תכונות הדלתון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

דלתון הוא מרובע עם שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.

סמוכות פירושו: שתי צלעות שנפגשות בקודקוד. לא צלעות שעומדות זו מול זו.

מהו האלכסון הראשי בדלתון?

להציג את התשובה והפתרון

האלכסון שמחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות. הוא חוצה את המשני, מאונך לו, וחוצה את זוויות הראש.

התכונות

AB=ADCB=CD\begin{aligned}AB &= AD \\ \quad CB &= CD\end{aligned}

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה.

AC⊥BDAC \perp BD

האלכסונים מאונכים זה לזה.

BO=ODBO = OD

האלכסון הראשי חוצה את המשני — ורק אותו.

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

האלכסון הראשי חוצה את הזוויות שדרכן הוא עובר.

∠B=∠D\angle B = \angle D

הזוויות שבין הצלעות השונות שוות — «זוויות הצד».

האלכסון הראשי מחבר את שני הקודקודים שבהם נפגשות צלעות שוות. הוא ציר הסימטריה: קיפול לאורכו מכסה חצי על חצי.

בדלתון AB=AD=5AB = AD = 5 ו-CB=CD=8CB = CD = 8. מהו ההיקף?

להציג את התשובה והפתרון

26. 5+5+8+8=265 + 5 + 8 + 8 = 26. כל צלע מופיעה פעמיים: פעם בכל זוג.

שתי תכונות שנדבקות לדלתון בטעות.

AO=OCAO = OC
BO=ODבלבדBO = OD \quad \text{בלבד}

האלכסון המשני אינו חוצה את הראשי. רק אלכסון אחד נחצה — וזה בדיוק ההבדל מהמעוין.

∠A=∠C\angle A = \angle C
∠B=∠D\angle B = \angle D

שוות הן זוויות הצד, שבין שתי צלעות שונות. הזוויות שהאלכסון הראשי עובר דרכן אינן שוות.

השטח

האלכסונים מאונכים. לכן השטח מחושב מהאלכסונים בלבד.

S=d1⋅d22S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

בדלתון האלכסונים 9 ס״מ ו-4 ס״מ. מה השטח?

להציג את התשובה והפתרון

18 סמ״ר. 9⋅42=18\frac{9 \cdot 4}{2} = 18. לא לשכוח לחלק ב-2.

תרגילים

תרגיל 1

בדלתון האלכסונים הם 6 ס״מ ו-10 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

S=6⋅102=30\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 10}{2} \\ &= 30\end{aligned}

אלכסונים מאונכים — אותה נוסחה כמו במעוין

הנוסחה תלויה באנכיות בלבד, ולכן היא משותפת לדלתון, למעוין ולריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בדלתון האלכסונים הם 8 ס״מ ו-14 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 56

הפתרון:

S=8⋅142=56\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 14}{2} \\ &= 56\end{aligned}

אלכסונים מאונכים — אותה נוסחה כמו במעוין

הנוסחה תלויה באנכיות בלבד, ולכן היא משותפת לדלתון, למעוין ולריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בדלתון האלכסונים הם 5 ס״מ ו-12 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

S=5⋅122=30\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 12}{2} \\ &= 30\end{aligned}

אלכסונים מאונכים — אותה נוסחה כמו במעוין

הנוסחה תלויה באנכיות בלבד, ולכן היא משותפת לדלתון, למעוין ולריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

איזה זוג צלעות שוות בדלתון?

  1. שני זוגות של צלעות נגדיות
  2. כל ארבע הצלעות
  3. שני זוגות של צלעות סמוכות
  4. זוג אחד בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שני זוגות של צלעות סמוכות

הפתרון:

AB=ADCB=CD\begin{aligned}AB &= AD \\ \quad CB &= CD\end{aligned}

צלעות שנפגשות בקודקוד

זוגות נגדיים שווים היו נותנים מקבילית — צורה אחרת לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה אלכסונים נחצים בדלתון?

  1. אחד — הראשי חוצה את המשני
  2. תלוי בדלתון
  3. שניים
  4. אף אחד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אחד — הראשי חוצה את המשני

הפתרון:

BO=ODAO≠OC\begin{aligned}BO &= OD \\ \quad AO \neq OC\end{aligned}

רק המשני נחצה

זה ההבדל היחיד מהמעוין, ובדיוק עליו נשאלת השאלה במבחן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אילו זוויות שוות בדלתון?

  1. הזוויות שהאלכסון הראשי עובר דרכן
  2. זוויות הצד
  3. כל ארבע הזוויות
  4. אף זוויות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב זוויות הצד

הפתרון:

∠B=∠D\angle B = \angle D

שתי זוויות הצד

הזוויות שהאלכסון הראשי חוצה נחתכות לשניים — אבל אינן שוות זו לזו. שבין שתי צלעות שונות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בדלתון האלכסון המשני 12 — לאיזה אורך חוצה אותו הראשי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

12:2=612 : 2 = 6

הראשי חוצה את המשני

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שטח דלתון עם אלכסונים 8 ו-15?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

8×152=60\frac{8 \times 15}{2} = 60

כמו מעוין — אלכסונים מאונכים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

אילו זוויות שוות בדלתון?

  1. זוויות הראש
  2. כל הזוויות
  3. אף אחת
  4. זוויות הצד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד זוויות הצד

הפתרון:

זוויות הצד\text{זוויות הצד}

בין צלע שווה לצלע שווה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

האם כל מעוין הוא דלתון?

  1. כן
  2. רק אם קטן
  3. רק ריבוע
  4. לא
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כן

הפתרון:

4=→2+24 = \rightarrow 2+2

שני זוגות סמוכות שוות בו

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCD
שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, והאלכסון הראשי ACAC.

נתון דלתון ABCDABCD שבו AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. הוכיחו: ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. CB=CDCB = CD — נתון
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

AB=AD  CB=CD  AC=AC\begin{aligned}AB &= AD \ \\ \ CB &= CD \ \\ \ AC &= AC\end{aligned}

שני נתונים וצלע משותפת

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

משפט חפיפה צ.צ.צ

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

האלכסון הראשי חוצה את זווית הראש, כי הוא צלע משותפת לשני משולשים חופפים. מאותה חפיפה נובע גם ש-ACAC חוצה את ∠BCD\angle BCD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

∠B=∠D\angle B = \angle D
AO=OCAO = OC
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AO=OCAO = OC → BO=ODבלבדBO = OD \quad \text{בלבד}

הפתרון:

האלכסון המשני אינו חוצה את הראשי. רק אלכסון אחד נחצה — וזה בדיוק ההבדל מהמעוין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • AB=AD,CB=CDAB = AD ,\quad CB = CD
  • AC⊥BDAC \perp BD
  • BO=ODBO = OD
  • ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC
  • האלכסון הראשי חוצה את הזוויות שדרכן הוא עובר.
  • האלכסון הראשי חוצה את המשני — ורק אותו.
  • האלכסונים מאונכים זה לזה.
  • שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=AD,CB=CDAB = AD ,\quad CB = CD — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה. · AC⊥BDAC \perp BD — האלכסונים מאונכים זה לזה. · BO=ODBO = OD — האלכסון הראשי חוצה את המשני — ורק אותו. · ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — האלכסון הראשי חוצה את הזוויות שדרכן הוא עובר.

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

בדלתון ABCDABCD נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD, והאלכסונים נחתכים בנקודה OO. מה נכון בכל דלתון כזה?

  • נכון תמיד
  • לא בהכרח
  • ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC
  • ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC
  • ∠BAD=∠BCD\angle BAD = \angle BCD
  • AC⊥BDAC \perp BD
  • AC=BDAC = BD
  • AO=OCAO = OC
  • BO=ODBO = OD
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AC⊥BDAC \perp BD — נכון תמיד · BO=ODBO = OD — נכון תמיד · ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — נכון תמיד · ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC — נכון תמיד · AO=OCAO = OC — לא בהכרח · ∠BAD=∠BCD\angle BAD = \angle BCD — לא בהכרח · AC=BDAC = BD — לא בהכרח

הפתרון:

AC⊥BDBO=OD\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad BO &= OD\end{aligned}

האלכסון הראשי מאונך למשני וחוצה אותו

∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC

זוויות הצד שוות

AO≠OC,AC≠BDAO \ne OC ,\quad AC \ne BD

המשני אינו חוצה את הראשי

האלכסון הראשי ACAC מאונך למשני, חוצה אותו וחוצה את הזוויות שדרכן הוא עובר, וזוויות הצד ∠B\angle B ו-∠D\angle D שוות. אבל המשני אינו חוצה את הראשי, הזוויות ∠A\angle A ו-∠C\angle C אינן שוות, והאלכסונים אינם שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

השלימו

בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) האלכסונים נחתכים בנקודה OO. נתון BD=16BD = 16 ס״מ, AO=6AO = 6 ס״מ ו-OC=15OC = 15 ס״מ. אורך BOBO הוא ____ ס״מ, ושטח הדלתון הוא ____ סמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) האלכסונים נחתכים בנקודה OO. נתון BD=16BD = 16 ס״מ, AO=6AO = 6 ס״מ ו-OC=15OC = 15 ס״מ. אורך BOBO הוא 8 ס״מ, ושטח הדלתון הוא 168 סמ״ר.

הפתרון:

BO=162=8\begin{aligned}BO &= \frac{16}{2} \\ &= 8\end{aligned}

ACAC חוצה את BDBD

AC=6+15=21\begin{aligned}AC &= 6 + 15 \\ &= 21\end{aligned}
S=21⋅162=168\begin{aligned}S &= \frac{21 \cdot 16}{2} \\ &= 168\end{aligned}

הראשי חוצה את המשני, והשטח הוא מכפלת האלכסונים חלקי 2. את ACAC מרכיבים משני חלקיו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

השלימו

בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) נתון ∠BAD=70°\angle BAD = 70° ו-∠BCD=50°\angle BCD = 50°. הזווית ∠ABC\angle ABC היא בת ____ מעלות, והזווית ∠BAC\angle BAC היא בת ____ מעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) נתון ∠BAD=70°\angle BAD = 70° ו-∠BCD=50°\angle BCD = 50°. הזווית ∠ABC\angle ABC היא בת 120 מעלות, והזווית ∠BAC\angle BAC היא בת 35 מעלות.

הפתרון:

∠ABC=∠ADC=360°−70°−50°2=120°\begin{aligned}\angle ABC &= \angle ADC \\ &= \frac{360° - 70° - 50°}{2} \\ &= 120°\end{aligned}

סכום הזוויות במרובע 360°

∠BAC=70°2=35°\begin{aligned}\angle BAC &= \frac{70°}{2} \\ &= 35°\end{aligned}

ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD

זוויות הצד שוות, והאלכסון הראשי חוצה את הזווית שבקודקוד AA.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

מיינו: מה נכון בכל דלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD, האלכסונים נחתכים ב-OO), ומה לא בהכרח?

  • בכל דלתון
  • לא בהכרח
  • ∠A=∠C\angle A = \angle C
  • ∠B=∠D\angle B = \angle D
  • ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC
  • AB=BCAB = BC
  • AC⊥BDAC \perp BD
  • AC=BDAC = BD
  • AO=OCAO = OC
  • BO=ODBO = OD
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AC⊥BDAC \perp BD — בכל דלתון · BO=ODBO = OD — בכל דלתון · ∠B=∠D\angle B = \angle D — בכל דלתון · ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — בכל דלתון · AO=OCAO = OC — לא בהכרח · ∠A=∠C\angle A = \angle C — לא בהכרח · AB=BCAB = BC — לא בהכרח · AC=BDAC = BD — לא בהכרח

הפתרון:

AC⊥BD BO=OD ∠B=∠D ∠BAC=∠DAC\begin{aligned}AC \perp BD \\ \ BO &= OD \\ \ \angle B &= \angle D \\ \ \angle BAC &= \angle DAC\end{aligned}

ארבע התכונות שהקיפול לאורך ACAC מראה

השאר הן תכונות של מעוין או של ריבוע. בדלתון רק ACAC הוא ציר, ולכן רק BDBD נחצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

ABCD
∠A=70∘\angle A = 70^\circ, ∠C=50∘\angle C = 50^\circ. זוויות הצד BB ו-DD שוות.

בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) נתון ∠BAD=70∘\angle BAD = 70^\circ ו-∠BCD=50∘\angle BCD = 50^\circ. מה גודל ∠ABC\angle ABC, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

∠B+∠D=360∘−70∘−50∘=240∘\begin{aligned}\angle B + \angle D &= 360^\circ - 70^\circ - 50^\circ \\ &= 240^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במרובע

∠B=∠D=240∘:2=120∘\begin{aligned}\angle B &= \angle D \\ &= 240^\circ : 2 \\ &= 120^\circ\end{aligned}

זוויות הצד שוות

הזוויות AA ו-CC אינן שוות זו לזו. שוות רק זוויות הצד, BB ו-DD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

ABCD
AB=AD=6AB = AD = 6, CB=CD=11CB = CD = 11.

בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) נתון AB=6AB = 6 ס״מ ו-CB=11CB = 11 ס״מ. מה היקף הדלתון, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 34

הפתרון:

2⋅6+2⋅11=342 \cdot 6 + 2 \cdot 11 = 34

כל זוג נספר פעמיים

לא 6+11=176 + 11 = 17: לדלתון ארבע צלעות, שני זוגות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת