תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

אחד-עשר תרגילים על כל הפרק: תכונות המקבילית — צלעות, זוויות ואלכסונים — וחמש הדרכים להוכיח שמרובע הוא מקבילית. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

במקבילית ABCDABCD נתון ∠A=58°\angle A = 58°. מה גודל ∠B\angle B, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 122

הפתרון:

∠A+∠B=180°\angle A + \angle B = 180°

זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל-180°180°

∠B=180°−58°=122°\begin{aligned}\angle B &= 180° - 58° \\ &= 122°\end{aligned}

מחסרים

∠B\angle B סמוכה ל-∠A\angle A, לא נגדית לה — ולכן היא משלימה אותה ל-180°180°, ושווה לה רק במלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גינה בצורת מקבילית. צלע אחת שלה 9 מטר, והצלע הסמוכה לה 5 מטר. כמה מטרים של גדר צריך כדי להקיף את כל הגינה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

9+5+9+5=289 + 5 + 9 + 5 = 28

הצלעות הנגדיות במקבילית שוות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בכל מקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

AO=OCBO=OD\begin{aligned}AO &= OC \\ \quad BO &= OD\end{aligned}

נקודת המפגש היא אמצע של שני האלכסונים

זו תכונה של כל מקבילית. מה שלא נכון בכל מקבילית: שהאלכסונים שווים, או שהם מאונכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

במקבילית ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO. נתון AC=18AC = 18 ס״מ, BD=12BD = 12 ס״מ ו-AB=10AB = 10 ס״מ. מה היקף המשולש AOBAOB, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

AO=182=9BO=122=6\begin{aligned}AO &= \frac{18}{2} \\ &= 9 \\ \quad BO &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה

9+6+10=259 + 6 + 10 = 25

היקף המשולש

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO. איזה נתון אינו מספיק כדי להוכיח ש-ABCDABCD הוא מקבילית?

  1. AO=OCAO = OC וגם BO=ODBO = OD
  2. AB=DCAB = DC וגם AD=BCAD = BC
  3. AB∥DCAB \parallel DC וגם AB=DCAB = DC
  4. AB∥DCAB \parallel DC וגם AD=BCAD = BC
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד AB∥DCAB \parallel DC וגם AD=BCAD = BC

הפתרון:

AB∥DCAD=BC\begin{aligned}AB \parallel DC \\ \quad AD &= BC\end{aligned}

זוג אחד מקביל, והזוג האחר שווה

גם טרפז שווה־שוקיים מקיים את שני הנתונים האלה, והוא אינו מקבילית. בדרך הנכונה אותו זוג צריך להיות גם מקביל וגם שווה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במקבילית ABCDABCD הזווית ∠A\angle A גדולה פי 2 מ-∠B\angle B. מה גודל ∠A\angle A, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

2x+x=180°2x + x = 180°

זוויות סמוכות משלימות ל-180°180°, כאשר ∠B=x\angle B = x

x=60°⇒∠A=120°\begin{aligned}x &= 60° \Rightarrow \angle A \\ &= 120°\end{aligned}

פותרים

בדיקה: 120°+60°=180°120° + 60° = 180° ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מגרש חניה באשדוד בצורת מקבילית. צלע אחת ארוכה מהצלע הסמוכה לה ב-12 מטר, והיקף המגרש 104 מטר. מה אורך הצלע הארוכה, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

2(x+x+12)=1042(x + x + 12) = 104

הצלעות הנגדיות שוות, xx היא הצלע הקצרה

2x+12=52⇒x=20\begin{aligned}2x + 12 &= 52 \Rightarrow x \\ &= 20\end{aligned}

הצלע הקצרה

20+12=3220 + 12 = 32

הצלע הארוכה

בדיקה: 2⋅(20+32)=1042 \cdot (20 + 32) = 104 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

ABCDEF
שני אנכים לאותו אלכסון, מקודקודים נגדיים.

במקבילית ABCDABCD מורידים מהקודקודים AA ו-CC אנכים לאלכסון BDBD: AE⊥BDAE \perp BD ו-CF⊥BDCF \perp BD, כאשר EE ו-FF על BDBD. הוכיחו: המרובע AECFAECF הוא מקבילית.

  • ABCDABCD מקבילית
  • AE⊥BDAE \perp BD, ו-EE על BDBD
  • CF⊥BDCF \perp BD, ו-FF על BDBD

AECFAECF מקבילית

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD מקבילית — נתון
  2. AE⊥BDAE \perp BD, ו-EE על BDBD — נתון
  3. CF⊥BDCF \perp BD, ו-FF על BDBD — נתון
  4. AD=CBAD = CB — במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
  5. AD∥BCAD \parallel BC — במקבילית הצלעות הנגדיות מקבילות
  6. ∠ADE=∠CBF\angle ADE = \angle CBF — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות (החותך BDBD)
  7. ∠AED=∠CFB=90∘\angle AED = \angle CFB = 90^\circ — ישרים מאונכים יוצרים זווית ישרה
  8. ∠DAE=∠BCF\angle DAE = \angle BCF — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  9. △ADE≅△CBF\triangle ADE \cong \triangle CBF — משפט חפיפה ז.צ.ז
  10. AE=CFAE = CF — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  11. AE∥CFAE \parallel CF — שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה
  12. AECFAECF מקבילית — מרובע שבו זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות הוא מקבילית

הפתרון:

AD=CB∠ADE=∠CBF\begin{aligned}AD &= CB \\ \quad \angle ADE &= \angle CBF\end{aligned}

צלעות נגדיות, וזוויות מתחלפות בין AD∥BCAD \parallel BC

∠AED=∠CFB=90∘ ⇒ ∠DAE=∠BCF\begin{aligned}\angle AED &= \angle CFB \\ &= 90^\circ \ \Rightarrow\ \angle DAE \\ &= \angle BCF\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

△ADE≅△CBF\triangle ADE \cong \triangle CBF

ז.צ.ז: הצלע AD=CBAD = CB והזוויות שלידה

AE=CFAE = CF

צלעות מתאימות

AE⊥BD, CF⊥BD ⇒ AE∥CFAE \perp BD ,\ CF \perp BD \ \Rightarrow\ AE \parallel CF

שני אנכים לאותו ישר

AECF מקביליתAECF \ \text{מקבילית}

זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות

שתי העובדות על אותו זוג צלעות: AEAE ו-CFCF מקבילות (שני אנכים ל-BDBD) וגם שוות (חפיפה). זו בדיוק הדרך השלישית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במקבילית ABCDABCD נתון ∠A=(3x+10)°\angle A = (3x + 10)° ו-∠C=(5x−30)°\angle C = (5x - 30)°. מה גודל ∠B\angle B, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 110

הפתרון:

3x+10=5x−303x + 10 = 5x - 30

זוויות נגדיות במקבילית שוות

x=20⇒∠A=70°\begin{aligned}x &= 20 \Rightarrow \angle A \\ &= 70°\end{aligned}

פותרים ומציבים

∠B=180°−70°=110°\begin{aligned}\angle B &= 180° - 70° \\ &= 110°\end{aligned}

זוויות סמוכות משלימות ל-180°180°

שואלים על ∠B\angle B, לא על ∠A\angle A — צריך עוד צעד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במקבילית ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO. נתון AO=2y−1AO = 2y - 1 ו-OC=y+4OC = y + 4. מה אורך האלכסון ACAC?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

2y−1=y+42y - 1 = y + 4

האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה

y=5⇒AO=OC=9\begin{aligned}y &= 5 \Rightarrow AO \\ &= OC \\ &= 9\end{aligned}

פותרים ומציבים

AC=9+9=18\begin{aligned}AC &= 9 + 9 \\ &= 18\end{aligned}

האלכסון כולו

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

במקבילית ABCDABCD נתון AB=12AB = 12 ס״מ ו-AD=7AD = 7 ס״מ. חוצה הזווית AA חותך את הצלע DCDC בנקודה EE. מה אורך ECEC, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

∠DAE=∠EAB\angle DAE = \angle EAB

AEAE חוצה זווית

∠EAB=∠AED\angle EAB = \angle AED

זוויות מתחלפות, כי AB∥DCAB \parallel DC

∠DAE=∠AED⇒DE=AD=7\begin{aligned}\angle DAE &= \angle AED \Rightarrow DE \\ &= AD \\ &= 7\end{aligned}

מול זוויות שוות צלעות שוות — המשולש ADEADE שווה שוקיים

EC=DC−DE=12−7=5\begin{aligned}EC &= DC - DE \\ &= 12 - 7 \\ &= 5\end{aligned}

DC=AB=12DC = AB = 12, צלעות נגדיות

חוצה זווית במקבילית יוצר תמיד משולש שווה שוקיים עם הצלע הנגדית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת