מאיפה מגיע משולש הזהב

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

משולש הזהב לא הומצא. הוא בדיוק חצי משולש שווה צלעות. מזה נובעים גם הזוויות שלו וגם יחס הצלעות.

מאיפה הזוויות

במשולש שווה צלעות כל הזוויות הן 60°60°. מורידים גובה, ומקבלים שני חצאים שווים.

בדיקה: 90+60+30=18090 + 60 + 30 = 180. הזוויות נובעות מהחיתוך, ולא במקרה.

חותכים כך משולש שווה צלעות גדול פי 3. האם הזוויות של החצי משתנות?

להציג את התשובה והפתרון

לא. שוב 90°90°, 60°60° ו-30°30°. הזוויות תלויות בחיתוך, לא בגודל.

ומאיפה יחס הצלעות

נסמן את צלע המשולש שווה הצלעות ב-2x. הגובה חוצה את הבסיס, ולכן חצי הבסיס הוא x.

(2x)2−x2=4x2−x2=3x2=x3\begin{aligned}\sqrt{(2x)^2 - x^2} &= \sqrt{4x^2 - x^2} \\ &= \sqrt{3x^2} \\ &= x\sqrt{3}\end{aligned}

מכאן היחס שכדאי לזכור בעל פה: 1:3:21 : \sqrt{3} : 2. מול ה-30, מול ה-60, ומול ה-90.

הסדר לא שרירותי: הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה. ל-30 יש 11, ל-60 יש 3\sqrt{3} (בערך 1.731.73), ול-90 יש 22.

במשולש זהב, הצלע מול ה-30° היא 5. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

10. היתר הוא תמיד פי 2 מהצלע שמול ה-30 — כי הוא היה צלע של שווה הצלעות, וזו הייתה חציה.

ובאותו משולש — מה אורך הצלע מול ה-60°?

להציג את התשובה והפתרון

535\sqrt{3}, בערך 8.66. זה הגובה של המשולש שווה הצלעות המקורי.

מדוע הצלע מול ה-30 היא בדיוק מחצית היתר?

להציג את התשובה והפתרון

כי היא חצי הבסיס של שווה הצלעות, והיתר הוא צלע שלמה — ובשווה צלעות הבסיס והצלע שווים. חצי מול שלם.

שתי הטעויות של משולש הזהב.

הצלע מול 60°=2x\text{הצלע מול } 60° = 2x
=x3= x\sqrt{3}

פי 2 שייך ליתר, מול הזווית הישרה. מול ה-60 יושב שורש 3.

כל משולש ישר זווית הוא משולש זהב\text{כל משולש ישר זווית הוא משולש זהב}
רק אם יש בו זווית של 30°\text{רק אם יש בו זווית של 30°}

בלי זווית של 30 (או 60) היחסים האלה אינם תקפים כלל.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש זהב, הצלע מול ה-30° היא 5. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

5×2=105 \times 2 = 10

היתר פי 2

כי היא חצי הבסיס והיתר צלע שלמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ובאותו משולש — מה אורך הצלע מול ה-60°? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.66

הפתרון:

53≈8.665\sqrt{3} \approx 8.66

זה הגובה של שווה הצלעות המקורי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

היתר במשולש זהב הוא 14. מה אורך הצלע מול ה-30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

14:2=714 : 2 = 7

מחצית היתר

הכיוון ההפוך — חילוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

צלע משולש שווה צלעות היא 12. מה אורך הגובה שלו? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.39

הפתרון:

12:2=612 : 2 = 6

חצי הבסיס

63≈10.396\sqrt{3} \approx 10.39

הגובה הוא הצלע מול ה-60 בחצי המשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה זוויות של 60° יש במשולש שווה צלעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

180:3=60180 : 3 = 60

וכשחוצים אותו, אחת מהן נחצית ל-30.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מדוע הגובה במשולש שווה צלעות הוא גם חוצה זווית?

  1. הוא לא — זו טעות
  2. זו הגדרה
  3. כי הוא שווה שוקיים מכל קודקוד
  4. רק במקרה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כי הוא שווה שוקיים מכל קודקוד

הפתרון:

שווה שוקיים⇒גובה=חוצה=תיכון\begin{aligned}\text{שווה שוקיים} \Rightarrow \text{גובה} &= \text{חוצה} \\ &= \text{תיכון}\end{aligned}

ומכאן שזווית הראש נחצית ל-30.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו יחס הצלעות במשולש זהב, לפי סדר הזוויות 30, 60, 90?

  1. 1:2:31 : 2 : \sqrt{3}
  2. 1:3:21 : \sqrt{3} : 2
  3. 1:2:31 : 2 : 3
  4. 2:3:12 : \sqrt{3} : 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 1:3:21 : \sqrt{3} : 2

הפתרון:

1:3:21 : \sqrt{3} : 2

הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה — תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש 30-60-90 היתר 14. הניצב מול 30?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

14:2=714 : 2 = 7

חצי היתר

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הניצב מול 30 הוא 4.5 — מהו היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

4.5×2=94.5 \times 2 = 9

הניצב שמול 30° שווה למחצית היתר — משפט שחוסך את כל החישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חצי משולש שווה צלעות שצלעו 12: מהו הניצב הקצר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

12:2=612 : 2 = 6

הגובה חוצה את הבסיס

משולש הזהב הוא חצי שווה-צלעות — משם כל תכונותיו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

סדרו את שלבי החישוב שמראים מאיפה בא היחס 1:3:21 : \sqrt{3} : 2 במשולש הזהב.

  • הגובה חוצה את הבסיס, ולכן חצי הבסיס הוא xx
  • ולכן h=x3h = x\sqrt{3}, והצלעות הן xx, x3x\sqrt{3} ו-2x2x
  • לפי פיתגורס: h2=(2x)2−x2=3x2h^2 = (2x)^2 - x^2 = 3x^2
  • מסמנים את צלע המשולש שווה הצלעות ב-2x2x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מסמנים את צלע המשולש שווה הצלעות ב-2x2x · הגובה חוצה את הבסיס, ולכן חצי הבסיס הוא xx · לפי פיתגורס: h2=(2x)2−x2=3x2h^2 = (2x)^2 - x^2 = 3x^2 · ולכן h=x3h = x\sqrt{3}, והצלעות הן xx, x3x\sqrt{3} ו-2x2x

הפתרון:

2x , x2x \ , \ x

היתר הוא צלע שלמה, הצלע מול 30°30° היא חצי בסיס

h2=4x2−x2=3x2\begin{aligned}h^2 &= 4x^2 - x^2 \\ &= 3x^2\end{aligned}

פיתגורס בחצי המשולש

h=x3h = x\sqrt{3}

אי אפשר להפעיל פיתגורס לפני שיודעים את שתי הצלעות האחרות, ואי אפשר לדעת את חצי הבסיס לפני שמסמנים את הצלע. לכן הסדר הוא אחד בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מיינו: האם המשולש הוא משולש זהב (זוויותיו 30°30°, 60°60°, 90°90°)?

  • משולש זהב
  • לא משולש זהב
  • חצי של משולש שווה צלעות, שנחתך לאורך הגובה
  • משולש ישר זווית ושווה שוקיים
  • משולש ישר זווית שאחת מזוויותיו 60°60°
  • משולש ישר זווית שניצביו 33 ו-44
  • משולש שזוויותיו 30°30°, 30°30° ו-120°120°
  • משולש שזוויותיו ביחס 1:2:31 : 2 : 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חצי של משולש שווה צלעות, שנחתך לאורך הגובה — משולש זהב · משולש ישר זווית שאחת מזוויותיו 60°60° — משולש זהב · משולש שזוויותיו ביחס 1:2:31 : 2 : 3 — משולש זהב · משולש ישר זווית ושווה שוקיים — לא משולש זהב · משולש שזוויותיו 30°30°, 30°30° ו-120°120° — לא משולש זהב · משולש ישר זווית שניצביו 33 ו-44 — לא משולש זהב

הפתרון:

90°−60°=30°90° - 60° = 30°

ישר זווית עם 60°60° — הזווית השלישית 30°30°

1:2:3⇒30°,60°,90°1 : 2 : 3 \Rightarrow 30° , 60° , 90°

180:6=30180 : 6 = 30

3,4,53 , 4 , 5

הניצב הקצר אינו מחצית היתר: 3≠2.53 \neq 2.5

משולש זהב צריך גם זווית ישרה וגם זווית של 30°30°. ישר זווית שווה שוקיים הוא 45°45°-45°45°-90°90°, ול-30°30°-30°30°-120°120° אין זווית ישרה. ובמשולש 33-44-55 היתר אינו פי 2 מהניצב הקצר — לכן אין בו 30°30°.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

ABCD

חותכים משולש שווה צלעות בגובה ADAD. גם זווית הבסיס BB נחצית לשני חלקים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

∠ABD=60°\angle ABD = 60°

הגובה יוצא מ-AA, ולא נוגע בזווית BB

∠BAD=60:2=30°\begin{aligned}\angle BAD &= 60 : 2 \\ &= 30°\end{aligned}

רק זווית הראש נחצית

לא נכון. הגובה חוצה רק את הזווית שממנה הוא יוצא, זווית הראש. זווית הבסיס נשארת 60°60°.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

התאימו כל זווית בחצי המשולש לסיבה שלה

  • 90°90°
  • 60°60°
  • 30°30°
  • הגובה חוצה את זווית הראש
  • הגובה מאונך לבסיס
  • זווית הבסיס לא השתנתה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90°90° — הגובה מאונך לבסיס · 60°60° — זווית הבסיס לא השתנתה · 30°30° — הגובה חוצה את זווית הראש

הפתרון:

90+60+30=18090 + 60 + 30 = 180

בדיקה: סכום הזוויות במשולש

כל זווית באה מהחיתוך. מי שמחליף בין 60 ל-30 שוכח שהגובה חוצה רק את זווית הראש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

השלימו את הטבלה. בכל שורה משולש זהב, וצלעותיו xx, x3x\sqrt{3} ו-2x2x. בעמודה של 60°60°, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

מול 30°30°מול 90°90°מול 60°60°
44________
____1818____
________12.1212.12
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 44: 8, 6.93 · 15.59 · 14

הפתרון:

x=4  ⇒  2x=8  x3≈6.93\begin{aligned}x &= 4 \;\Rightarrow\; 2x \\ &= 8 \\ \; x\sqrt{3} \approx 6.93\end{aligned}

xx נתון

2x=18  ⇒  x=9  x3≈15.59\begin{aligned}2x &= 18 \;\Rightarrow\; x \\ &= 9 \\ \; x\sqrt{3} \approx 15.59\end{aligned}

קודם חוצים את היתר

x3≈12.12  ⇒  x≈12.12:1.73≈7x\sqrt{3} \approx 12.12 \;\Rightarrow\; x \approx 12.12 : 1.73 \approx 7

מחלקים בשורש 3

קודם מוצאים את xx, הצלע שמול 30°30°. ממנה יוצאות שתי האחרות. בשורה השלישית מחלקים ב-3\sqrt{3}, לא ב-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

במשולש זהב, aa הצלע שמול 30°30°, bb הצלע שמול 60°60°, ו-cc היתר. נתון a=6a = 6. נועה חישבה את bb ואת cc. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

a=6a = 6
c=2a=12\begin{aligned}c &= 2a \\ &= 12\end{aligned}
b=2a=12\begin{aligned}b &= 2a \\ &= 12\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: b=2a=12b = 2a = 12 → b=a3=63b = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}

הפתרון:

b=122−62=108=63≈10.39\begin{aligned}b &= \sqrt{12^2 - 6^2} \\ &= \sqrt{108} \\ &= 6\sqrt{3} \approx 10.39\end{aligned}

בדיקה בפיתגורס

פי 2 שייך ליתר בלבד. אילו גם bb היה 12, היו במשולש שתי צלעות שוות, ולא זוויות של 30 ו-60.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ABCD

הגובה של משולש שווה צלעות הוא 535\sqrt{3} ס״מ. מה אורך הצלע של המשולש, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

x3=53  ⇒  x=5\begin{aligned}x\sqrt{3} &= 5\sqrt{3} \;\Rightarrow\; x \\ &= 5\end{aligned}

בחצי המשולש, הגובה יושב מול 60°60°

2x=102x = 10

הצלע של המשולש היא היתר של החצי

הגובה הוא x3x\sqrt{3}, ולא xx. מי שעונה 5 מצא את חצי הבסיס, ולא את הצלע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת