תכונות המקבילית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מקבילית היא מרובע שבו שני זוגות הצלעות הנגדיות מקבילים.

זו ההגדרה. ממנה נובעות כל שאר התכונות.

במקבילית $ABCD$ , איזו צלע מקבילה ל- $AB$ ? ואיזו ל- $BC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$DC$ ו- $AD$ . כל צלע מקבילה לצלע שמולה, לא לצלע שנוגעת בה.

ארבע התכונות

נסובב את המקבילית חצי סיבוב סביב $O$ , הנקודה שבה נפגשים האלכסונים.

שימו לב מה לא ברשימה: האלכסונים אינם שווים זה לזה, ואינם מאונכים. אלה תכונות של המלבן ושל המעוין, לא של כל מקבילית.

במקבילית $ABCD$ האלכסונים נחתכים ב- $O$ , ו- $AO = 4$ , $BO = 6$ . מה אורך $AC$ , ומה אורך $BD$ ?

להציג את התשובה והפתרון

8 ו-12. $O$ הוא אמצע של כל אלכסון: $O$ , $BD = 2 \cdot 6$ . והאלכסונים לא שווים.

איך משתמשים בזה בהוכחה

כשכתוב בנתונים « $ABCD$ מקבילית», כל ארבע התכונות זמינות. לא מוכיחים אותן שוב.

הנימוק נכתב בשם התכונה: «הצלעות הנגדיות במקבילית שוות».

נתונה מקבילית $ABCD$ שבה $\angle A = 70°$ . מצאו את שאר הזוויות.

$ABCD$ מקבילית

$\angle A = 70°$

$\angle B, \angle C, \angle D$

$\angle C = 70°$

זוויות נגדיות במקבילית שוות

$\angle A + \angle B = 180°$

זוויות חד-צדדיות בין מקבילים

$\angle B = 110°$

חישוב

$\angle D = 110°$

זוויות נגדיות במקבילית שוות

שתי זוויות סמוכות במקבילית משלימות תמיד ל-180°, כי הן חד-צדדיות בין שני ישרים מקבילים.

הבלבול בין נגדי לסמוך.

\angle A = \angle B

\angle A + \angle B = 180°

$A$ ו- $B$ הן זוויות סמוכות — הן משלימות, לא שוות. שוות הן הזוויות שנמצאות זו מול זו באלכסון.

במקבילית זווית אחת 55°. מהן שלוש האחרות?

להציג את התשובה והפתרון

הנגדית 55°, ושתי הסמוכות 125° כל אחת. נגדיות שוות, סמוכות משלימות ל-180.

תרגילים

תרגיל 1

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 70°$ . מה גודל $\angle B$ במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 110

הפתרון:

\angle A + \angle B = 180°

זוויות סמוכות במקבילית משלימות

\begin{aligned}\angle B &= 180 - 70 \\ &= 110\end{aligned}

ומחשבים

סמוכות משלימות ל-180°, נגדיות שוות. שני כללים, ואסור לערבב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 110°$ . מה גודל $\angle B$ במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 70

הפתרון:

\angle A + \angle B = 180°

זוויות סמוכות במקבילית משלימות

\begin{aligned}\angle B &= 180 - 110 \\ &= 70\end{aligned}

ומחשבים

סמוכות משלימות ל-180°, נגדיות שוות. שני כללים, ואסור לערבב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 45°$ . מה גודל $\angle B$ במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 135

הפתרון:

\angle A + \angle B = 180°

זוויות סמוכות במקבילית משלימות

\begin{aligned}\angle B &= 180 - 45 \\ &= 135\end{aligned}

ומחשבים

סמוכות משלימות ל-180°, נגדיות שוות. שני כללים, ואסור לערבב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 120°$ . מה גודל $\angle B$ במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

\angle A + \angle B = 180°

זוויות סמוכות במקבילית משלימות

\begin{aligned}\angle B &= 180 - 120 \\ &= 60\end{aligned}

ומחשבים

סמוכות משלימות ל-180°, נגדיות שוות. שני כללים, ואסור לערבב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 90°$ . מה גודל $\angle B$ במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

\angle A + \angle B = 180°

זוויות סמוכות במקבילית משלימות

\begin{aligned}\angle B &= 180 - 90 \\ &= 90\end{aligned}

ומחשבים

סמוכות משלימות ל-180°, נגדיות שוות. שני כללים, ואסור לערבב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 70°$ . מה גודל $\angle C$ במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 70

הפתרון:

\begin{aligned}\angle C &= \angle A \\ &= 70°\end{aligned}

זוויות נגדיות במקבילית שוות

$A$ ו- $C$ נמצאות זו מול זו — הן נגדיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 115°$ . מה גודל $\angle C$ במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 115

הפתרון:

\begin{aligned}\angle C &= \angle A \\ &= 115°\end{aligned}

זוויות נגדיות במקבילית שוות

$A$ ו- $C$ נמצאות זו מול זו — הן נגדיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 40°$ . מה גודל $\angle C$ במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

\begin{aligned}\angle C &= \angle A \\ &= 40°\end{aligned}

זוויות נגדיות במקבילית שוות

$A$ ו- $C$ נמצאות זו מול זו — הן נגדיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

איזו תכונה אינה נכונה בכל מקבילית?

האלכסונים שווים זה לזה
הזוויות הנגדיות שוות
הצלעות הנגדיות שוות
האלכסונים חוצים זה את זה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א האלכסונים שווים זה לזה

הפתרון:

AC \neq BD

במקבילית כללית האלכסונים שונים באורכם

אלכסונים שווים זו תכונה של המלבן. מקבילית «נוטה» — אלכסון אחד ארוך מהשני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

האלכסונים במקבילית נחתכים בנקודה $O$ . מה נכון?

האלכסונים שווים ב- $O$
האלכסונים מאונכים ב- $O$
$O$ היא אמצע של אלכסון אחד בלבד
$O$ היא אמצע של שני האלכסונים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $O$ היא אמצע של שני האלכסונים

הפתרון:

\begin{aligned}AO &= OC \\ \quad BO &= OD\end{aligned}

כל אחד מהם נחצה

«חוצים זה את זה» אומר ששניהם נחתכים בדיוק באמצע שלהם — ולא שהם שווים באורכם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

האלכסון

AC

מחלק את המקבילית לשני משולשים.

נתונה מקבילית $ABCD$ . הוכיחו: $\angle B = \angle D$ .

$ABCD$ מקבילית

$\angle B = \angle D$

להציג את התשובה והפתרון

$ABCD$ מקבילית — נתון
$AB = CD$ — במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
$BC = DA$ — במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
$AC = CA$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ — משפט חפיפה צ.צ.צ
$\angle B = \angle D$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= CD \\ \quad BC &= DA \\ \quad AC &= CA\end{aligned}

שני זוגות צלעות נגדיות, והאלכסון המשותף

\triangle ABC \cong \triangle CDA

צ.צ.צ

\angle B = \angle D

זוויות מתאימות: $\angle B$ מול $AC$ במשולש אחד, $\angle D$ מול $CA$ בשני

האלכסון $AC$ חותך את המקבילית לשני משולשים חופפים. הזוויות שמול האלכסון — $\angle B$ ו- $\angle D$ — הן הזוויות הנגדיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

$AB \parallel DC ,\quad BC \parallel AD$
$AB = DC ,\quad BC = AD$
$AO = OC ,\quad BO = OD$

האלכסונים חוצים זה את זה — נפגשים בדיוק באמצע של שניהם.
הצלעות הנגדיות מקבילות — זו ההגדרה עצמה.
הצלעות הנגדיות שוות באורכן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AB \parallel DC ,\quad BC \parallel AD$ — הצלעות הנגדיות מקבילות — זו ההגדרה עצמה. · $AB = DC ,\quad BC = AD$ — הצלעות הנגדיות שוות באורכן. · $AO = OC ,\quad BO = OD$ — האלכסונים חוצים זה את זה — נפגשים בדיוק באמצע של שניהם.

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מיינו: מה נכון בכל מקבילית, ומה לא תמיד?

נכון בכל מקבילית
לא תמיד

האלכסונים חוצים זה את זה
האלכסונים מאונכים זה לזה
האלכסונים שווים זה לזה
הזוויות הנגדיות שוות
הצלעות הנגדיות שוות
כל הצלעות שוות
שתי זוויות סמוכות משלימות ל- $180°$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הצלעות הנגדיות שוות — נכון בכל מקבילית · הזוויות הנגדיות שוות — נכון בכל מקבילית · האלכסונים חוצים זה את זה — נכון בכל מקבילית · שתי זוויות סמוכות משלימות ל- $180°$ — נכון בכל מקבילית · האלכסונים שווים זה לזה — לא תמיד · האלכסונים מאונכים זה לזה — לא תמיד · כל הצלעות שוות — לא תמיד

הפתרון:

\begin{aligned}AB \parallel DC \\ \ AB &= DC\end{aligned}

צלעות נגדיות מקבילות ושוות

\begin{aligned}\angle A &= \angle C \\ \quad \angle A + \angle B &= 180°\end{aligned}

זוויות נגדיות שוות, סמוכות משלימות

\begin{aligned}AO &= OC \\ \ BO &= OD\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

ארבע התכונות של המקבילית: צלעות נגדיות מקבילות ושוות, זוויות נגדיות שוות, ואלכסונים שחוצים זה את זה. מכאן גם שזוויות סמוכות משלימות ל- $180°$ (חד-צדדיות בין מקבילים). אלכסונים שווים הם תכונה של המלבן, אלכסונים מאונכים וצלעות שוות — של המעוין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

במקבילית $ABCD$ נתון $\angle A = 65°$ . שורה אחת בחישוב שגויה — מצאו אותה

\angle A + \angle B = 180°

\begin{aligned}\angle B &= 180° - 65° \\ &= 115°\end{aligned}

\begin{aligned}\angle D &= 180° - \angle B \\ &= 65°\end{aligned}

\begin{aligned}\angle C &= \angle A \\ &= 65°\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\angle D = 180° - \angle B = 65°$ → $\angle D = \angle B = 115°$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle D &= \angle B \\ &= 115°\end{aligned}

זוויות נגדיות במקבילית שוות

65° + 115° + 65° + 115° = 360°

בדיקה: סכום הזוויות במרובע

$B$ ו- $D$ הן זוויות נגדיות, לא סמוכות — ולכן הן שוות: $\angle D = 115°$ . משלימות ל- $180°$ רק זוויות סמוכות, כמו $A$ ו- $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

השלימו

במקבילית $ABCD$ האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $O$ ס״מ ו- $BO = 5$ ס״מ. אורך $AO$ הוא ____ ס״מ, ואורך האלכסון $BD$ הוא ____ ס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: במקבילית $ABCD$ האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $O$ ס״מ ו- $BO = 5$ ס״מ. אורך $AO$ הוא 7 ס״מ, ואורך האלכסון $BD$ הוא 10 ס״מ.

הפתרון:

\begin{aligned}AO &= \frac{AC}{2} \\ &= \frac{14}{2} \\ &= 7\end{aligned}

\begin{aligned}BD &= 2 \cdot BO \\ &= 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $O$ היא אמצע של שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

במקבילית $ABCD$ נתון $\angle A = (2x + 20)°$ ו- $\angle B = (3x)°$ . סדרו את שלבי החישוב של $\angle A$

$\angle A + \angle B = 180°$
$\angle A = 2 \cdot 32 + 20 = 84°$
$2x + 20 + 3x = 180$
$5x = 160$
$x = 32$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\angle A + \angle B = 180°$ · $2x + 20 + 3x = 180$ · $5x = 160$ · $x = 32$ · $\angle A = 2 \cdot 32 + 20 = 84°$

הפתרון:

\angle A + \angle B = 180°

זוויות סמוכות במקבילית

\begin{aligned}5x + 20 &= 180 \Rightarrow x \\ &= 32\end{aligned}

פותרים

\begin{aligned}\angle A &= 84° \\ \quad \angle B &= 96°\end{aligned}

בדיקה: $84 + 96 = 180$

$A$ ו- $B$ זוויות סמוכות במקבילית, ולכן הן משלימות ל- $B$ . מציבים, פותרים את המשוואה, ורק בסוף מציבים את $x$ בביטוי של $x$ . בדיקה: $\angle B = 96°$ , ו- $84 + 96 = 180$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

AB = 7

,

BC = 4

. הצלעות שמולן שוות להן.

במקבילית $ABCD$ נתון $AB = 7$ ס״מ ו- $BC = 4$ ס״מ. מה היקף המקבילית, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22

הפתרון:

\begin{aligned}DC &= AB \\ &= 7 \\ \quad AD &= BC \\ &= 4\end{aligned}

הצלעות הנגדיות במקבילית שוות

7 + 4 + 7 + 4 = 22

ההיקף: ארבע הצלעות

לא $7 + 4 = 11$ : למקבילית ארבע צלעות, וכל אורך מופיע פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

AO = 4.5

,

BD = 14

.

במקבילית $ABCD$ האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $O$ ס״מ ו- $BD = 14$ ס״מ. מה אורך האלכסון $AC$ , בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\begin{aligned}AO &= OC \\ &= 4.5\end{aligned}

האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה

\begin{aligned}AC &= 2 \cdot 4.5 \\ &= 9\end{aligned}

שני החצאים

$BD = 14$ לא עוזר כאן: במקבילית האלכסונים אינם שווים, ולכן $AC$ אינו 14.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

מיינו: מה נכון בכל מקבילית $ABCD$ (האלכסונים נחתכים ב- $O$ ), ומה לא בהכרח?

בכל מקבילית
לא בהכרח

$\angle A + \angle B = 180^\circ$
$\angle A = \angle B$
$\angle A = \angle C$
$AB = BC$
$AB = DC$
$AC \perp BD$
$AC = BD$
$AO = OC$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AB = DC$ — בכל מקבילית · $\angle A = \angle C$ — בכל מקבילית · $AO = OC$ — בכל מקבילית · $\angle A + \angle B = 180^\circ$ — בכל מקבילית · $AC = BD$ — לא בהכרח · $AC \perp BD$ — לא בהכרח · $\angle A = \angle B$ — לא בהכרח · $AB = BC$ — לא בהכרח

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= DC \\ \ \angle A &= \angle C \\ \ AO &= OC\end{aligned}

שלוש התכונות שהחצי סיבוב מראה

\angle A + \angle B = 180^\circ

סמוכות משלימות

אלכסונים שווים: מלבן. אלכסונים מאונכים וצלעות סמוכות שוות: מעוין. במקבילית כללית — לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

\angle A = x

,

\angle B = 2x

.

במקבילית $ABCD$ נתון $\angle A = x$ ו- $\angle B = 2x$ . מה גודל $\angle B$ , במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

x + 2x = 180^\circ

זוויות סמוכות במקבילית משלימות

\begin{aligned}3x &= 180^\circ \\ \quad x &= 60^\circ\end{aligned}

פותרים

\begin{aligned}\angle B &= 2 \cdot 60^\circ \\ &= 120^\circ\end{aligned}

ומציבים

השאלה שואלת על $\angle B$ , לא על $x$ . התשובה 60 היא $\angle A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

יש מקבילית $ABCD$ שבה $\angle A = 80^\circ$ וגם $\angle B = 80^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\angle A + \angle B &= 80^\circ + 80^\circ \\ &= 160^\circ \neq 180^\circ\end{aligned}

סמוכות חייבות להשלים ל- $180^\circ$

לא נכון. $A$ ו- $B$ סמוכות, לא נגדיות. שתי סמוכות שוות רק כששתיהן $90^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

השלימו

במקבילית ABCD הזווית A היא 64 מעלות. הזווית B היא ____ מעלות, והזווית C היא ____ מעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: במקבילית ABCD הזווית A היא 64 מעלות. הזווית B היא 116 מעלות, והזווית C היא 64 מעלות.

הפתרון:

\begin{aligned}\angle B &= 180^\circ - 64^\circ \\ &= 116^\circ\end{aligned}

סמוכות משלימות

\begin{aligned}\angle C &= \angle A \\ &= 64^\circ\end{aligned}

נגדיות שוות

$B$ סמוכה ל- $B$ , ו- $A$ מולה. שני כללים, ולא מערבבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת