קטע אמצעים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

אחרי גובה, תיכון וחוצה זווית — הנה הקטע המיוחד הרביעי: קטע אמצעים.

שלושת הקטעים הקודמים יוצאים מקודקוד. קטע אמצעים לא: הוא מחבר שתי נקודות אמצע של שתי צלעות.

ארבע התכונות

שתי התכונות הראשונות הן ההגדרה: הקטע חוצה את שתי הצלעות.

שתי האחרונות הן החידוש: הקטע מקביל לצלע השלישית, ואורכו חצי ממנה.

DE=BC2DE∥BCDE = \frac{BC}{2} \qquad DE \parallel BC

נמתח את המשולש ונעשה אותו גבוה ודק מאוד. האם DEDE עדיין יהיה בדיוק חצי מ-BCBC?

להציג את התשובה והפתרון

כן, תמיד. ההוכחה משתמשת רק בשתי נקודות האמצע. צורת המשולש לא מופיעה בה, ולכן היא לא משנה את התוצאה.

המשולש השתנה מעבר להכרה, והתכונות לא זזו. הן נובעות רק מכך שחיברנו שתי נקודות אמצע.

DEDE קטע אמצעים במשולש ABCABC, ו-∠ABC=70°\angle ABC = 70°. כמה זה ∠ADE\angle ADE?

להציג את התשובה והפתרון

70°. DE∥BCDE \parallel BC, ולכן ∠ADE\angle ADE ו-∠ABC\angle ABC הן זוויות מתאימות.

הקשר לדמיון

מי שלמד דמיון משולשים יזהה: המשולש הקטן ADEADE דומה למשולש ABCABC.

יחס הדמיון הוא בדיוק 12\frac{1}{2}. ומה עם השטח?

הטעות שנובעת ישירות מכך.

המשולש הקטן=12 מהשטח\text{המשולש הקטן} = \frac{1}{2} \text{ מהשטח}
המשולש הקטן=14 מהשטח\text{המשולש הקטן} = \frac{1}{4} \text{ מהשטח}

הצלעות הן חצי, אבל השטח הוא חצי בריבוע — כלומר רבע. זה בדיוק הכלל מפרק הדמיון.

ובכיוון ההפוך — איך מוכיחים שקטע הוא קטע אמצעים

עד עכשיו ידענו שהקטע הוא קטע אמצעים, והסקנו תכונות. עכשיו הכיוון ההפוך: נתון קטע במשולש, ורוצים להוכיח שהוא קטע אמצעים.

מספיק להראות שתיים מתוך ארבע התכונות. אבל יש צירוף אחד, ורק אחד, שאינו מספיק.

הצירוף שאינו עובד

«חוצה צלע אחת» ו«שווה למחצית הצלע שממול»: הצירוף הזה אינו מספיק.

שתי התכונות קובעות מאיפה הקטע יוצא ומה אורכו. הן לא קובעות את כיוונו.

כל צירוף שעובד קובע גם את הכיוון: דרך ההקבלה, או דרך נקודת האמצע השנייה.

תרגילים

תרגיל 1

12 ס״מ?ABCDE
D ו-E הן נקודות האמצע. הקטע הכחול נתון, האדום מבוקש.

במשולש, הצלע שממול לקטע האמצעים היא 12 ס״מ. מה אורך קטע האמצעים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

122=6\frac{12}{2} = 6

קטע אמצעים הוא מחצית הצלע שממול

זו התכונה השלישית, והיא נכונה בכל משולש בלי יוצא מן הכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

?6 ס״מABCDE
D ו-E הן נקודות האמצע. הקטע הכחול נתון, האדום מבוקש.

במשולש, קטע האמצעים באורך 6 ס״מ. מה אורך הצלע שממולו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

6×2=126 \times 2 = 12

הכיוון ההפוך — כופלים בשתיים

כמו התיכון ליתר, גם כאן התכונה עובדת בשני הכיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

20 ס״מ?ABCDE
D ו-E הן נקודות האמצע. הקטע הכחול נתון, האדום מבוקש.

במשולש, הצלע שממול לקטע האמצעים היא 20 ס״מ. מה אורך קטע האמצעים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

202=10\frac{20}{2} = 10

קטע אמצעים הוא מחצית הצלע שממול

זו התכונה השלישית, והיא נכונה בכל משולש בלי יוצא מן הכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

?10 ס״מABCDE
D ו-E הן נקודות האמצע. הקטע הכחול נתון, האדום מבוקש.

במשולש, קטע האמצעים באורך 10 ס״מ. מה אורך הצלע שממולו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

10×2=2010 \times 2 = 20

הכיוון ההפוך — כופלים בשתיים

כמו התיכון ליתר, גם כאן התכונה עובדת בשני הכיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

7 ס״מ?ABCDE
D ו-E הן נקודות האמצע. הקטע הכחול נתון, האדום מבוקש.

במשולש, הצלע שממול לקטע האמצעים היא 7 ס״מ. מה אורך קטע האמצעים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.5

הפתרון:

72=3.5\frac{7}{2} = 3.5

קטע אמצעים הוא מחצית הצלע שממול

זו התכונה השלישית, והיא נכונה בכל משולש בלי יוצא מן הכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

?3.5 ס״מABCDE
D ו-E הן נקודות האמצע. הקטע הכחול נתון, האדום מבוקש.

במשולש, קטע האמצעים באורך 3.5 ס״מ. מה אורך הצלע שממולו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

3.5×2=73.5 \times 2 = 7

הכיוון ההפוך — כופלים בשתיים

כמו התיכון ליתר, גם כאן התכונה עובדת בשני הכיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

30 ס״מ?ABCDE
D ו-E הן נקודות האמצע. הקטע הכחול נתון, האדום מבוקש.

במשולש, הצלע שממול לקטע האמצעים היא 30 ס״מ. מה אורך קטע האמצעים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

302=15\frac{30}{2} = 15

קטע אמצעים הוא מחצית הצלע שממול

זו התכונה השלישית, והיא נכונה בכל משולש בלי יוצא מן הכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

?15 ס״מABCDE
D ו-E הן נקודות האמצע. הקטע הכחול נתון, האדום מבוקש.

במשולש, קטע האמצעים באורך 15 ס״מ. מה אורך הצלע שממולו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

15×2=3015 \times 2 = 30

הכיוון ההפוך — כופלים בשתיים

כמו התיכון ליתר, גם כאן התכונה עובדת בשני הכיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

15 ס״מ?ABCDE
D ו-E הן נקודות האמצע. הקטע הכחול נתון, האדום מבוקש.

במשולש, הצלע שממול לקטע האמצעים היא 15 ס״מ. מה אורך קטע האמצעים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.5

הפתרון:

152=7.5\frac{15}{2} = 7.5

קטע אמצעים הוא מחצית הצלע שממול

זו התכונה השלישית, והיא נכונה בכל משולש בלי יוצא מן הכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

?7.5 ס״מABCDE
D ו-E הן נקודות האמצע. הקטע הכחול נתון, האדום מבוקש.

במשולש, קטע האמצעים באורך 7.5 ס״מ. מה אורך הצלע שממולו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

7.5×2=157.5 \times 2 = 15

הכיוון ההפוך — כופלים בשתיים

כמו התיכון ליתר, גם כאן התכונה עובדת בשני הכיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

9 ס״מ?ABCDE
D ו-E הן נקודות האמצע. הקטע הכחול נתון, האדום מבוקש.

במשולש, הצלע שממול לקטע האמצעים היא 9 ס״מ. מה אורך קטע האמצעים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.5

הפתרון:

92=4.5\frac{9}{2} = 4.5

קטע אמצעים הוא מחצית הצלע שממול

זו התכונה השלישית, והיא נכונה בכל משולש בלי יוצא מן הכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

?4.5 ס״מABCDE
D ו-E הן נקודות האמצע. הקטע הכחול נתון, האדום מבוקש.

במשולש, קטע האמצעים באורך 4.5 ס״מ. מה אורך הצלע שממולו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

4.5×2=94.5 \times 2 = 9

הכיוון ההפוך — כופלים בשתיים

כמו התיכון ליתר, גם כאן התכונה עובדת בשני הכיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

במה שונה קטע אמצעים מגובה, תיכון וחוצה זווית?

  1. הוא היחיד שיוצא מקודקוד
  2. הוא תמיד מאונך לצלע
  3. אין הבדל
  4. הוא אינו יוצא מקודקוד אלא מחבר שתי נקודות אמצע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הוא אינו יוצא מקודקוד אלא מחבר שתי נקודות אמצע

הפתרון:

אמצע↔אמצע\text{אמצע} \leftrightarrow \text{אמצע}

שני קצותיו הם נקודות אמצע

שלושת הקטעים האחרים יוצאים כולם מקודקוד. זה ההבדל המבני, ושווה לזכור אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

מה היחס בין קטע האמצעים לצלע שממולו מבחינת כיוון?

  1. תלוי בצורת המשולש
  2. הם נחתכים
  3. הם מאונכים
  4. הם מקבילים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הם מקבילים

הפתרון:

DE∥BCDE \parallel BC

התכונה הרביעית

וזה נכון בכל משולש, בלי קשר לצורתו. אפשר לראות זאת בכלי: הקטעים אף פעם לא נוטים זה מול זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

קטע אמצעים יוצר משולש קטן בתוך המשולש. איזה חלק מהשטח הוא תופס?

  1. 34\frac{3}{4}
  2. חצי
  3. שליש
  4. רבע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד רבע

הפתרון:

k=12k = \frac{1}{2}

יחס הדמיון — הצלעות הן חצי

k2=14k^2 = \frac{1}{4}

ויחס השטחים הוא היחס בריבוע

זו בדיוק חוקיות הדמיון: הצלעות פי חצי, השטח פי רבע. הטעות הטבעית היא לענות «חצי».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

במשולש שצלעותיו 10, 12 ו-16 ס״מ — מהו היקף המשולש הקטן שנוצר משלושת קטעי האמצעים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19

הפתרון:

102=5122=6162=8\begin{aligned}\frac{10}{2} &= 5 \quad \\ \quad \frac{12}{2} &= 6 \quad \\ \quad \frac{16}{2} &= 8\end{aligned}

כל קטע אמצעים הוא מחצית הצלע שממולו

5+6+8=195 + 6 + 8 = 19

ומחברים

אפשר גם ישר: היקף המשולש הקטן הוא מחצית ההיקף הגדול — 38:2=1938 : 2 = 19. זה נובע מיחס הדמיון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

כמה מתוך ארבע התכונות מספיק להראות כדי להוכיח שקטע הוא קטע אמצעים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

2 מתוך 42 \text{ מתוך } 4

שתי תכונות מספיקות

שתיים מספיקות — למעט צירוף אחד יחיד, שאינו קובע את כיוון הקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

איזה צירוף של שתי תכונות אינו מספיק כדי להוכיח שקטע הוא קטע אמצעים?

  1. חוצה צלע אחת + שווה למחצית הצלע שממול
  2. שווה למחצית הצלע שממול + מקביל לה
  3. חוצה את שתי הצלעות
  4. חוצה צלע אחת + מקביל לצלע שממול
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א חוצה צלע אחת + שווה למחצית הצלע שממול

הפתרון:

אמצע+אורך\text{אמצע} + \text{אורך}

שתי התכונות קובעות מוצא ואורך

אך לא כיוון\text{אך לא כיוון}

ולכן אפשר לסובב את הקטע

זה הצירוף היחיד שמשאיר את הכיוון חופשי. כל שאר הצירופים קובעים גם אותו — דרך ההקבלה או דרך נקודת האמצע השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

מדוע דווקא הצירוף הזה נכשל?

  1. כי המחצית אינה תכונה אמיתית
  2. כי הוא נכון רק במשולש שווה שוקיים
  3. כי צריך תמיד שלוש תכונות
  4. כי הוא קובע מוצא ואורך, אבל לא כיוון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כי הוא קובע מוצא ואורך, אבל לא כיוון

הפתרון:

סיבוב סביב נקודת האמצע\text{סיבוב סביב נקודת האמצע}

שומר על שתי התכונות

אפשר לסובב את הקטע סביב נקודת האמצע: אורכו לא משתנה והמוצא לא משתנה — אבל הקצה השני כבר לא נופל על אמצע הצלע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

ABCDE
DD ו-EE הן נקודות האמצע — זה כל מה שנתון לנו.

במשולש ABCABC, הנקודה DD היא אמצע ABAB והנקודה EE היא אמצע ACAC. הוכיחו כי DE∥BCDE \parallel BC.

  • DD אמצע ABAB
  • EE אמצע ACAC

DE∥BCDE \parallel BC

להציג את התשובה והפתרון
  1. DD אמצע ABAB — נתון
  2. EE אמצע ACAC — נתון
  3. ADAB=12\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1}{2} — נקודת אמצע מחלקת את הצלע לשני חלקים שווים
  4. AEAC=12\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{1}{2} — נקודת אמצע מחלקת את הצלע לשני חלקים שווים
  5. ∠A=∠A\angle A = \angle A — זווית משותפת לשני המשולשים
  6. △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC — משפט דמיון צ.ז.צ
  7. ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC — זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות
  8. DE∥BCDE \parallel BC — אם זוויות מתאימות שוות — הישרים מקבילים

הפתרון:

ADAB=AEAC=12\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{AE}{AC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שני יחסים שווים סביב הזווית AA

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

צ.ז.צ בדמיון

∠ADE=∠ABC⇒DE∥BC\angle ADE = \angle ABC \Rightarrow DE \parallel BC

מתאימות שוות

שימו לב לכיוון: השתמשנו בזוויות המתאימות הפוך מהרגיל — לא «מקבילים ולכן שוות», אלא «שוות ולכן מקבילים».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

ABCDE
הפעם נתונה ההקבלה, ואת נקודת האמצע השנייה צריך להוכיח.

במשולש ABCABC נתון ש-DD היא אמצע ABAB, וש-DE∥BCDE \parallel BC (EE על ACAC). הוכיחו כי EE היא אמצע ACAC.

  • DD אמצע ABAB
  • DE∥BCDE \parallel BC

EE אמצע ACAC

להציג את התשובה והפתרון
  1. DD אמצע ABAB — נתון
  2. DE∥BCDE \parallel BC — נתון
  3. AD=DBAD = DB — נקודת אמצע מחלקת את הצלע לשני חלקים שווים
  4. ADDB=AEEC\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC} — משפט תלס
  5. AEEC=1\dfrac{AE}{EC} = 1 — הצבה: ADDB=1\dfrac{AD}{DB} = 1
  6. AE=ECAE = EC — מנה של שני קטעים שווה ל-1 רק כשהם שווים

הפתרון:

ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

משפט תלס (DE∥BCDE \parallel BC)

ADDB=1\frac{AD}{DB} = 1

כי DD אמצע ABAB

AEEC=1⇒AE=EC\begin{aligned}\frac{AE}{EC} &= 1 \Rightarrow AE \\ &= EC\end{aligned}

ולכן גם EE אמצע ACAC

זה הכיוון ההפוך של קטע האמצעים: מספיק לדעת שהקטע יוצא מנקודת אמצע אחת ומקביל לצלע, כדי שהקצה השני ייפול בדיוק על האמצע. משפט תלס עצמו (חלק חלקי חלק) מספיק כאן — לא צריך את ההרחבה הראשונה, כי לא מחפשים את DEDE.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

במשולש ABCABC הנקודה DD היא אמצע ABAB והנקודה EE היא אמצע ACAC. מה נובע מהנתונים?

  • נובע מהנתונים
  • לא נובע מהנתונים
  • DE∥BCDE \parallel BC
  • DE⊥ABDE \perp AB
  • DE=BC2DE = \frac{BC}{2}
  • DE=ADDE = AD
  • שטח △ADE\triangle ADE הוא חצי משטח △ABC\triangle ABC
  • שטח △ADE\triangle ADE הוא רבע משטח △ABC\triangle ABC
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: DE∥BCDE \parallel BC — נובע מהנתונים · DE=BC2DE = \frac{BC}{2} — נובע מהנתונים · שטח △ADE\triangle ADE הוא רבע משטח △ABC\triangle ABC — נובע מהנתונים · DE=ADDE = AD — לא נובע מהנתונים · DE⊥ABDE \perp AB — לא נובע מהנתונים · שטח △ADE\triangle ADE הוא חצי משטח △ABC\triangle ABC — לא נובע מהנתונים

הפתרון:

DE∥BCDE=BC2\begin{aligned}DE \parallel BC \\ \quad DE &= \frac{BC}{2}\end{aligned}

משפט קטע האמצעים

SADESABC=(12)2=14\begin{aligned}\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

DEDE הוא קטע אמצעים: הוא מקביל ל-BCBC ושווה למחציתו, בכל משולש. המשולש ADEADE דומה ל-ABCABC ביחס 12\frac{1}{2}, ולכן שטחו רבע — לא חצי. על הזוויות ב-DD ועל השוויון DE=ADDE = AD הנתונים לא אומרים כלום: הם תלויים בצורת המשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

במשולש ABCABC הנקודות DD ו-EE הן אמצעי ABAB ו-ACAC. שטח המשולש ABCABC הוא 36 סמ״ר. תלמיד חישב את שטח הטרפז DBCEDBCE. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

k=DEBC=12\begin{aligned}k &= \frac{DE}{BC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
SADESABC=12\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}
SADE=9S_{ADE} = 9
SDBCE=36−9=27\begin{aligned}S_{DBCE} &= 36 - 9 \\ &= 27\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: SADESABC=12\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2} → SADESABC=14\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}

הפתרון:

SADESABC=k2=14\begin{aligned}\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} &= k^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

יחס השטחים הוא יחס הדמיון בריבוע

SADE=36:4=9\begin{aligned}S_{ADE} &= 36 : 4 \\ &= 9\end{aligned}

בסמ״ר

SDBCE=36−9=27\begin{aligned}S_{DBCE} &= 36 - 9 \\ &= 27\end{aligned}

מה שנשאר מהמשולש הגדול

הצלעות הן חצי, אבל השטח הוא חצי בריבוע — רבע. עם יחס של רבע יוצא SADE=9S_{ADE} = 9, וכל שאר השורות נכונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

במשולש ABCABC הנקודות DD ו-EE הן אמצעי הצלעות ABAB ו-ACAC. נתון AB=10AB = 10, AC=14AC = 14 ו-BC=16BC = 16. השלימו.

AD=AD = ____, AE=AE = ____, DE=DE = ____, ולכן היקף המשולש ADEADE הוא ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AD=AD = 5, AE=AE = 7, DE=DE = 8, ולכן היקף המשולש ADEADE הוא 20

הפתרון:

AD=102=5  AE=142=7\begin{aligned}AD &= \frac{10}{2} \\ &= 5 \ \\ \ AE &= \frac{14}{2} \\ &= 7\end{aligned}

DD ו-EE הן נקודות אמצע

DE=BC2=8\begin{aligned}DE &= \frac{BC}{2} \\ &= 8\end{aligned}

קטע אמצעים

5+7+8=205 + 7 + 8 = 20

ההיקף

כל צלע של ADEADE היא חצי מהצלע המתאימה של ABCABC, ולכן גם ההיקף הוא חצי: 10+14+162=20\frac{10 + 14 + 16}{2} = 20.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

ABCDE
∠ABC=65°\angle ABC = 65°

במשולש ABCABC, DEDE הוא קטע אמצעים (DD על ABAB, EE על ACAC). נתון ∠ABC=65°\angle ABC = 65°. מהי ∠ADE\angle ADE, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 65

הפתרון:

DE∥BCDE \parallel BC

קטע אמצעים מקביל לצלע השלישית

∠ADE=∠ABC=65°\begin{aligned}\angle ADE &= \angle ABC \\ &= 65°\end{aligned}

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים

הטעות היא לחצות גם את הזווית. הצלע נחצית, אבל ההקבלה שומרת על הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

ABCDE
DE=x+2DE = x + 2 ו-BC=3x−1BC = 3x - 1

DEDE קטע אמצעים במשולש ABCABC. נתון DE=x+2DE = x + 2 ו-BC=3x−1BC = 3x - 1. מהו אורך BCBC?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

BC=2⋅DEBC = 2 \cdot DE

קטע אמצעים הוא חצי מהצלע השלישית

3x−1=2(x+2)3x - 1 = 2(x + 2)

מציבים

x=5x = 5

פותרים

BC=3⋅5−1=14\begin{aligned}BC &= 3 \cdot 5 - 1 \\ &= 14\end{aligned}

ומציבים בחזרה

השאלה על BCBC, לא על xx: מי שעוצר ב-5 לא ענה. בדיקה: DE=7DE = 7, חצי מ-14.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

ABCDE
SABC=48S_{ABC} = 48 סמ״ר

שטח המשולש ABCABC הוא 48 סמ״ר, ו-DEDE קטע אמצעים. מהו שטח הטרפז DBCEDBCE, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

SADE=484=12\begin{aligned}S_{ADE} &= \frac{48}{4} \\ &= 12\end{aligned}

המשולש הקטן הוא רבע

SDBCE=48−12=36\begin{aligned}S_{DBCE} &= 48 - 12 \\ &= 36\end{aligned}

הטרפז הוא מה שנשאר

הטרפז הוא שלושה רבעים מהמשולש, לא חצי. מי שחושב שהקטן הוא חצי יענה 24.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

ABCDE
DD אמצע ABAB ו-DE=BC2DE = \frac{BC}{2}

במשולש ABCABC, DD אמצע ABAB, הנקודה EE על ACAC, ו-DE=BC2DE = \frac{BC}{2}. לכן EE בהכרח אמצע ACAC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

D אמצע AB  DE=BC2\begin{aligned}D \text{ אמצע } AB \ \\ \ DE &= \frac{BC}{2}\end{aligned}

שתי התכונות קובעות מוצא ואורך

ולא כיוון\text{ולא כיוון}

אפשר לסובב את DEDE סביב DD

לא בהכרח. על ACAC יש שתי נקודות במרחק BC2\frac{BC}{2} מ-DD, ורק אחת מהן היא האמצע. בשרטוט, EE היא השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

נתון קטע במשולש. אילו צירופים מוכיחים שהוא קטע אמצעים?

  • מספיק
  • לא מספיק
  • חוצה את שתי הצלעות
  • חוצה צלע אחת + מקביל לצלע השלישית
  • חוצה צלע אחת + שווה למחצית הצלע השלישית
  • חוצה צלע אחת, בלי שום תכונה נוספת
  • מקביל לצלע השלישית + שווה למחציתה
  • מקביל לצלע השלישית, בלי שום תכונה נוספת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חוצה את שתי הצלעות — מספיק · חוצה צלע אחת + מקביל לצלע השלישית — מספיק · מקביל לצלע השלישית + שווה למחציתה — מספיק · חוצה צלע אחת + שווה למחצית הצלע השלישית — לא מספיק · מקביל לצלע השלישית, בלי שום תכונה נוספת — לא מספיק · חוצה צלע אחת, בלי שום תכונה נוספת — לא מספיק

הפתרון:

אמצע+מחצית\text{אמצע} + \text{מחצית}

הזוג היחיד שנכשל: מוצא ואורך, בלי כיוון

תכונה אחת לבדה לא מספיקה אף פעם. מבין הזוגות, רק «חוצה צלע אחת + מחצית» נכשל: הוא לא קובע את הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת