איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

עד עכשיו ידענו שהמרובע הוא מקבילית, והסקנו תכונות.

עכשיו הכיוון ההפוך: נתון מרובע, ורוצים להוכיח שהוא מקבילית. יש לזה חמש דרכים, ומספיקה אחת.

נתון ש-AO=OCAO = OC ו-BO=ODBO = OD. איזו דרך מתאימה?

להציג את התשובה והפתרון

החמישית: האלכסונים חוצים זה את זה. אין צורך לדעת דבר על הצלעות.

הדרך השלישית — למה זוג אחד מספיק

זו הדרך שנראית «חלשה מדי»: זוג צלעות אחד בלבד?

אבל אם הזוג מקביל וגם שווה, שתי הצלעות האחרות נאלצות להיסגר במקביל.

ובדיוק כאן נמצאת הטעות הנפוצה של הפרק.

AB∥DCוגםBC=ADAB \parallel DC \quad \text{וגם}\quad BC = AD
AB∥DCוגםAB=DCAB \parallel DC \quad \text{וגם}\quad AB = DC

מקביל בזוג אחד ושווה בזוג האחר אינו מספיק — כך נראה גם טרפז שווה שוקיים, שאינו מקבילית. שני התנאים חייבים לחול על אותו זוג צלעות.

מרובע שבו זוג צלעות גם שוות וגם מקבילות — מה הוא?

להציג את התשובה והפתרון

מקבילית. זה משפט הזיהוי הנוח ביותר: זוג אחד שעושה שתי עבודות.

הוכחה לדוגמה

במרובע ABCDABCD נתון ש-AB∥DCAB \parallel DC ו-AB=DCAB = DC. הוכיחו שהמרובע מקבילית.

AB∥DCAB \parallel DC

AB=DCAB = DC

ABCDABCD מקבילית

נתון

נתון

∠BAC=∠DCA\angle BAC = \angle DCA

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות

AC=CAAC = CA

צלע משותפת לשני המשולשים

△ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA

משפט חפיפה צ.ז.צ

∠BCA=∠DAC\angle BCA = \angle DAC

זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

AD∥BCAD \parallel BC

זוויות מתחלפות שוות — ולכן הישרים מקבילים

מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים (ההגדרה)

ההוכחה אינה מצטטת את המשפט שהיא מוכיחה: היא יורדת עד ההגדרה — שני זוגות צלעות מקבילים. מעכשיו מותר לצטט את המשפט עצמו, ובשאלה שנתוניה מתאימים לו בדיוק, ההוכחה מתקצרת לשלוש שורות.

אחרי שהוכחנו שהמרובע מקבילית, כל ארבע התכונות נפתחות בפנינו. זה בדרך כלל הצעד הראשון בשאלה ארוכה, לא הסוף שלה.

איזו דרך לבחור?

בוחרים את הדרך לפי מה שנתון בשאלה. קודם סורקים מה יש ביד.

תרגילים

תרגיל 1

כמה דרכים שונות יש להוכיח שמרובע הוא מקבילית, וכמה מהן צריך?

  1. דרך אחת בלבד
  2. שתי דרכים, וצריך את שתיהן
  3. חמש דרכים, וצריך את כולן
  4. חמש דרכים, ומספיקה אחת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד חמש דרכים, ומספיקה אחת

הפתרון:

1מתוך51 \quad \text{מתוך}\quad 5

כל דרך היא משפט שלם בפני עצמו

בוחרים את הדרך שהנתונים כבר מובילים אליה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון: AB∥DCAB \parallel DC וגם AB=DCAB = DC. מה אפשר להסיק?

  1. המרובע מקבילית
  2. המרובע טרפז בלבד
  3. המרובע מלבן
  4. לא ניתן להסיק דבר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א המרובע מקבילית

הפתרון:

AB∥DCAB=DC⇒מקבילית\begin{aligned}AB \parallel DC \\ \quad AB &= DC \Rightarrow \text{מקבילית}\end{aligned}

הדרך השלישית

שתי הצלעות האחרות נאלצות להיסגר במקביל — אין להן ברירה. זוג נגדי מקביל ושווה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון: AB∥DCAB \parallel DC וגם BC=ADBC = AD. האם המרובע בהכרח מקבילית?

  1. כן, זו הדרך השנייה
  2. כן, זו הדרך השלישית
  3. כן, לפי האלכסונים
  4. לא
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא

הפתרון:

AB∥DCאבלAB≠DCAB \parallel DC \quad \text{אבל}\quad AB \neq DC

המקבילות והשוויון על זוגות שונים

טרפז שווה שוקיים\text{טרפז שווה שוקיים}

דוגמה נגדית שמקיימת את שני התנאים

זו בדיוק המלכודת: שני התנאים חייבים לחול על אותו זוג צלעות. התנאים חלים על זוגות שונים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO, ונתון AO=OCAO = OC ו-BO=ODBO = OD. מה נכון?

  1. המרובע דלתון
  2. לא ניתן להסיק
  3. המרובע מקבילית
  4. המרובע מלבן
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג המרובע מקבילית

הפתרון:

AO=OCBO=OD⇒מקבילית\begin{aligned}AO &= OC \\ \quad BO &= OD \Rightarrow \text{מקבילית}\end{aligned}

הדרך החמישית

שימו לב ששני האלכסונים נחצים — אם רק אחד מהם נחצה, זה דלתון ולא מקבילית. האלכסונים חוצים זה את זה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשאלה נתונים אורכי כל ארבע הצלעות. איזו דרך הכי נוחה?

  1. אף אחת — צריך נתונים נוספים
  2. האלכסונים חוצים זה את זה
  3. שני זוגות של צלעות מקבילות
  4. שני זוגות של צלעות נגדיות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שני זוגות של צלעות נגדיות שוות

הפתרון:

AB=DCBC=AD\begin{aligned}AB &= DC \\ \quad BC &= AD\end{aligned}

הנתונים כבר בשפה של הדרך הזו

הדרך הנכונה היא זו שאפשר להגיע אליה בלי לייצר נתונים חדשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מה ההבדל בין «תכונה» לבין «דרך הוכחה»?

  1. תכונה נכונה תמיד, דרך הוכחה נכונה לפעמים
  2. תכונה נובעת מכך שזו מקבילית; דרך הוכחה מובילה למסקנה שזו מקבילית
  3. אין הבדל, זה אותו דבר
  4. דרך הוכחה שייכת רק למשולשים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב תכונה נובעת מכך שזו מקבילית; דרך הוכחה מובילה למסקנה שזו מקבילית

הפתרון:

מקבילית⇒תכונה\text{מקבילית} \Rightarrow \text{תכונה}

כיוון אחד

תנאי⇒מקבילית\text{תנאי} \Rightarrow \text{מקבילית}

והכיוון ההפוך

המשפטים נשמעים כמעט זהים, אבל החץ הפוך. לכן חשוב לדעת באיזה כיוון עובדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDO
שני זוגות הצלעות הנגדיות מקבילים — זו הגדרת המקבילית.

במקבילית ABCDABCD האלכסונים ACAC ו-BDBD נחתכים בנקודה OO. הוכיחו כי AO=OCAO = OC — כלומר שהאלכסון BDBD חוצה את האלכסון ACAC.

  • ABCDABCD מקבילית
  • ACAC ו-BDBD אלכסונים הנחתכים ב-OO

AO=OCAO = OC

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD מקבילית — נתון
  2. ACAC ו-BDBD אלכסונים הנחתכים ב-OO — נתון
  3. AB∥DCAB \parallel DC — במקבילית הצלעות הנגדיות מקבילות
  4. AB=DCAB = DC — במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
  5. ∠OAB=∠OCD\angle OAB = \angle OCD — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
  6. ∠OBA=∠ODC\angle OBA = \angle ODC — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
  7. △AOB≅△COD\triangle AOB \cong \triangle COD — משפט חפיפה ז.צ.ז
  8. AO=OCAO = OC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

AB∥DC  AB=DC\begin{aligned}AB \parallel DC \ \\ \ AB &= DC\end{aligned}

תכונות המקבילית

∠OAB=∠OCD  ∠OBA=∠ODC\begin{aligned}\angle OAB &= \angle OCD \ \\ \ \angle OBA &= \angle ODC\end{aligned}

מתחלפות בין מקבילים

△AOB≅△COD\triangle AOB \cong \triangle COD

ז.צ.ז

AO=OCAO = OC

צלעות מתאימות

אותו מהלך בדיוק נותן גם BO=ODBO = OD — ולכן האלכסונים חוצים זה את זה. זו התכונה שבה משתמשים הכי הרבה בהוכחות על מקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במקבילית ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO. הקטע KEKE עובר דרך OO ומחבר את הצלעות הנגדיות (KK על ABAB, EE על DCDC). נתון: AK=13AK = 13 ס״מ, DE=17DE = 17 ס״מ, ∠DAC=90∘\angle DAC = 90^\circ, ∠DCA=30∘\angle DCA = 30^\circ. חשבו את היקף המקבילית בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

△AKO≅△CEO\triangle AKO \cong \triangle CEO

ז.צ.ז: AO=OCAO = OC (האלכסונים חוצים זה את זה), זוויות מתחלפות (AB∥DCAB \parallel DC) וקודקודיות ב-OO

CE=AK=13\begin{aligned}CE &= AK \\ &= 13\end{aligned}

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

DC=DE+EC=17+13=30\begin{aligned}DC &= DE + EC \\ &= 17 + 13 \\ &= 30\end{aligned}

הצלע כולה

AD=30:2=15\begin{aligned}AD &= 30 : 2 \\ &= 15\end{aligned}

ב-△DAC\triangle DAC ישר הזווית: הצלע שמול 30∘30^\circ שווה מחצית היתר

2(30+15)=902(30 + 15) = 90

היקף המקבילית

שני כלים נפגשים: חפיפה דרך מרכז המקבילית (כל קטע העובר דרך OO נחצה בו), והמשפט על הצלע שמול 30∘30^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

EDCABN
DD בין EE ל-CC; הקו ENEN עובר דרך AA, ו-CNCN חוצה את ∠BCD\angle BCD.

במקבילית ABCDABCD הקטע CNCN חוצה את הזווית ∠BCD\angle BCD. על המשך CDCD (מעבר ל-DD) מסמנים נקודה EE כך ש-DE=ADDE = AD; הנקודה NN נמצאת על המשך EAEA (מעבר ל-AA). הוכיחו: ∠ENC=90∘\angle ENC = 90^\circ.

  • ABCDABCD מקבילית
  • CNCN חוצה את ∠BCD\angle BCD
  • EE על המשך CDCD מעבר ל-DD
  • DE=ADDE = AD
  • NN על המשך EAEA מעבר ל-AA

∠ENC=90∘\angle ENC = 90^\circ

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD מקבילית — נתון
  2. CNCN חוצה את ∠BCD\angle BCD — נתון
  3. EE על המשך CDCD מעבר ל-DD — נתון
  4. DE=ADDE = AD — נתון
  5. NN על המשך EAEA מעבר ל-AA — נתון
  6. נסמן ∠BCD=γ\angle BCD = \gamma — סימון נוח — כל הזוויות ייכתבו באמצעותו
  7. ∠ADC=180∘−γ\angle ADC = 180^\circ - \gamma — זוויות חד-צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל-180∘180^\circ
  8. ∠ADE=γ\angle ADE = \gamma — זוויות צמודות משלימות ל-180∘180^\circ
  9. △ADE\triangle ADE שווה-שוקיים — משולש שיש בו שתי צלעות שוות הוא שווה-שוקיים
  10. ∠DEA=∠DAE\angle DEA = \angle DAE — במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות
  11. ∠DEA=90∘−γ/2\angle DEA = 90^\circ - \gamma/2 — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  12. ∠NCE=γ/2\angle NCE = \gamma/2 — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  13. ∠NEC=90∘−γ/2\angle NEC = 90^\circ - \gamma/2 — זו אותה זווית: NN על הקרן EAEA ו-CC על הקרן EDED
  14. ∠ENC=90∘\angle ENC = 90^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ

הפתרון:

∠ADC=180∘−γ ⇒ ∠ADE=γ\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ - \gamma \ \Rightarrow\ \angle ADE \\ &= \gamma\end{aligned}

חד-צדדיות בין AD∥BCAD \parallel BC, ואז זווית צמודה

∠DEA=∠DAE=180∘−γ2=90∘−γ2\begin{aligned}\angle DEA &= \angle DAE \\ &= \frac{180^\circ - \gamma}{2} \\ &= 90^\circ - \frac{\gamma}{2}\end{aligned}

DE=ADDE = AD: זוויות הבסיס במשולש שווה-השוקיים ADEADE

∠NCE=γ2\angle NCE = \frac{\gamma}{2}

CNCN חוצה את ∠BCD\angle BCD, ו-EE על הישר CDCD

∠ENC=180∘−(90∘−γ2)−γ2=90∘\begin{aligned}\angle ENC &= 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) - \frac{\gamma}{2} \\ &= 90^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ENCENC — וה-γ\gamma מתבטל

הרגע היפה: לא יודעים כמה שווה γ\gamma — ולא צריך. הוא מתבטל מעצמו, ולכן התוצאה נכונה לכל מקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCD
זוג צלעות אחד — מקביל וגם שווה. האלכסון ACAC יעזור.

במרובע ABCDABCD נתון AB∥DCAB \parallel DC וגם AB=DCAB = DC. הוכיחו כי ABCDABCD הוא מקבילית.

  • AB∥DCAB \parallel DC
  • AB=DCAB = DC

ABCDABCD מקבילית

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB∥DCAB \parallel DC — נתון
  2. AB=DCAB = DC — נתון
  3. ∠BAC=∠DCA\angle BAC = \angle DCA — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
  4. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  5. △ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. BC=ADBC = AD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  7. ABCDABCD מקבילית — מרובע שבו שני זוגות הצלעות הנגדיות שווים הוא מקבילית

הפתרון:

∠BAC=∠DCA\angle BAC = \angle DCA

מתחלפות

△ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA

צ.ז.צ

BC=ADBC = AD

ולכן גם הזוג השני שווה

זהו אחד ממשפטי ה«דרכים להוכיח מקבילית»: זוג צלעות נגדיות שהוא גם מקביל וגם שווה — מספיק. שים לב שצריך את שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCDEF
EE ו-FF מרוחקות במידה שווה מקצות האלכסון BDBD.

בשרטוט 4 נתונה מקבילית ABCDABCD. הנקודות EE ו-FF נמצאות על האלכסון BDBD, ונתון BE=DFBE = DF. א. הוכיחו: △ABE≅△CDF\triangle ABE \cong \triangle CDF.

  • ABCDABCD מקבילית
  • EE ו-FF על האלכסון BDBD
  • BE=DFBE = DF

△ABE≅△CDF\triangle ABE \cong \triangle CDF

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD מקבילית — נתון
  2. EE ו-FF על האלכסון BDBD — נתון
  3. BE=DFBE = DF — נתון
  4. AB=CDAB = CD — במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
  5. AB∥CDAB \parallel CD — במקבילית הצלעות הנגדיות מקבילות
  6. ∠ABE=∠CDF\angle ABE = \angle CDF — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות (החותך BDBD)
  7. △ABE≅△CDF\triangle ABE \cong \triangle CDF — משפט חפיפה צ.ז.צ

הפתרון:

AB=CDAB∥CD\begin{aligned}AB &= CD \\ \quad AB \parallel CD\end{aligned}

תכונות המקבילית

∠ABE=∠CDF\angle ABE = \angle CDF

זוויות מתחלפות, עם החותך BDBD

△ABE≅△CDF\triangle ABE \cong \triangle CDF

צ.ז.צ: AB=CDAB = CD, הזווית, BE=DFBE = DF

הזווית שבין שתי הצלעות היא הזווית שעל האלכסון — ולכן מגיעים אליה דרך המקבילות, לא דרך חפיפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ABCDEF
EE ו-FF מרוחקות במידה שווה מקצות האלכסון BDBD.

בשרטוט 4 נתונה מקבילית ABCDABCD. הנקודות EE ו-FF נמצאות על האלכסון BDBD, ונתון BE=DFBE = DF. ב. הוכיחו: מרובע AECFAECF הוא מקבילית.

  • ABCDABCD מקבילית
  • EE ו-FF על האלכסון BDBD
  • BE=DFBE = DF
  • △ABE≅△CDF\triangle ABE \cong \triangle CDF (סעיף א)

מרובע AECFAECF הוא מקבילית

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD מקבילית — נתון
  2. EE ו-FF על האלכסון BDBD — נתון
  3. BE=DFBE = DF — נתון
  4. △ABE≅△CDF\triangle ABE \cong \triangle CDF — הוכח בסעיף א
  5. AE=CFAE = CF — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  6. AD=CBAD = CB — במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
  7. AD∥CBAD \parallel CB — במקבילית הצלעות הנגדיות מקבילות
  8. ∠ADF=∠CBE\angle ADF = \angle CBE — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות (החותך BDBD)
  9. △ADF≅△CBE\triangle ADF \cong \triangle CBE — משפט חפיפה צ.ז.צ
  10. AF=CEAF = CE — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  11. מרובע AECFAECF הוא מקבילית — מרובע שבו שני זוגות הצלעות הנגדיות שווים הוא מקבילית

הפתרון:

AE=CFAE = CF

מהחפיפה שבסעיף א

AD=CB∠ADF=∠CBEDF=BE\begin{aligned}AD &= CB \\ \quad \angle ADF &= \angle CBE \\ \quad DF &= BE\end{aligned}

תכונות המקבילית וזוויות מתחלפות

△ADF≅△CBE ⇒ AF=CE\triangle ADF \cong \triangle CBE \ \Rightarrow\ AF = CE

צ.ז.צ, וצלעות מתאימות

AE=CFAF=CE ⇒ AECF מקבילית\begin{aligned}AE &= CF \\ \quad AF &= CE \ \Rightarrow\ AECF \ \text{מקבילית}\end{aligned}

שני זוגות צלעות נגדיות שוות

סעיף א נתן זוג אחד; חפיפה שנייה, באותו מבנה, נותנת את הזוג השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

ABCDEF
EE ו-FF מרוחקות במידה שווה מקצות האלכסון BDBD.

בשרטוט 4 נתונה מקבילית ABCDABCD. הנקודות EE ו-FF נמצאות על האלכסון BDBD, ונתון BE=DFBE = DF. ג. נתון בנוסף ∠DAB=70°\angle DAB = 70°. חשבו את ∠ABC\angle ABC (בדרגות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 110

הפתרון:

∠DAB+∠ABC=180°\angle DAB + \angle ABC = 180°

זוויות חד-צדדיות בין AD∥BCAD \parallel BC

∠ABC=180°−70°=110°\begin{aligned}\angle ABC &= 180° - 70° \\ &= 110°\end{aligned}

במקבילית, כל שתי זוויות סמוכות משלימות ל-180°180°, וכל שתי זוויות נגדיות שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO. האם הנתון מספיק כדי להוכיח ש-ABCDABCD מקבילית?

  • מספיק
  • לא מספיק
  • AB∥DCAB \parallel DC וגם AB=DCAB = DC
  • AB∥DCAB \parallel DC וגם BC∥ADBC \parallel AD
  • AB∥DCAB \parallel DC וגם BC=ADBC = AD
  • AB=DCAB = DC וגם BC=ADBC = AD
  • AC=BDAC = BD
  • AO=OCAO = OC בלבד
  • AO=OCAO = OC וגם BO=ODBO = OD
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB∥DCAB \parallel DC וגם BC∥ADBC \parallel AD — מספיק · AB=DCAB = DC וגם BC=ADBC = AD — מספיק · AB∥DCAB \parallel DC וגם AB=DCAB = DC — מספיק · AO=OCAO = OC וגם BO=ODBO = OD — מספיק · AB∥DCAB \parallel DC וגם BC=ADBC = AD — לא מספיק · AC=BDAC = BD — לא מספיק · AO=OCAO = OC בלבד — לא מספיק

הפתרון:

AB∥DC BC=AD\begin{aligned}AB \parallel DC \\ \ BC &= AD\end{aligned}

מתקיים גם בטרפז שווה שוקיים — לא מספיק

AO=OC BO=OD\begin{aligned}AO &= OC \\ \ BO &= OD\end{aligned}

שני האלכסונים נחצים — מספיק

ארבעת הנתונים הראשונים הם מחמש הדרכים להוכיח מקבילית. «מקביל בזוג אחד ושווה בזוג האחר» מתקיים גם בטרפז שווה שוקיים. אלכסונים שווים לבד מתקיימים גם בטרפז שווה שוקיים. ואם רק אלכסון אחד נחצה — זה יכול להיות דלתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO, ונתון AO=OCAO = OC ו-BO=ODBO = OD. בהוכחה שורה אחת שגויה — מצאו אותה

AO=OC BO=OD (נתון)\begin{aligned}AO &= OC \\ \ BO &= OD \ (\text{נתון})\end{aligned}
ABCD מקבילית (זוג צלעות נגדיות מקביל ושווה)ABCD \ \text{מקבילית} \ (\text{זוג צלעות נגדיות מקביל ושווה})
∠A=∠C (זוויות נגדיות במקבילית שוות)\angle A = \angle C \ (\text{זוויות נגדיות במקבילית שוות})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ABCD מקבילית (זוג צלעות נגדיות מקביל ושווה)ABCD \ \text{מקבילית} \ (\text{זוג צלעות נגדיות מקביל ושווה}) → ABCD מקבילית (האלכסונים חוצים זה את זה)ABCD \ \text{מקבילית} \ (\text{האלכסונים חוצים זה את זה})

הפתרון:

AO=OC BO=OD⇒ABCD מקבילית\begin{aligned}AO &= OC \\ \ BO &= OD \Rightarrow ABCD \ \text{מקבילית}\end{aligned}

מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה

המסקנה נכונה, אבל הנימוק לא: בנתונים אין שום מידע על הצלעות. הנתון מדבר על האלכסונים — ולכן הדרך המתאימה היא החמישית: מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

השלימו

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO. נתון AO=2x+1AO = 2x + 1, OC=11OC = 11, BO=3y−2BO = 3y - 2 ו-OD=10OD = 10. כדי שהאלכסונים יחצו זה את זה, וכך ABCDABCD יהיה מקבילית, צריך x=x = ____ ו-y=y = ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO. נתון AO=2x+1AO = 2x + 1, OC=11OC = 11, BO=3y−2BO = 3y - 2 ו-OD=10OD = 10. כדי שהאלכסונים יחצו זה את זה, וכך ABCDABCD יהיה מקבילית, צריך x=x = 5 ו-y=y = 4.

הפתרון:

2x+1=11⇒x=5\begin{aligned}2x + 1 &= 11 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}
3y−2=10⇒y=4\begin{aligned}3y - 2 &= 10 \Rightarrow y \\ &= 4\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה כש-OO אמצע של שניהם: AO=OCAO = OC וגם BO=ODBO = OD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO. איזה נתון מספיק כדי לקבוע שהוא מקבילית?

  • מספיק
  • לא מספיק
  • AB∥DCAB \parallel DC וגם AB=DCAB = DC
  • AB∥DCAB \parallel DC וגם AD∥BCAD \parallel BC
  • AB∥DCAB \parallel DC וגם AD=BCAD = BC
  • AB=DCAB = DC בלבד
  • AB=DCAB = DC וגם AD=BCAD = BC
  • AO=OCAO = OC בלבד
  • AO=OCAO = OC וגם BO=ODBO = OD
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB∥DCAB \parallel DC וגם AD∥BCAD \parallel BC — מספיק · AB=DCAB = DC וגם AD=BCAD = BC — מספיק · AB∥DCAB \parallel DC וגם AB=DCAB = DC — מספיק · AO=OCAO = OC וגם BO=ODBO = OD — מספיק · AB∥DCAB \parallel DC וגם AD=BCAD = BC — לא מספיק · AO=OCAO = OC בלבד — לא מספיק · AB=DCAB = DC בלבד — לא מספיק

הפתרון:

AB∥DCAD=BC\begin{aligned}AB \parallel DC \\ \quad AD &= BC\end{aligned}

כך נראה גם טרפז שווה שוקיים

כל דרך היא שני נתונים. ובדרך השלישית, שניהם על אותו זוג.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

ABCDO
BO=ODBO = OD. על ACAC: AO=x+3AO = x + 3, OC=2x−1OC = 2x - 1.

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO. נתון BO=ODBO = OD, AO=x+3AO = x + 3 ו-OC=2x−1OC = 2x - 1. לאיזה xx המרובע הוא מקבילית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x+3=2x−1x + 3 = 2x - 1

צריך גם AO=OCAO = OC: אז האלכסונים חוצים זה את זה

x=4x = 4

פותרים

AO=OC=7\begin{aligned}AO &= OC \\ &= 7\end{aligned}

בדיקה

BO=ODBO = OD לבד לא מספיק: צריך ששני האלכסונים ייחצו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

התאימו כל נתון לדרך שהוא פותח

  • AB=DC,AD=BCAB = DC ,\quad AD = BC
  • AO=OC,BO=ODAO = OC ,\quad BO = OD
  • AB∥DC,AB=DCAB \parallel DC ,\quad AB = DC
  • ∠A=∠C,∠B=∠D\angle A = \angle C ,\quad \angle B = \angle D
  • האלכסונים חוצים זה את זה
  • זוג אחד, מקביל וגם שווה
  • שני זוגות זוויות נגדיות שוות
  • שני זוגות צלעות נגדיות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=DC,AD=BCAB = DC ,\quad AD = BC — שני זוגות צלעות נגדיות שוות · AO=OC,BO=ODAO = OC ,\quad BO = OD — האלכסונים חוצים זה את זה · AB∥DC,AB=DCAB \parallel DC ,\quad AB = DC — זוג אחד, מקביל וגם שווה · ∠A=∠C,∠B=∠D\angle A = \angle C ,\quad \angle B = \angle D — שני זוגות זוויות נגדיות שוות

הפתרון:

AB=DCAD=BC⇒מקבילית\begin{aligned}AB &= DC \\ \quad AD &= BC \Rightarrow \text{מקבילית}\end{aligned}

שני זוגות שווים: הדרך השנייה

AB∥DCAB=DC⇒מקבילית\begin{aligned}AB \parallel DC \\ \quad AB &= DC \Rightarrow \text{מקבילית}\end{aligned}

זוג אחד, מקביל וגם שווה: הדרך השלישית

כל נתון מדבר בשפה של דרך אחת. הדרך הקצרה היא זו שהנתונים כבר מובילים אליה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

במרובע ABCDABCD נתון AB∥DCAB \parallel DC וגם AD=BCAD = BC. לכן ABCDABCD בהכרח מקבילית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

AB∥DCAD=BC\begin{aligned}AB \parallel DC \\ \quad AD &= BC\end{aligned}

מקביל בזוג אחד, שווה בזוג השני

טרפז שווה שוקיים\text{טרפז שווה שוקיים}

מקיים את שני הנתונים, ואינו מקבילית

לא נכון. שני התנאים של הדרך השלישית חייבים לחול על אותו זוג.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

במרובע ABCDABCD נתון AB∥DCAB \parallel DC וגם ∠A=∠C\angle A = \angle C. לכן ABCDABCD מקבילית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

∠A+∠D=180∘∠B+∠C=180∘\begin{aligned}\angle A + \angle D &= 180^\circ \\ \quad \angle B + \angle C &= 180^\circ\end{aligned}

זוויות חד-צדדיות בין המקבילים ABAB ו-DCDC

∠B=180∘−∠C=180∘−∠A=∠D\begin{aligned}\angle B &= 180^\circ - \angle C \\ &= 180^\circ - \angle A \\ &= \angle D\end{aligned}

כי ∠A=∠C\angle A = \angle C

∠A=∠C∠B=∠D\begin{aligned}\angle A &= \angle C \\ \quad \angle B &= \angle D\end{aligned}

הדרך הרביעית

נכון. זוג מקבילים אחד וזוג זוויות נגדיות אחד מספיקים: הזוג השני של הזוויות נובע מהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת