או — חיבור

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

אותם שני יעדים, שאלה אחרת: מה הסיכוי שאטוס לארצות הברית או לדובאי?

הפעם יעד אחד מספיק לי. ואם יוצאות שתי הטיסות? גם זה בסדר — «או» כולל גם את זה.

רעיון ראשון: לחבר, 15+17=1235\frac{1}{5} + \frac{1}{7} = \frac{12}{35}. אבל שתי הטיסות יכולות לקרות ביחד, בסיכוי 135\frac{1}{35}.

המקרה הזה נמצא גם בתוך ה-15\frac{1}{5} וגם בתוך ה-17\frac{1}{7}. ספרו בעצמכם על הלוח.

P=15+17−135=735+535−135=1135\begin{aligned}P &= \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{35} \\ &= \frac{7}{35} + \frac{5}{35} - \frac{1}{35} \\ &= \frac{11}{35}\end{aligned}

המילה «או» מתורגמת לחיבור — ומורידים פעם אחת את מה שנספר פעמיים.

וזה הגיוני: פתחתי לעצמי שתי אפשרויות, ולכן הסיכוי גדל. 1135\frac{11}{35} גדול מ-735\frac{7}{35} ומ-535\frac{5}{35}.

מטילים מטבע פעמיים. מה ההסתברות לקבל «עץ» בהטלה הראשונה או בהטלה השנייה?

להציג את התשובה והפתרון

34\frac{3}{4} — חצי ועוד חצי זה 1, וזה כבר חשוד: לא ייתכן שזה ודאי. «עץ» בשתי ההטלות נספר פעמיים, לכן מורידים אותו: 12+12−14=34\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.

כשאי אפשר את שניהם — רק מחברים

לפעמים שני המקרים לא יכולים לקרות ביחד. בהטלה אחת אי אפשר לקבל גם 2 וגם 5.

אז אין מקרה משותף, אין מה להוריד, ופשוט מחברים. מקרים כאלה נקראים זרים.

קובייה: מה ההסתברות ל-2 או 5?

להציג את התשובה והפתרון

26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3} — ב«או» של מאורעות זרים מחברים: שתי תוצאות טובות מתוך שש.

×\times

וגם — דורשים את שניהם. הסיכוי קטן.

++

או — מסתפקים באחד. הסיכוי גדל.

P(A או B)=P(A)+P(B)−P(A וגם B)P(A \text{ או } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ וגם } B)

שתי הטעויות של הפרק.

P(או)=15×17P(\text{או}) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{7}
P(או)=15+17−135P(\text{או}) = \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{35}

הכפל היה מקטין את הסיכוי — אבל אנחנו דווקא מרחיבים את מה שמקובל עלינו. כיוון התשובה חייב להתאים לכיוון השאלה.

15+17=1235\frac{1}{5} + \frac{1}{7} = \frac{12}{35}
1235−135=1135\frac{12}{35} - \frac{1}{35} = \frac{11}{35}

לפני שמחברים, שואלים: האם שניהם יכולים לקרות ביחד? אם כן — המקרה המשותף נספר פעמיים, ומורידים אותו פעם אחת.

לספור פאות

לפני כל חישוב, חפשו במשפט את המילה עצמה. «וגם» ו«או» הן ההוראה — כל השאר בשאלה הוא רק סיפור.

תרגילים

תרגיל 1

הסיכוי לטיסה לארצות הברית הוא 1/5, והסיכוי לטיסה לדובאי הוא 1/7. שתי הטיסות אינן תלויות זו בזו, ולכן יכולות לקרות גם שתיהן. מה הסיכוי לטוס לארצות הברית או לדובאי? רשמו כמספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.314286

הפתרון:

15×17=135\frac{1}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{35}

קודם: הסיכוי לשתיהן — נספר פעמיים

735+535−135=1135\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - \frac{1}{35} = \frac{11}{35}

«או» — מחברים ומורידים את המשותף

1135≈0.314286\frac{11}{35} \approx 0.314286

ומחשבים

מי שרק חיבר קיבל 1235\frac{12}{35} — וספר פעמיים את המקרה שבו יוצאות שתי הטיסות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הסיכוי לקבל 2 בקובייה הוא 1/6, והסיכוי לקבל 5 באותה הטלה הוא 1/6. שני האירועים אינם יכולים לקרות יחד. מה הסיכוי שיקרה האחד או השני? רשמו כמספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.333333

הפתרון:

16+16=26=13\begin{aligned}\frac{1}{6} + \frac{1}{6} &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

«או» — מחברים

=0.333333= 0.333333

ומחשבים

זרים — אין משבצת משותפת, ולכן רק מחברים. אותו מכנה: מחברים את המונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הסיכוי להיבחר לכיתה א הוא 1/4, והסיכוי להיבחר לכיתה ב הוא 1/4. שני האירועים אינם יכולים לקרות יחד. מה הסיכוי שיקרה האחד או השני? רשמו כמספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

14+14=24=12\begin{aligned}\frac{1}{4} + \frac{1}{4} &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

«או» — מחברים

=0.5= 0.5

ומחשבים

זרים — אי אפשר להיבחר לשתי הכיתות, ולכן רק מחברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הסיכוי לשלוף כדור אדום הוא 2/9, והסיכוי לשלוף כדור ירוק הוא 1/9. שני האירועים אינם יכולים לקרות יחד. מה הסיכוי שיקרה האחד או השני? רשמו כמספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.333333

הפתרון:

29+19=39=13\begin{aligned}\frac{2}{9} + \frac{1}{9} &= \frac{3}{9} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

«או» — מחברים

=0.333333= 0.333333

ומחשבים

כדור אחד לא יכול להיות גם אדום וגם ירוק — זרים, ולכן רק מחברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

איזו מילה בשאלה אומרת «לחבר»?

  1. «או»
  2. «וגם»
  3. «תמיד»
  4. «לא»
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א «או»

הפתרון:

או⇒+\text{או} \Rightarrow +

מסתפקים באחד מהשניים

«וגם» היא ההוראה לכפול. שתי המילים האלה הן כל ההבדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

למה בשאלת «או» הסיכוי גדל?

  1. כי יותר מקרים מתקבלים עלינו
  2. כי מוותרים על אחד האירועים
  3. כי מחברים תמיד מספרים גדולים
  4. כי הסיכוי לא באמת גדל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כי יותר מקרים מתקבלים עלינו

הפתרון:

P(A או B)≥P(A)P(A \text{ או } B) \ge P(A)

הוספנו אפשרות

הרחבנו את מה שמספק אותנו, ולכן קל יותר להצליח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מטילים קובייה: הסתברות ל-1 או 6? (מכנה אחרי צמצום)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

זרים — מחברים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

קלף: הסתברות למלך או מלכה? (מכנה אחרי צמצום)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

852=213\frac{8}{52} = \frac{2}{13}

ארבעה מלכים וארבע מלכות — שמונה מתוך 52, ואז מצמצמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

«זוגי או קטן מ-3» בהטלת קובייה — למה לא פשוט לחבר?

  1. כי חסר נתון
  2. כי הם זרים
  3. כי 2 נספר פעמיים
  4. כי אסור לחבר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כי 2 נספר פעמיים

הפתרון:

P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A) + P(B) - P(A \cap B)

המספר 2 הוא גם זוגי וגם קטן מ-3. חיבור פשוט היה סופר אותו פעמיים — לכן מחסרים את החפיפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ומהי ההסתברות «זוגי או קטן מ-3»? (מכנה אחרי צמצום)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

3+2−16=46=23\begin{aligned}\frac{3 + 2 - 1}{6} &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

מונים את המאורעות פעם אחת כל אחד: שלושה זוגיים, שניים קטנים מ-3, פחות אחד משותף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מטילים קובייה. נועם חישב את ההסתברות ל«זוגי או גדול מ-3». שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

P(זוגי)=36P(\text{זוגי}) = \frac{3}{6}
P(גדול מ-3)=36P(\text{גדול מ-3}) = \frac{3}{6}
P=36+36=1\begin{aligned}P &= \frac{3}{6} + \frac{3}{6} \\ &= 1\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: P=36+36=1P = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} = 1 → P=3+3−26=46P = \frac{3 + 3 - 2}{6} = \frac{4}{6}

הפתרון:

4, 64,\ 6

גם זוגיים וגם גדולים מ-3

3+3−26=46=23\begin{aligned}\frac{3 + 3 - 2}{6} &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

מורידים את מה שנספר פעמיים

תוצאה 1 הייתה צריכה להדליק נורה: 1 ו-3 לא מתאימים, אז זה לא ודאי. 4 ו-6 נספרו פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מטילים קובייה אחת. מיינו: אילו זוגות של מאורעות הם זרים — לא יכולים לקרות ביחד?

  • זרים
  • לא זרים
  • «3» ו«אי-זוגי»
  • «6» ו«קטן מ-6»
  • «זוגי» ו«אי-זוגי»
  • «זוגי» ו«גדול מ-4»
  • «קטן מ-3» ו«גדול מ-4»
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: «זוגי» ו«אי-זוגי» — זרים · «קטן מ-3» ו«גדול מ-4» — זרים · «6» ו«קטן מ-6» — זרים · «זוגי» ו«גדול מ-4» — לא זרים · «3» ו«אי-זוגי» — לא זרים

הפתרון:

66

«זוגי» ו«גדול מ-4» נפגשים ב-6

33

ה-3 עצמו אי-זוגי

זרים = אין אף פאה ששייכת לשניהם. אז ב«או» רק מחברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מטילים קובייה. ההסתברות ל«זוגי או אי-זוגי» היא 36+36=1\frac{3}{6} + \frac{3}{6} = 1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

36+36=1\frac{3}{6} + \frac{3}{6} = 1

זרים — רק מחברים

אין פאה שהיא גם זוגית וגם אי-זוגית, אז אין מה להוריד. וכל פאה היא אחת משתיהן — ודאי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת