3. צ.צ.ז
  4. צ.צ.צ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד צ.צ.צ

הפתרון:

שתי שוות + משותפת\text{שתי שוות + משותפת}

שתי צלעות שוות ועוד הצלע המשותפת (האלכסון הראשי) — שלוש צלעות, כלומר צ.צ.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בדלתון — מי מאונך למי?

  1. האלכסונים זה לזה
  2. המשני לצלע
  3. הראשי לצלע
  4. הצלעות השוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א האלכסונים זה לזה

הפתרון:

⊥\perp

בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה, והראשי חוצה את המשני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המשני חוצה את הראשי — נכון?

  1. לא
  2. כן תמיד
  3. אף אחד
  4. שניהם חוצים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא

הפתרון:

רק בכיוון אחד\text{רק בכיוון אחד}

בריבוע ומעוין — שניהם

הראשי חוצה את המשני, לא להפך

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO. איזה נתון מספיק כדי להוכיח שהוא דלתון?

  • מספיק
  • לא מספיק
  • AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD
  • AB=CDAB = CD וגם BC=ADBC = AD
  • AC⊥BDAC \perp BD בלבד
  • AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD
  • AO=OCAO = OC וגם BO=ODBO = OD
  • BO=ODBO = OD בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD — מספיק · AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD — מספיק · AB=CDAB = CD וגם BC=ADBC = AD — לא מספיק · AC⊥BDAC \perp BD בלבד — לא מספיק · BO=ODBO = OD בלבד — לא מספיק · AO=OCAO = OC וגם BO=ODBO = OD — לא מספיק

הפתרון:

AB=AD CB=CD\begin{aligned}AB &= AD \\ \ CB &= CD\end{aligned}

דרך ראשונה: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות

AC⊥BD BO=OD\begin{aligned}AC \perp BD \\ \ BO &= OD\end{aligned}

דרך שנייה: אלכסון מאונך לשני וחוצה אותו

שתי הדרכים: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, או אלכסון שמאונך לשני וחוצה אותו. צלעות נגדיות שוות ואלכסונים שחוצים זה את זה נותנים מקבילית. אלכסונים מאונכים לבד, או אלכסון נחצה לבד, אינם מספיקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO, ונתון AC⊥BDAC \perp BD ו-BO=ODBO = OD. כך הוכיחו שהוא דלתון. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

AC⊥BD BO=OD (נתון)\begin{aligned}AC \perp BD \\ \ BO &= OD \ (\text{נתון})\end{aligned}
△AOB≅△AOD (צ.ז.צ)\triangle AOB \cong \triangle AOD \ (\text{צ.ז.צ})
AB=AD (צלעות מתאימות במשולשים חופפים)AB = AD \ (\text{צלעות מתאימות במשולשים חופפים})
ABCD דלתון (יש בו זוג של צלעות סמוכות שוות)ABCD \ \text{דלתון} \ (\text{יש בו זוג של צלעות סמוכות שוות})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ABCD דלתון (יש בו זוג של צלעות סמוכות שוות)ABCD \ \text{דלתון} \ (\text{יש בו זוג של צלעות סמוכות שוות}) → ABCD דלתון (אלכסון מאונך לשני וחוצה אותו)ABCD \ \text{דלתון} \ (\text{אלכסון מאונך לשני וחוצה אותו})

הפתרון:

AB=AD CB=CD\begin{aligned}AB &= AD \\ \ CB &= CD\end{aligned}

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — רק אז דלתון

זוג אחד של צלעות סמוכות שוות אינו מספיק: גם מרובע שבו רק AB=ADAB = AD עונה על זה, והקודקוד CC יכול להיות כמעט בכל מקום. אפשר להוכיח באותו אופן גם CB=CDCB = CD, ואז יש שני זוגות. או פשוט לצטט את הדרך השנייה: אלכסון מאונך לשני וחוצה אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO. איזה נתון מספיק כדי לקבוע שהוא דלתון?

  • מספיק
  • לא מספיק
  • AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD
  • AB=CDAB = CD וגם BC=ADBC = AD
  • AC⊥BDAC \perp BD בלבד
  • AC⊥BDAC \perp BD וגם AO=OCAO = OC
  • AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD
  • BO=ODBO = OD בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD — מספיק · AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD — מספיק · AC⊥BDAC \perp BD וגם AO=OCAO = OC — מספיק · AC⊥BDAC \perp BD בלבד — לא מספיק · AB=CDAB = CD וגם BC=ADBC = AD — לא מספיק · BO=ODBO = OD בלבד — לא מספיק

הפתרון:

AC⊥BD AO=OC\begin{aligned}AC \perp BD \\ \ AO &= OC\end{aligned}

גם זה דלתון: הפעם BDBD הוא האלכסון הראשי

צריך שתי עובדות: אנך וגם חציה. זוגות נגדיים שווים נותנים מקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ABCDO
האלכסונים מאונכים, ו-OO באמצע ACAC.

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO, ונתון AC⊥BDAC \perp BD וגם AO=OCAO = OC. לכן ABCDABCD הוא דלתון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

BA=BCDA=DC\begin{aligned}BA &= BC \\ \quad DA &= DC\end{aligned}

BDBD מאונך ל-ACAC וחוצה אותו

נכון. האלכסון שחוצה ומאונך הוא BDBD, והוא הראשי. אין חשיבות לשם של האלכסון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

במרובע ABCDABCD נתון AB=BCAB = BC וגם CD=DACD = DA. לכן ABCDABCD הוא דלתון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

BA=BCDC=DA\begin{aligned}BA &= BC \\ \quad DC &= DA\end{aligned}

זוג נפגש ב-BB, זוג נפגש ב-DD

נכון: שני זוגות של צלעות סמוכות. האלכסון הראשי כאן הוא BDBD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

בהוכחה ש-△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC בדלתון, ליד AC=ACAC = AC כותבים את הנימוק «נתון».

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

AC=ACAC = AC

צלע משותפת לשני המשולשים

לא נתון. ACAC שייכת לשני המשולשים, והנימוק הוא צלע משותפת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת