תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

אחד־עשר תרגילים על כל הפרק: משולש הזהב, הצלע שמול 30°30°, הצלע השלישית בפיתגורס, וחצי משולש שווה צלעות. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30°30° היא 8 ס״מ. מה אורך היתר, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

2⋅8=162 \cdot 8 = 16

היתר שווה לפעמיים הצלע שמול 30°30°

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש זהב, אורך היתר הוא 22 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°30°, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

222=11\frac{22}{2} = 11

הצלע שמול 30°30° היא מחצית היתר

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש שזוויותיו 30°30°, 60°60° ו-90°90°, הצלע שמול הזווית 60°60° שווה למחצית היתר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

1:3:21 : \sqrt{3} : 2

מול 30°30°, מול 60°60°, מול 90°90°

מחצית היתר היא הצלע שמול 30°30° — הצלע הקטנה ביותר. הצלע שמול 60°60° ארוכה ממנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

צלע של משולש שווה צלעות היא 14 ס״מ. מה אורך הגובה שלו, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.12

הפתרון:

142=7\frac{14}{2} = 7

הגובה חוצה את הבסיס — זו הצלע שמול 30°30°

h2=142−72=147\begin{aligned}h^2 &= 14^2 - 7^2 \\ &= 147\end{aligned}

משפט פיתגורס

h=147=73≈12.12\begin{aligned}h &= \sqrt{147} \\ &= 7\sqrt{3} \approx 12.12\end{aligned}

מוציאים שורש

הגובה חותך את המשולש לשני משולשי זהב שהיתר שלהם 14.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30°30° היא 9 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 60°60°, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15.59

הפתרון:

2⋅9=182 \cdot 9 = 18

קודם היתר, לפי משפט משולש הזהב

x2=182−92=243\begin{aligned}x^2 &= 18^2 - 9^2 \\ &= 243\end{aligned}

ואז משפט פיתגורס

x=243=93≈15.59\begin{aligned}x &= \sqrt{243} \\ &= 9\sqrt{3} \approx 15.59\end{aligned}

מוציאים שורש

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

צלעות משולש זהב הן 55, 535\sqrt{3} ו-1010. מול איזו זווית נמצאת הצלע 535\sqrt{3}?

  1. 45°45°
  2. 90°90°
  3. 60°60°
  4. 30°30°
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 60°60°

הפתרון:

5<53<105 < 5\sqrt{3} < 10

כי 3≈1.73\sqrt{3} \approx 1.73

30°<60°<90°30° < 60° < 90°

הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה

הצלע האמצעית באורכה יושבת מול הזווית האמצעית בגודלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

סולם באורך 6 מטר נשען על קיר אנכי. הסולם יוצר עם הקרקע זווית 60°60°, ולכן עם הקיר זווית 30°30°. מה המרחק, במטרים, בין רגל הסולם לקיר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

90°, 60°, 30°90° ,\ 60° ,\ 30°

הקיר, הקרקע והסולם יוצרים משולש זהב

62=3\frac{6}{2} = 3

הסולם הוא היתר, והמרחק מהקיר הוא הצלע שמול 30°30°

הזווית 30°30° נמצאת למעלה, ליד הקיר — ולכן הצלע שמולה היא המרחק על הקרקע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בכל כרטיס נתונה צלע אחת של משולש זהב. התאימו כל כרטיס לאורך היתר.

  • הצלע שמול 30°30° היא 44
  • הצלע שמול 60°60° היא 333\sqrt{3}
  • הצלע שמול 30°30° היא 77
  • הצלע שמול 60°60° היא 535\sqrt{3}
  • היתר 1010
  • היתר 1414
  • היתר 66
  • היתר 88
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הצלע שמול 30°30° היא 44 — היתר 88 · הצלע שמול 60°60° היא 333\sqrt{3} — היתר 66 · הצלע שמול 30°30° היא 77 — היתר 1414 · הצלע שמול 60°60° היא 535\sqrt{3} — היתר 1010

הפתרון:

x3=33⇒x=3⇒2x=6\begin{aligned}x\sqrt{3} &= 3\sqrt{3} \Rightarrow x \\ &= 3 \Rightarrow 2x \\ &= 6\end{aligned}

מהצלע שמול 60°60° חוזרים קודם ל-xx

x3=53⇒x=5⇒2x=10\begin{aligned}x\sqrt{3} &= 5\sqrt{3} \Rightarrow x \\ &= 5 \Rightarrow 2x \\ &= 10\end{aligned}

את הצלע שמול 30°30° מכפילים פי 2. את הצלע שמול 60°60° לא מכפילים — מחלקים קודם ב-3\sqrt{3} כדי לקבל את xx, ורק אותו מכפילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

צלע של משולש שווה צלעות היא 10 ס״מ. תלמיד חישב את הגובה. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

חצי הבסיס=10:2=5\begin{aligned}\text{חצי הבסיס} &= 10 : 2 \\ &= 5\end{aligned}
h=2⋅5=10\begin{aligned}h &= 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}
h=75≈8.66h = \sqrt{75} \approx 8.66
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: h=2⋅5=10h = 2 \cdot 5 = 10 → h2=102−52=75h^2 = 10^2 - 5^2 = 75

הפתרון:

10 , 5 , h10 \ , \ 5 \ , \ h

היתר, הצלע שמול 30°30°, והגובה שמול 60°60°

h2=100−25=75\begin{aligned}h^2 &= 100 - 25 \\ &= 75\end{aligned}

פיתגורס

h≈8.66h \approx 8.66

פי 2 שייך ליתר בלבד. הגובה יושב מול 60°60°, ולכן מוצאים אותו בפיתגורס. אילו הגובה היה 10, הוא היה שווה ליתר — ובמשולש ישר זווית ניצב תמיד קצר מהיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 10

במשולש ABCABC נתון ∠B=90°\angle B = 90° ו-∠C=30°\angle C = 30°. הקטע BDBD הוא הגובה ליתר ACAC, ונתון AB=10AB = 10 ס״מ. מה אורך DCDC, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

AC=2⋅AB=20\begin{aligned}AC &= 2 \cdot AB \\ &= 20\end{aligned}

במשולש ABCABC: ABAB מול 30°30°

∠A=60°⇒∠ABD=30°\begin{aligned}\angle A &= 60° \Rightarrow \angle ABD \\ &= 30°\end{aligned}

במשולש ABDABD ישר הזווית ב-DD

AD=AB2=5\begin{aligned}AD &= \frac{AB}{2} \\ &= 5\end{aligned}

במשולש ABDABD: ADAD מול 30°30°, ו-ABAB הוא היתר

DC=20−5=15\begin{aligned}DC &= 20 - 5 \\ &= 15\end{aligned}

מחסרים

שני משולשי זהב זה בתוך זה: הגדול ABCABC והקטן ABDABD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

CBAM
CMCM מחבר את קודקוד הזווית הישרה עם אמצע היתר.

במשולש ABCABC נתון ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ ו-∠A=30∘\angle A = 30^\circ. הנקודה MM היא אמצע היתר ABAB. הוכיחו כי המשולש BCMBCM שווה־צלעות.

  • ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ
  • ∠A=30∘\angle A = 30^\circ
  • MM אמצע ABAB

△BCM\triangle BCM שווה־צלעות

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ — נתון
  2. ∠A=30∘\angle A = 30^\circ — נתון
  3. BC=AB2BC = \dfrac{AB}{2} — הניצב מול זווית של 30∘30^\circ שווה למחצית היתר
  4. MM אמצע ABAB — נתון
  5. BM=AB2BM = \dfrac{AB}{2} — נקודת אמצע מחלקת את הצלע לשני חלקים שווים
  6. BC=BMBC = BM — כלל המעבר
  7. ∠B=60∘\angle B = 60^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  8. △BCM\triangle BCM שווה־צלעות — משולש שווה־שוקיים שיש בו זווית של 60∘60^\circ הוא שווה־צלעות

הפתרון:

BC=AB2BC = \frac{AB}{2}

הניצב מול 30∘30^\circ במשולש ABCABC

BM=AB2BM = \frac{AB}{2}

MM אמצע ABAB

BC=BMBC = BM

כלל המעבר — המשולש BCMBCM שווה־שוקיים

∠B=180∘−90∘−30∘=60∘\begin{aligned}\angle B &= 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זווית הראש של שווה־השוקיים

△BCM שווה־צלעות\triangle BCM \text{ שווה־צלעות}

שווה־שוקיים עם זווית של 60∘60^\circ

משפט משולש הזהב נותן כאן שוויון בין צלע לבין מחצית היתר, והאמצע MM נותן את אותה מחצית בדרך אחרת. שני הקטעים נפגשים — וזווית של 60∘60^\circ משלימה את ההוכחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

1010
משולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא 120°120°, וכל שוק היא 10 ס״מ. מה אורך הגובה לבסיס, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

180°−120°2=30°\frac{180° - 120°}{2} = 30°

זוויות הבסיס שוות

90°, 30°, 60°90° ,\ 30° ,\ 60°

הגובה יוצר משולש זהב: ישר זווית, 30°30° בבסיס, ו-60°60° בראש

102=5\frac{10}{2} = 5

השוק היא היתר, והגובה הוא הצלע שמול זווית הבסיס 30°30°

הגובה בשווה שוקיים חוצה את זווית הראש: 120°2=60°\frac{120°}{2} = 60° ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

רמפה בכניסה לספרייה בבאר שבע עולה בשיפוע 30°30° ביחס לקרקע, ואורכה 7 מטר. מה האורך האופקי שהרמפה תופסת על הקרקע, במטרים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.06

הפתרון:

72=3.5\frac{7}{2} = 3.5

הגובה שהרמפה מגיעה אליו הוא הצלע שמול 30°30°

x2=72−3.52=36.75\begin{aligned}x^2 &= 7^2 - 3.5^2 \\ &= 36.75\end{aligned}

משפט פיתגורס

x=3.53≈6.06x = 3.5\sqrt{3} \approx 6.06

מוציאים שורש

האורך האופקי הוא הצלע שמול 60°60°, והיא ארוכה מהגובה ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת