רשימת חוקי החזקות · חזקות ושורשים · כיתה ט׳

כל חוקי החזקות של כיתה ט במקום אחד. לכל חוק: הנוסחה, מה עושים במילים, ודוגמה. בכל החוקים $a$ ו- $b$ הם מספרים שונים מ-0, ו- $n$ , $m$ הם המעריכים.

חוקי החזקות — תוכנית כיתה ט

a^n \cdot a^m = a^{n+m}

1. כפל חזקות עם אותו בסיס — מחברים את המעריכים. דוגמה: $2^3 \cdot 2^2 = 2^5$

\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}

2. חילוק חזקות עם אותו בסיס — מחסרים את המעריכים. דוגמה: $\frac{3^7}{3^5} = 3^2$

(a^n)^m = a^{n \cdot m}

3. חזקה של חזקה — כופלים את המעריכים. דוגמה: $(5^2)^3 = 5^6$

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

4. חזקה של מכפלה — החזקה עולה על כל גורם. דוגמה: $(2x)^3 = 8x^3$

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

5. חזקה של שבר — החזקה עולה למונה וגם למכנה. דוגמה: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$

a^0 = 1

6. חזקת אפס — כל מספר שאינו 0, בחזקת 0, שווה 1. דוגמה: $7^0 = 1$

(-a)^{n}

7. בסיס שלילי — מעריך זוגי: התוצאה חיובית. מעריך אי-זוגי: התוצאה שלילית. דוגמה: $(-2)^4 = 16$ , $(-2)^3 = -8$

מתי החוקים לא עובדים.

2^3 \cdot 5^2 = 10^5

\begin{aligned}2^3 \cdot 5^2 &= 8 \cdot 25 \\ &= 200\end{aligned}

חוקים 1–3 חלים רק כשהבסיס זהה.

(a+b)^2 = a^2 + b^2

(a+b)^2 \neq a^2 + b^2

החזקה מתחלקת על כפל וחילוק בלבד, לא על חיבור: $(2+3)^2 = 25$ , אבל $2^2 + 3^2 = 13$ .

-3^2 = 9

\begin{aligned}-3^2 &= -9 \qquad (-3)^2 \\ &= 9\end{aligned}

בלי סוגריים, החזקה שייכת רק ל-3, והמינוס נשאר בחוץ.

בתוכנית של כיתה ט לומדים מעריכים טבעיים ואפס. את המעריך השלילי למדנו בפרק הזה כהרחבה — הוא ממשיך את חוק החילוק.

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

8. מעריך שלילי — הופכים לשבר, לא למספר שלילי. דוגמה: $2^{-3} = \frac{1}{8}$

\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}

9. שבר בחזקה שלילית — הופכים את השבר, והמעריך נעשה חיובי. דוגמה: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{9}{4}$

אין צורך לשנן תשעה חוקים. שניים מהם — כפל וחילוק — נובעים מספירת גורמים, וכל השאר נובעים מהם. מי שמבין את השניים הראשונים יכול לשחזר את כל השאר.