משולש זהב

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

יש משולש ישר זווית אחד שחוזר שוב ושוב, ונקרא לו משולש הזהב. הזוויות שלו: 30°30°, 60°60° ו-90°90°.

המשפט: במשולש הזהב, הצלע שמול הזווית 90°90° שווה לפעמיים הצלע שמול הזווית 30°30°.

היתר=2×הצלע שמול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 30°

הצלע הקטנה ביותר, מול הזווית הקטנה ביותר, היא מחצית היתר. די להכיר אחת מהן כדי לדעת מיד את השנייה.

למה זה עובד

זה לא מקרי. הזוויות קובעות את צורת המשולש, והצורה קובעת את היחסים בין הצלעות.

שני משולשי זהב, קטן וגדול, הם תמיד דומים. לכן היחס ביניהם קבוע.

זו המסקנה של פרק הדמיון: זוויות שוות, יחסים שווים. משולש הזהב הוא המקרה השימושי ביותר של הכלל הזה.

משולש זהב אחד קטן, והשני גדול ממנו פי 10. פי כמה היתר גדול מהצלע שמול 30°30°, בכל אחד מהם?

להציג את התשובה והפתרון

פי 2, בשניהם. כל הצלעות גדלו פי 10, ולכן היחס ביניהן לא השתנה.

והצלע השלישית

את הצלע שמול ה-60°60° אין צורך לזכור — מוצאים אותה במשפט פיתגורס, כמו כל צלע חסרה.

הצלע השלישית כמעט אף פעם אינה מספר שלם, וזה תקין לגמרי. הכתיב המדויק שלה דורש שורשים.

הטעות שנובעת מבלבול בין הצלעות.

היתר=2×הצלע שמול 60°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 60°
היתר=2×הצלע שמול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 30°

הכפל הוא ביחס לצלע הקטנה — זו שמול הזווית הקטנה. הצלע שמול 60°60° גדולה ממנה, ואין לה יחס פשוט ליתר.

במשולש 30-60-90 היתר 10. מהו הניצב מול ה-30?

להציג את התשובה והפתרון

5 — חצי היתר, תמיד. זו התכונה המרכזית של משולש הזהב.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 3 ס״מ. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

2×3=62 \times 3 = 6

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש זהב, אורך היתר הוא 6 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

62=3\frac{6}{2} = 3

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 5 ס״מ. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

2×5=102 \times 5 = 10

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש זהב, אורך היתר הוא 10 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

102=5\frac{10}{2} = 5

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 7 ס״מ. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

2×7=142 \times 7 = 14

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש זהב, אורך היתר הוא 14 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

142=7\frac{14}{2} = 7

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 9 ס״מ. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

2×9=182 \times 9 = 18

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש זהב, אורך היתר הוא 18 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

182=9\frac{18}{2} = 9

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 12 ס״מ. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

2×12=242 \times 12 = 24

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש זהב, אורך היתר הוא 24 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

242=12\frac{24}{2} = 12

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 20 ס״מ. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

2×20=402 \times 20 = 40

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במשולש זהב, אורך היתר הוא 40 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

402=20\frac{40}{2} = 20

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

אילו זוויות יש במשולש זהב?

  1. 30°30°, 30°30°, 120°120°
  2. 45°45°, 45°45°, 90°90°
  3. 30°30°, 60°60°, 90°90°
  4. 60°60°, 60°60°, 60°60°
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 30°30°, 60°60°, 90°90°

הפתרון:

30+60+90=18030 + 60 + 90 = 180

וסכום הזוויות מתקיים

זהו המשולש שהזוויות שלו קובעות יחס פשוט במיוחד בין הצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

לאיזו צלע היתר שווה פי שניים?

  1. לאף אחת מהן
  2. לשתי הצלעות
  3. לצלע שמול 30°30°
  4. לצלע שמול 60°60°
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לצלע שמול 30°30°

הפתרון:

היתר=2×מול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{מול } 30°

הצלע הקטנה ביותר

הזווית הקטנה ביותר נמצאת תמיד מול הצלע הקטנה ביותר. הבלבול עם הצלע שמול 60° הוא הטעות הנפוצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

מדוע היחס נשאר קבוע גם כשהמשולש גדל?

  1. כי הזוויות קובעות את הצורה, וכל משולשי הזהב דומים
  2. זו הגדרה שרירותית
  3. זה נכון רק במשולשים קטנים
  4. כי כל המשולשים חופפים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כי הזוויות קובעות את הצורה, וכל משולשי הזהב דומים

הפתרון:

זוויות שוות→דמיון\text{זוויות שוות} \rightarrow \text{דמיון}

לפי משפט ז.ז

שני משולשי זהב הם תמיד דומים לפי ז.ז — ובמשולשים דומים היחס בין הצלעות קבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

במשולש זהב, הצלע שמול 30° היא 6 ס״מ. מה היקף המשולש? (עגלו לשלם הקרוב)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

היתר=2×6=12\begin{aligned}\text{היתר} &= 2 \times 6 \\ &= 12\end{aligned}

לפי משפט משולש הזהב

62+b2=122⟶b≈10.396^2 + b^2 = 12^2 \quad \longrightarrow\quad b \approx 10.39

הצלע השלישית לפי פיתגורס

6+12+10.39≈286 + 12 + 10.39 \approx 28

ומחברים את שלוש הצלעות

שני המשפטים בשאלה אחת: משולש הזהב נותן את היתר, ופיתגורס את הצלע החסרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ABCD
שני משולשי זהב זה בתוך זה — הגדול ABCABC, והקטן ABDABD.

במשולש ABCABC נתון ∠B=90∘\angle B = 90^\circ ו-∠C=30∘\angle C = 30^\circ. הקטע BDBD הוא גובה ליתר ACAC. הוכיחו כי AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2}.

  • ∠B=90∘\angle B = 90^\circ
  • ∠C=30∘\angle C = 30^\circ
  • BDBD גובה ליתר ACAC

AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2}

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠B=90∘\angle B = 90^\circ — נתון
  2. ∠C=30∘\angle C = 30^\circ — נתון
  3. BDBD גובה ליתר ACAC — נתון
  4. ∠A=60∘\angle A = 60^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  5. ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ — גובה מאונך לצלע שאליה הוא מגיע
  6. ∠ABD=30∘\angle ABD = 30^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  7. AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2} — הניצב מול זווית של 30∘30^\circ שווה למחצית היתר

הפתרון:

∠A=180∘−90∘−30∘=60∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית החסרה במשולש הגדול

∠ABD=180∘−90∘−60∘=30∘\begin{aligned}\angle ABD &= 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ \\ &= 30^\circ\end{aligned}

ובמשולש הקטן ABDABD

AD=AB2AD = \frac{AB}{2}

הניצב מול 30∘30^\circ

הגובה מהזווית הישרה יצר משולש זהב קטן בתוך הגדול. זה הטריק שחוזר בכל התרגילים מהסוג הזה: לחפש את משולש הזהב הנסתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

במשולש זהב, הצלע שמול 30°30° היא 4 ס״מ. תלמידה חישבה את הצלע שמול 60°60°. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

היתר=2⋅4=8\begin{aligned}\text{היתר} &= 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}
42+b2=824^2 + b^2 = 8^2
b2=64+16=80\begin{aligned}b^2 &= 64 + 16 \\ &= 80\end{aligned}
b=48≈6.93b = \sqrt{48} \approx 6.93
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: b2=64+16=80b^2 = 64 + 16 = 80 → b2=64−16=48b^2 = 64 - 16 = 48

הפתרון:

b2=82−42b^2 = 8^2 - 4^2

מעבירים את 424^2 לצד השני — חיסור

b2=48  b≈6.93\begin{aligned}b^2 &= 48 \ \\ \ b \approx 6.93\end{aligned}

את הניצב מוצאים מהיתר בחיסור, לא בחיבור. בדיקה מהירה: 80≈8.94\sqrt{80} \approx 8.94 גדול מהיתר 8, ואין ניצב שארוך מהיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

במשולש זהב, אורך היתר הוא 16 ס״מ. השלימו (את הצלע השנייה עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

הצלע שמול 30°30° היא ____ ס״מ, והצלע שמול 60°60° היא בערך ____ ס״מ

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הצלע שמול 30°30° היא 8 ס״מ, והצלע שמול 60°60° היא בערך 13.86 ס״מ

הפתרון:

162=8\frac{16}{2} = 8

הצלע שמול 30°30° היא מחצית היתר

b2=162−82=192\begin{aligned}b^2 &= 16^2 - 8^2 \\ &= 192\end{aligned}

פיתגורס

b=192=83≈13.86\begin{aligned}b &= \sqrt{192} \\ &= 8\sqrt{3} \approx 13.86\end{aligned}

קודם הצלע הקטנה לפי משפט משולש הזהב, ורק אז הצלע השלישית לפי פיתגורס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

במשולש ישר הזווית שבאיור, היתר הוא 16 ס״מ, והזווית החדה הקטנה היא 30°30°. מה אורך הצלע הקצרה ביותר, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

16:2=816 : 2 = 8

הצלע הקצרה ביותר יושבת מול הזווית הקטנה ביותר, 30°30°: מחצית היתר

הצלע הקצרה ביותר היא זו שמול 30°30°, גם כשהמשולש מסובב. היא מחצית היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

מגדילים משולש זהב פי 3. במשולש הגדול, היתר כבר לא שווה לפעמיים הצלע שמול 30°30°.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

3⋅103⋅5=105=2\begin{aligned}\frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 5} &= \frac{10}{5} \\ &= 2\end{aligned}

שתי הצלעות גדלות פי 3

לא נכון. הזוויות לא השתנו, ולכן המשולש הגדול דומה לקטן. היחס נשאר 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

במשולש זהב, aa הצלע שמול 30°30°, bb הצלע שמול 60°60°, ו-cc היתר. נתון c=12c = 12. יואב חישב את aa ואת bb. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

a=c:2=6\begin{aligned}a &= c : 2 \\ &= 6\end{aligned}
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
b2=144+36=180\begin{aligned}b^2 &= 144 + 36 \\ &= 180\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: b2=144+36=180b^2 = 144 + 36 = 180 → b2=144−36=108b^2 = 144 - 36 = 108

הפתרון:

b2=c2−a2=144−36=108\begin{aligned}b^2 &= c^2 - a^2 \\ &= 144 - 36 \\ &= 108\end{aligned}

ניצב חסר: מחסרים מריבוע היתר

b=108≈10.39b = \sqrt{108} \approx 10.39

ומוציאים שורש

בפיתגורס, ניצב חסר יוצא מחיסור: ריבוע היתר פחות ריבוע הניצב השני. בדיקה: 180≈13.4\sqrt{180} \approx 13.4, ארוך מהיתר — וזה בלתי אפשרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

סדרו את צלעות משולש הזהב, מהקצרה לארוכה:

  • היתר
  • הצלע שמול 30°30°
  • הצלע שמול 60°60°
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הצלע שמול 30°30° · הצלע שמול 60°60° · היתר

הפתרון:

5<8.66<105 < 8.66 < 10

בדוגמה של השיעור

הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה. היתר, מול 90°90°, הוא תמיד הארוך, והצלע מול 30°30° תמיד הקצרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

במשולש זהב, היתר הוא 8 ס״מ. מה אורך הצלע שמול 60°60°, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.93

הפתרון:

8:2=48 : 2 = 4

הצלע שמול 30°30°, לפי משפט משולש הזהב

42+b2=824^2 + b^2 = 8^2

ואז פיתגורס

b2=64−16=48⟶b≈6.93\begin{aligned}b^2 &= 64 - 16 \\ &= 48 \quad\longrightarrow\quad b \approx 6.93\end{aligned}

ומוציאים שורש

קודם הצלע הקצרה, ורק אז פיתגורס. מי שעוצר ב-8:2=48 : 2 = 4 מצא את הצלע שמול 30°30°, ולא את זו שמול 60°60°.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת